Теорема абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

Теорема абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

Уравнение пятой степени в радикалах. Теорема Руффини — Абеля

Вернувшись из Копенгагена, Абель снова занялся алгебраическими уравнениями. Анализируя свое решение уравнения пятой степени, он понял, что ложным было не только это решение, но и сам подход к задаче. Вот что написал он об этом позже:

«Одной из интереснейших проблем алгебры является алгебраическое решение уравнений. Почти все выдающиеся математики исследовали этот вопрос. Без труда были получены общие выражения для корней уравнений первых четырех степеней. Для решения этих уравнений был открыт единый способ и надеялись, что он применим к уравнениям любой степени; но, несмотря на все усилия Лагранжа и других выдающихся математиков, поставленная цель не была достигнута. Предполагали решать уравнения, не зная, возможно ли это решение. В случае существования решения могли его получить, ничего о нем предварительно не зная; но если, к несчастью, решение не существовало, то его могли бы тщетно искать целую вечность. Для того чтобы получить наверняка некоторые результаты по этому вопросу, надо было выбрать иную дорогу, придав проблеме такой вид, чтобы она была всегда разрешима, а это можно сделать с любой проблемой. Вместо того, чтобы искать некоторое соотношение, не зная, существует оно или нет, надо спросить, возможно ли такое соотношение. Этот метод, который, без сомнения, является единственно научным, поскольку лишь он позволяет быть заранее уверенным в достижении поставленной цели, мало применяется в математике только потому, что его применение связано с исключительными трудностями. ».

Абелю удалось преодолеть эти трудности: он доказал, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах — решения такого уравнения нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и извлечения корней.

Таким образом, проблема, над которой математики бились веками, к началу 1824 года была полностью решена. Чтобы скорее сделать полученный результат достоянием математиков, Абель отпечатал брошюру с доказательством на французском языке за свой счет; из-за отсутствия средств ему пришлось сократить изложение до шести страниц и предоставить читателю додумать детали многих рассуждении. Неудивительно, что лишь немногие математики смогли полностью разобраться в содержании этой работы. Даже Гаусс, больше всех интересовавшийся теорией алгебраических уравнений, затерял брошюру Абеля среди своих бумаг. Впоследствии Абель опубликовал развернутое доказательство своей теоремы, занявшее несколько десятков страниц.

Вскоре выяснилось, что за несколько лет до Абеля аналогичный результат получил и итальянский ученый Паоло Руффини. И хотя доказательство Руффини было неполным, все же теорему о неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах теперь называют теоремой Руффини — Абеля.

Но хотя общее уравнение пятой степени и нельзя решить в радикалах, существует целый ряд частных случаев, в которых такое решение возможно. Например, разделить угол a на n равных частей значит выразить cos a через cos (a/n) и решить получившееся уравнение относительно cos (a/n). Так как

cos a = 4 cos 3 (a/3) — 3 cos(a/3)

то при n = 3 получаем кубическое уравнение которое, как и всякое кубическое уравнение, решается в радикалах. Оказывается, такие уравнения решаются в радикалах при любых значениях n. Аналогичные уравнения получаются и при переходе от тригонометрических функций к эллиптическим. Абелю удалось написать эти уравнения, выразив эллиптические функции аргумента х через функции аргумента х/n.

Абель знал, что вопрос о разрешимости уравнения в радикалах связан с соотношениями между корнями уравнения. Например, все корни уравнения

x n-1 + x n-2 + . + x + 1= 0, (2)

возникающего при деление круга на n частей (поэтому уравнение (2) называется уравнением деления круга), можно выразить через один из них следующим образом:

Функции y = x, y = x 2 . y = x n-1 рациональны. При этом они обладают следующим замечательным свойством: если взять любые две такие функции, заменить в одной из них х другой функцией и вместо х подставить x₁, то полученное число снова будет одним из корней уравнения. В самом деле, из уравнения (2) следует, что x₁ n = 1, а потому (x₁ k ) l = x₁ kl = x₁ m где m — остаток от деления kl на n.

Абель понял, что именно с этим свойством связана разрешимость в радикалах уравнения деления круга. Поэтому он рассмотрел такие уравнения, что:

а) все корни каждого из них могут быть представлены в виде рациональных функций от одного из корней, например, от x₁:

б) функции таковы, что для любых k и l найдется такое m, что

Оказалось, что для разрешимости уравнения в радикалах достаточно выполнения еще одного условия: для любых k и l

Иными словами, нужно, чтобы не имело значения, подставим ли мы

С тех пор совокупности преобразований, результат последовательного выполнения которых не зависит от порядка вы-полняемых преобразований, называют абелевыми (или коммутативными).

При изучении эллиптических функций и интегралов Абель широко использовал теорию степенных рядов. Степенным рядом называется выражение вида

Он доказал, что множество значений х, для которых сходится ряд

является или промежутком вида ]—l, l[ (где l может также равняться нулю или бесконечности), или таким же промежутком, к которому присоединены один или оба конца. Он доказал, что на промежутке сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать и исследовал поведение суммы ряда при приближении х к концам промежутка сходимости. Все эти результаты сразу после их опубликования стали классическими и вошли во все курсы высшей математики.

Описанный круг идей Абель разрабатывал на протяжении 1824—1826 годов, когда, окончив университет, отправился за границу для продолжения образования. Он побывал в Германии, Австрии, Италии, Швейцарии, Франции, Бельгии, познакомился с Якобом Штейнером, Андриеном Лежандром, Огюстеном Коши и многими другими математиками.

По материалам книги
«Замечательные ученые»
под ред. С.П. Капицы

О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа

Историческая справка

Поиск решения алгебраических уравнений оказал колоссальное влияние на развитие математики. Формула решения общего кубического уравнения впервые была получена итальянскими математиками 16-го века. Это событие ставшее первопричиной рассмотрения комплексных чисел, считается одним из поворотных моментов в истории математики. Судьбы Джероламо Кардано, Никколо Тартальи, Сципиона дель Ферро и их поисков решения кубического уравнения заслуживают отдельного романа со своими интригами, скандалами и расследованиями. Столь яркие истории достаточно редки в математике.

Начиная с 19-го века поиск формул для решения уравнений произвольных степеней положил начало теории групп и абстрактной алгебре, которые преобразили практически все разделы современной математики. Думаю, многие, кто интересовался историей и развитием алгебры, знают, что формулы для решения общего алгебраического уравнения степени выше четвертой не существует. Как сообщается, первое доказательство этого факта было дано итальянским математиком Паоло Руффини в самом конце восемнадцатого века, оно составляло около 500 страниц и все же содержало некоторые пробелы. Хотя отдельные математики, как Огюстен Коши, и признавали данное доказательство, но ввиду столь большого объема и сложности изложения, оно так и не было принято математическим сообществом. Считается, что первое полное доказательство дано норвежским математиком Нильсом Абелем и содержалось в двух работах, изданных в 1824 и 1826 годах. С тех пор оно носит название теоремы Абеля или теоремы Абеля-Руффини.

Если вы попытаетесь изучить это доказательство в его современном изложении, то окажется, что оно практически полность опирается на Теорию Галуа. Эварист Галуа был французским математиком 19-го века и современником Нильса Абеля. Помимо занятий математикой он вел активную политическую жизнь из-за чего несколько раз попадал в тюрьму. В возрасте всего двадцати лет был застрелен на дуэли, поводом для которой послужила любовная интрига, хотя есть предположения, что дуэль была подстроена его политическими противниками. Об этой истории написано достаточно много, кроме того, имеется перевод на русский язык его мемуаров и писем. Последнее письмо его другу Огюсту Шевалье было написано в ночь накануне дуэли, в нем он наспех излагает свои последние идеи. Несмотря на столь короткую жизнь, Эварист Галуа считается одним из родоначальников современной алгебры. Хотел бы заметить, что в популярном изложении создается некий романтический образ Галуа, как подростка-гения, который в одиночку, с нуля создал теорию групп и преобразил всю алгебру. Несомненно его идеи сыграли огромную роль, но если почитать его сочинения, то мы увидим, что он хорошо знал и опирался на знаменитые работы Лагранжа, Эйлера, Гаусса, Абеля, Якоби. Зачатки теории групп и перестановок появляются еще в работах Жозефа Луи Лагранжа по теории алгебраических уравнений, а также Карла Фридриха Гаусса в его знаменитых «Арифметических исследованиях». К тому же, теория Галуа в современном изложении была оформлена многими последующими математиками — Дедекиндом, Кронекером, Гильбертом, Артином и другими.

Мотивация данной статьи

Чуть менее года назад меня сильно увлекла статья об истории решения кубического уравнения и последующих безуспешных поисков формулы уравнения 5-й степени, длившихся почти триста лет. Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет и поэтому, попробовав прочесть современную версию доказательства теоремы Абеля-Руффини, я естественно ничего не понял. В моем сознании термины группа, кольцо и поле никак не ассоциировались с алгебраическими структурами. Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.

На первых этапах абстрактная алгебра была наверное самым сложным из того, что мне приходилось изучать ранее. Объем новых терминов и определений просто зашкаливал: группы, факторгруппы, моноиды, поля, кольца, тела, модули, идеалы, ядра, векторные пространства, биекции, сюръекции, инъекции, изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы, эндоморфизмы и тд. Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.

Дело в том, что практически все современные доказательства неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах сводятся к следующему. Рассматривается некоторое неприводимое уравнение, например x 5 -10x+2, после чего методами мат анализа определяется, что оно имеет три действительных и два комплексно-сопряженных корня. После чего заключается, что группой Галуа данного уравнения есть группа S₅, которая не является разрешимой, и следовательно данное уравнение неразрешимо в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини о неразрешимости общего уравнения также сводится к неразрешимости группы S_n. Для меня данные доказательства были слишком абстрактными и оторванными от конкретных уравнений. Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось. Возможно для тех, кто занимается этим достаточно долго, эти вещи могут казаться интуитивно понятными.

Немного иной подход описан в книге Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях», основанной на лекциях Владимира Арнольда, но в изложенном там доказательстве помимо теории групп используются элементы комплексного анализа и Римановых поверхностей. Я также находил похожие статьи, использующие топологические аргументы в виде комбинаций петель и коммутаторов, но мне хотелось найти что-то чисто алгебраическое.

Параллельно изучая историю математики и понимая, что современная формулировка и доказательство сильно отличаются от того, как излагали свои идеи Лагранж, Руффини, Абель и Галуа, я решил прочесть первоисточники. К сожалению, на русский или английский по этой теме переведены лишь сочинения Галуа и одна из работ Абеля.

После некоторых поисков я наткнулся на статью 1845 года французского математика Пьера Лорана Ванцеля, в которой он переработал и сильно упростил доказательство Абеля-Руффини, о чем он пишет во введении. В этой работе, он так же упоминает мемуары Галуа и отмечает, что они будут опубликованы в скором времени. Для заметки — работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году Жозефом Лиувиллем, спустя почти 15 лет после смерти Галуа. Кстати, Пьер Лоран Ванцель, также был первым, кто доказал неразрешимость трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки — знаменитых задач стоявших еще со времен античности. Доказательства Ванцеля были изложены без использования абстрактной алгебры и теории Галуа, поскольку на тот момент они еще не были разработаны. Хотя работа и была доступна лишь на французском, которого я до этого практически не знал, но ввиду специфической темы, небольшого размера (всего 7 страниц) и наличия гугл переводчика, я справился достаточно быстро. По моему субъективному мнению, его доказательство теоремы Абеля-Руффини является наиболее простым для понимания.

Уже позже я нашел пример подобного доказательства основанного на работе Руффини в книге Чеботарёва “Основы Теории Галуа”. Далее я постараюсь кратко изложить принцип решения уравнений в радикалах и идею доказательства неразрешимости уравнения 5-й степени.

Решения уравнений в радикалах

Для дальнейшего понимания, потребуются минимальные пререквизиты:

Формулы Виета — напомню, что коэффициенты произвольного уравнения являются элементарными симметрическими функциями от его корней, то есть функциями, которые не меняют своего значения при любых перестановках корней. Примеры: x₁ + x₂ + x₃, x₁x₂x₃, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃.

Теорема о симметрических многочленах — каждую симметрическую функцию от корней, можно выразить с помощью элементарных симметрических функций (коэффициентов уравнения).

Первообразные корни n-й степени из единицы — комплексные величины не равные единице, но n-я степень которых, равна единице. Примеры: (-1) 2 = 1, (-1/2 + sqrt(-3)/2) 3 = 1, i 4 = 1 соответственно квадратный, кубический и биквадратный корни из единицы.

Основная теорема алгебры — гласит о том, что уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом кратности (корни могут быть одинаковые).

Первоначальная идея восходит к работе Жозефа Луи Лагранжа “Размышления о решении уравнений” 1770-1771 годов. Это достаточно объемное сочинение и я не нашел его перевода на русский или английский язык. Как указывается в разных источниках, в попытке найти формулу для уравнения 5-й степени, Лагранж проанализировал все имеющиеся к тому времени способы решения уравнений и выделил общий принцип, позволяющий решить уравнения 4-й и низших степеней. В этой же работе, изучая перестановки корней, он пришел к теореме, которая сейчас носит его имя. Принцип, открытый Лагранжем, заключался в том, чтобы найти выражения от корней заданного уравнения n-й степени, которые при всех возможных перестановках этих корней принимали n-1 значений, но в тоже время через них выражались первоначальные корни. На эти значения, можно составить уравнение n-1 степени и повторить операцию, тем самым сводя изначальное уравнение к цепочке уравнений меньших степеней, решив которые, можно получить корни первоначального уравнения. Рассмотрим один из примеров:

Пусть f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d общее уравнение 4-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d и x₁, x₂, x₃, x₄ его корни.

Напомним, что его коэффициенты — это элементарные симметрические функции от корней, в чем можно убедиться просто раскрыв скобки в выражении (x — x₁)(x -x₂)(x — x₃)(x — x₄):

Так как корни являются произвольными, то существует 4! = 24 различных вариантов их расположения, но можно составить выражение x₁x₂ + x₃x₄, которое принимает всего три разных значения при всех 24-х перестановках корней:

На эти три значения мы можем составить уже кубическое уравнение, корнями которого они и будут являться. Таким образом, мы сводим решение уравнения 4-й степени к уравнению 3-й степени. Для решения кубического уравнения мы можем воспользоваться резольвентой Лагранжа (y₁ + wy₂ + w 2 y₃) 3 , где w — это кубический корень из единицы. Данное выражение принимает всего два разных значения при всех возможных 3! = 6 перестановках. Оно будет сохранять значение при циклических перестановках и менять знак при любой транспозиции. Получим:

Теперь составим квадратное уравнение на z₁ и z₂:

z₁+z₂ и z₁z₂ — будут симметрическими функциями от корней нашего изначального уравнения f(x), следовательно, по теореме о симметрических многочленах, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d. Решив квадратное уравнение мы получим значения z₁, z₂. После чего, извлекая кубические корни из z₁, z₂, и складывая с коэффициентом b, сможем выразить y₁. Далее, c помощью y₁ и коэффициентов a, b, d, решив два квадратных уравнения, мы доберемся до корней x₁, x₂, x₃, x₄ изначального уравнения.

Данный пример показывает, что произвольное уравнение 4-й степени решается путем составления вспомогательных кубического и квадратных уравнений. Далее я приведу рассуждение, почему подобный прием невозможен для общего уравнения 5-й степени.

Неразрешимость уравнения 5-й степени

Итак, мы хотим показать, что ни один корень общего уравнения 5-й степени не может быть выражен через его коэффициенты путем решения цепочки вспомогательных двучленных уравнений низших степеней.

Пусть f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + xd + e общее уравнение 5-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d, e и x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ его корни. Обозначим за y₁ первый радикал входящий в значение x₁ в порядке вычисления. Пусть y₁ n = p, где p будет какой-то симметрической функцией от корней и, следовательно, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d, e. Заметим, что y₁ уже не будет симметрической, а лишь рациональной функцией g от корней — g(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅). Следовательно, g должно менять значение при перестановке любых двух корней. Тогда эти значения будут являться корнями уравнения y₁ n = p, которые имеют вид g, zg, z 2 g, z 3 g … z n-1 g, где z — первообразный корень n-й степени из единицы (z n =1). Рассмотрим произвольную транспозицию, например (x₁, x₂), тогда

если мы применим ее еще раз, то получим:

Из этого следует, что z 2 = 1, то есть z должен быть квадратным корнем из единицы (z = -1) и соответственно первый радикал y₁ будет квадратным. Поясним: так как корни являются произвольными, то g должно сохранять значение при любых четных перестановках корней и менять знак при нечетных. Теперь покажем, что значение функции g не будет меняться при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃). Здесь стоит пояснить, что циклическая перестановка (x₁, x₂, x₃) четная и может быть представлена, как произведение транспозиций (x₁, x₂)(x₂, x₃). То есть, функция g не поменяет своего значения при данной перестановке. Еще заметим, что функция g не изменится при циклической перестановке пяти корней, так как она так же раскладывается в произведение четного количества транспозиций. Присоединяя радикал y₁ к выражениям от коэффициентов с помощью базовых арифметических операций, мы будем получать симметрические функции относительно всех циклов на трех и пяти корнях и вообще любых четных перестановок, но при перестановке содержащей нечетное количество транспозиций, y₁ будет менять знак. Дальнейшее присоединение квадратных радикалов не даст нам ничего нового. Теперь предположим, что мы пришли к радикалу, который меняет свое значение лишь при тройных циклах. Обозначим его y₂, тогда y₂ n = q, где q — это рациональная функция от коэффициентов a, b, c, d, e и радикала y₁.

В данном случае z 3 = 1, то есть z здесь будет кубическим корнем из единицы.

Теперь произведем циклическую перестановку 5-и корней

Так как z должен быть кубическим корнем из единицы, как мы выяснили ранее, то единственным вариантом будет z = 1 и g должна быть инвариантна при любой из этих циклических перестановок. Но тогда она должна быть инвариантна и при циклической перестановке x₃,x₂,x₅,x₁,x₄ -> x₂,x₅,x₁,x₄,x₃. Отсюда, одной транспозицией мы можем получить, что

но, выше мы уже видели, что

а из этого следует

что приводит нас к противоречию, так как мы предполагали, что g меняет значение при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃).

Еще одним вариантом, было бы показать что все четные перестановки на пяти корнях порождаются тройными циклами, то есть, если есть тройные циклы, то никаких выражений от корней, которые бы сохраняли набор значений при всех четных перестановках, не существует. Если теперь перевести это на теоретико-групповой язык, то получается, что группа общего уравнения пятой степени есть симметрическая группа S₅, в которой существует 5! = 120 различных перестановок пяти корней. Далее, путем присоединения квадратного корня из дискриминанта, мы можем понизить ее до знакопеременной группы четных перестановок A₅, которая содержит 120/2 = 60 перестановок. Но A₅ является простой группой, в которой нет никаких нетривиальных нормальных подгрупп, которым бы соответствовали выражения от корней сохраняющие значения при определенных перестановках, из чего следует, что присоединение любых дополнительных радикалов не приблизит нас к решению.

Заключение

Поводом для написания данной статьи послужило желание структурировать свои мысли по этой теме и представить идеи о неразрешимости уравнений в радикалах без привлечения абстрактной алгебры и теории Галуа. По моему мнению, в подавляющем большинстве современных изложений теряется связь между областью, в которой происходит доказательство и конкретными уравнениями. Если у кого-то есть замечания, дополнения или ссылки на подобные элементарные изложения, буду рад услышать.

Степенные ряды. Теорема Абеля

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степеннбго ряда Степенным рядом называется функциональный ряд вида (о или вида (2) где коэффициенты . — постоянные. Ряд (2) формальной заменой х — х<> на х сводится к ряду (1). Степенной ряд (1) всегда сходится в точке х = 0, а ряд (2) — в точке х0, и их сумма в этих точках равна со. Пример. Ряды являются стеленными рядами. Выясним вид области сходимости степенного ряда. Теорема 1 (Абель).

Если степенной ряд сходится при , то он сходится абсолютно для всех х таких, что если степенной ряд расходится при х = xi, то он расходится при любом х, для которого Пусть степенной ряд СХОДИТСЯ При. сходится числовой ряд СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степеннбго ряда Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы Интегрирование степенных рядов Дифференцирование степенных рядов Ряд Тейлора Условия разложимости функции в ряд Тейлора элементарных функций Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций.

Отсюда следует, что а значит, существует число такое, что М для всех п. Рассмотрим ряд где и оценим его общий член. Имеем гдед= . Но ряд составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем q, где значит, сходится. На основании признака сравнения ряд 2 |с„:гп| сходится в любой точке х, для которой . Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится ДЛЯ Пусть теперь степенной ряд точки О), которые отделяют интервалы расходимости от интервала сходимости.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Имеет место следующая теорема. Теорема 2. Пусть степенной ряд сходится в точке х Ф 0. Тогда либо этот ряд абсолютно сходится в каждой точке числовой прямой, либо существует число R > О такое, что ряд сходится абсолютно при и расходится при Расходится . Абс. сходитсяРасходится д Рис. 1 Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал (-R, Я), где R > 0, такой, что в каждой точке х € (-Д, R) ряд абсолютно сходится, а в точках х таких, что |я| > R, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Замечание.

Что касается концов интервала сходимости (-R, Я), то возможны следующие три случая: I) степенной ряд сходится как в точке х = -R, так и в точке х = R, 2) степенной ряд расходится в обеих точках, 3) степенной ряд сходится в одном конце интервала сходимости и расходится в другом. Замечание. Степенной ряд где хо ф 0, имеет тот же радиус сходимости, что и ряд Для доказательства формулы (3) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Применяя к этому ряду признак Даламбера, находим Отсюда следует, что ряд (4) будет сходиться, если и расходиться, если . степенной ряд сходится абсолютно для всех х таких, что и расходится при .

По определению радиуса сходимости получаем, что Радиус сходимости степенного ряда можно находить также по формуле если существует конечный предел Формулу (5) легко получить, используя признак Коши. Если степенной ряд сходится только в точке х = 0, то говорят, что его радиус сходимости R = 0 (это возможно, например, при lim Ь^Д = оо или Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то полагают R = +оо (это имеет место, например, при lim п^р = 0 или Областью сходимости степенного ряда может оказаться либо интервал (, либо отрезок [, либо один из полуинтервалов (ж0 — R,x0 + Д) или [.

Если R = +оо, то областью сходимости ряда будет вся числовая ось, т. е. интервал (-оо, +оо). Для отыскания области сходимости степенного ряда нужно сначала вычислить его радиус сходимости R (например, по одной из приведенных выше формул) и тем самым найти интервал сходимости точки О), которые отделяют интервалы расходимости от интервала сходимости. Имеет место следующая теорема. Теорема 2. Пусть степенной ряд сходится в точке х Ф 0.

Тогда либо этот ряд абсолютно сходится в каждой точке числовой прямой, либо существует число R > О такое, что ряд сходится абсолютно при и расходится при | Расходится . Абс. сходится Расходится Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал (-R, Я), где R > 0, такой, что в каждой точке х € (-Д, R) ряд абсолютно сходится, а в точках х таких, что |я| > R, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Замечание. Что касается концов интервала сходимости (-R, Я), то возможны следующие три случая:

I) степенной ряд сходится как в точке х = -R, так и в точке х = R, 2) степенной ряд расходится в обеих точках, 3) степенной ряд сходится в одном конце интервала сходимости и расходится в другом. Замечание. Степенной ряд где хо ф 0, имеет тот же радиус сходимости, что и ряд Для доказательства формулы (3) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда.

Применяя к этому ряду признак Даламбера, находим Отсюда следует, что ряд (4) будет сходиться, если \, и расходиться, если , т. е. степенной ряд сходится абсолютно для всех х таких, что и расходится при \. По определению радиуса сходимости получаем, что R = £, т. е. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степеннбго ряда Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы Интегрирование степенных рядов Дифференцирование степенных рядов Ряд Тейлора Условия разложимости функции в ряд Тейлора элементарных функций Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций.

Радиус сходимости степенного ряда можно находить также по формуле если существует конечный предел Формулу (5) легко получить, используя признак Коши.

Если степенной ряд сходится только в точке х = 0, то говорят, что его радиус сходимости R = 0 (это возможно, например, при lim Ь^Д = оо или . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то полагают R = +оо (это имеет место, например, при Областью сходимости степенного ряда может оказаться либо интервал (, либо отрезок ], либо один из полуинтервалов (ж0 — R,x0 + Д) или [. Если R = +оо, то областью сходимости ряда будет вся числовая ось, т. е. интервал (-оо, +оо).

Для отыскания области сходимости степенного ряда нужно сначала вычислить его радиус сходимости R (например, по одной из приведенных выше формул) и тем самым найти интервал сходимости в котором ряд абсолютно сходится, затем —• исследовать .сходимость ряда в .концах интервала сходимости — в точках х = хо — R, х = xq + R. Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда М 1) Для нахождения радиуса сходимости R данного ряда удобно применить формулу (3). Так както будем иметь Ряд сходится абсолютно на интервале 2) Исследуем сходимость ряда (6) в концах интервала сходимости.

Положив х = —1, получим числовой ряд расходимость которого очевидна (не выполнен необходимый признак сходимости: . При х — 1 получим числовой ряд для которого не существует, а значит, этот ряд расходится. Итак, область сходимости ряда (6) есть интервал Пример 2. Найти область сходимости ряда М 1) Радиус сходимости находим по формуле (3). Имеем Ряд (7) сходится абсолютно на интервале , откуда При получим числовой ряд который расходится (гармонический ряд). При х = 0 будем иметь числовой ряд сходящийся условно. Таким образом, ряд (7) сходится в области Пример 3.

Найти интервал сходимости ряда Так как = , то для нахождения радиуса сходимости применим формулу Это означает, что данный ряд сходится при всех значениях х, т.е. областью сходимости является интервал Пример 4. Найти интервал сходимости ряда , то получим Равенство R = 0 означает, что ряд (8) сходится только в точке . е. область сходимости данного степенного ряда состоит из одной точки §2. Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы Теорема 1. Степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке , содержащемся в интервале сходимости ряда Пусть .

Тогда для всех ж, удовлетворяющих условию , и для любого п =. будем иметь . Но так как числовой ряд сходится, то по признаку Вейерштрасса данный степенной ряд сходится на отрезке абсолютно и равномерно. Теорема 2. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке ж его интервала сходимости ( 4 Любую точку ж из интервала сходимости (-Д, R) можно заключить в некоторый отрезок , на котором данный ряд сходится равномерно. Так как члены ряда непрерывны, то его сумма S(x) будет непрерывной на отрезке [-а, а], а значит, и в точке х.

Интегрирование степенных рядов

Теорема 3 (о почленном интегрировании степенного ряда). Степенной ряд можно интегрировать почленно в его интервале сходимости (-R, R), R > О, причем радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием, также равен R. В частности, для любого х из интервала (-R, R) справедлива формула Любую точку х из интервала сходимости (-Д, R) можно заключить в некоторый отрезок [-а, а], где . На этом отрезке данный ряд будет сходиться равномерно, а так как члены ряда непрерывны, то его можно почленно интегрировать, например, в пределах от 0 до ж.

Тогда, согласно теореме 4 главы XVIII, Найдем радиус сходимости R’ полученного ряда СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степеннбго ряда Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы Интегрирование степенных рядов Дифференцирование степенных рядов Ряд Тейлора Условия разложимости функции в ряд Тейлора элементарных функций Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций. при дополнительном условии существования конечного предела R.

Име Итак, радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не меняется. Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым и при Я = +оо. §4. Дифференцирование степенных рядов Теорема 4 (о почленном дифференцировании степенного ряда). Степенной ряд можно дифференцировать почленно в любой точке х его интервала сходимости 4 Пусть R — радиус сходимости ряда a R’ — радиус сходимости ряда Предположим, что существует (конечный или бесконечный) предел.

Найдем радиус В! ряда где Имеем Тем самым, радиусы сходимости рядов (1) и (2) равны. Обозначим сумму ряда (2) через Ряды (1) и (2) равномерно сходятся на любом отрезке [-а, а|, где . При этом все члены ряда (2) непрерывны и являются производными соответствующих членов ряда (1). Поэтому, согласно теореме 5 главы XVIII, на отрезке [-а, а) выполняется равенство . В силу произвольности а последнее равенство выполнено и на интервале Следспие. Степенной ряд Определение.

Будем говорить, что функция /(ж) разлагается в степенной ряд ]Г) СпХп на интервале , если на этом интервале указанный ряд сходится и его сумма равна /(ж): Докажем сначала, что функция /(ж) не может иметь двух различных разложений в степенной ряд вида Теорема 5. Если функция /(ж) на интервале (-R, R) разлагается в степенной ряд (1), то это разложение единственно, т. е. коэффициенты ряда (1) по его сумме определяются однозначно. Пусть функция в интервале разложена в сходящийся степенной ряд Дифференцируя этот ряд почленно п раз, найдем При ж = 0 получаем откуда Таким образом, коэффициенты степенного ряда (1) формулой (2) определяются однозначно. Замечание.

в степенной ряд по степеням разности x-zq, то коэффициенты с„ этого ряда определяются формулами . Пусть функция / имеет производные всех порядков .е. является бесконечно дифференцируемой в точке жо. Составим дня этой функции формальный степенной ряд вычислив его коэффициенты по формуле (3). §5. Определение. Рядом Тейлора функции /(х) относительно точки х0 называется степенной ряд вида (здесь . Коэффициенты этого ряда .. называются коэффициентами Тейлора функции .

При хо = 0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена. Из теоремы 5 вытекает следующее утверждение. Теорема б. Если на интервале функция /(х) разлагается в степенной ряд то этот ряд является рядом Тейлора функции /(х). Пример 1. Рассмотрим функцию и найдем ее производные. Для z О эта функция имеет производные всех порядков, которые находятся по обычным правилам и, вообще, где Pjn (i) — многочлен степени 3п относительно j. Покажем теперь, что в точке 2 = 0 данная функция также имеет производные любого порядка, причем все они равны нулю.

Исходя из определения производной, имеем (при вычислении предела мы применили правило Яопиталя). Аналогичным образом можно доказать, что Тем самым, заданная функция имеет на числовой оси производные всех порядков. Построим формальный ряд Тейлора исходной функции относительно точки z0 = Имеем . Очевидно, что сумма этого ряда тождественно равна нулю, в то время как сама функция f(x) тождественно равной нулю не является. ^

Про этот пример стоит вспомнить при обсуждении комплексного анализа (аналитичности): функция, внешне совершенно благопристойная, проявляет на действительной оси капризный характер, являющийся следствием неприятностей на мнимой оси. Формально построенный в примере для заданной бесконечно дифференцируемой функции ряд сходится, но его сумма не совпадает со значениями этой функции при х Ф 0. В связи с этим возникает естественный вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(x) на интервале (жо — R,xo + R), чтобы ее можно было разложить в сходящийся к ней ряд Тейлора?

Условия разложимости функции в ряд Тейлора Для простоты будем рассматривать степенной ряд вида т. е. ряд Маклорена. Теорема 7. Для того чтобы функцию f(x) можно было разложить в степенной ряд на интервале (-R, R), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале функция f(x) имела производные всех порядков и чтобы в ее формуле Тейлора остаточный член Rn(x) стремился к нулю при для всех м Необходимость. Пусть на интервале ( функция f(x) разложима в степенной ряд т. е. ряд (2) сходится и его сумма равна f(x). Тогда по теореме 4 и следствию из нее функция f(x) имеет на интервале (-R, R) производные /(п^(х) всех порядков.

По теореме 5 (формула (2)) коэффициенты ряда (2) имеют вид т. е. мы можем написать равенство В силу сходимости этого ряда на интервале (-R, R) его остаток 0 стремится к нулю при п оо для всех х Достаточность. Пусть функция /(яг) на интервале (-R, R) имеет производные всех порядков и в ее формуле Тейлора остаточный член Rn(x) 0 при п оо для любого х € (-Д, R). Поскольку при п —» оо. Поскольку в квадратных скобках записана n-я частичная сумма ряда Тейлора, то формула (4) означает, что ряд Тейлора функции f(x) сходится на интервале (-Д, R) и его суммой является функция f(x).

Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд, удобные для практического применения, описываются следующей теоремой. Теорема 8. Для того, чтобы функцию f(x) на интервале <-R, R) можно было разложить в степенной ряд достаточно, чтобы функция f(x) имела на этом интервале производные всех порядков и чтобы существовала постоянная М >О такая, что . Пусть функция f(x) имеет на интервале (-Д, R) производные всех порядков. Тогда для нее можно формально написать ряд Тейлора Докажем, что он сходится к функции f(x). Для этого достаточно показать, что остаточный член в формуле Тейлора (1) стремится к нулю при п оо для всех х € (-Д, R).

В самом деле, учитывая, что ). Числовой ряд сходится в силу признака Даламбера: в силу необходимого признака сходимости. Из неравенства (3) получаем !отя функция янной М, от § б. Ряды Тейлора элементарных функций Рассмотрим разложения в ряд основных элементарных функций. 6 Эта функция имеет производные всех порядков на интервале (— любое число, причем Следовательно, показательная функция ех разлагается в ряд Тейлора на любом интервале (-а, а) и, тем самым, на всей оси Ох.

Так как , то получаем ряд Если в разложении (1) заменить ж на -а*, то будем иметь Данная функция имеет производные любого порядка, причем . Тем самым, по теореме 8 функция sin ж разлагается в сходящийся к ней на интервале (-оо, +оо) ряд Тейлора. Так как то этот ряд имеет следующий вид Радиус сходимости ряда Аналогично получаем, что — любое действительное число Эта функция удовлетворяет соотношению и условию Будем искать степенной ряд, сумма которого 5(ж) удовлетворяет соотношению (4) и условию 5(0) = 1. Положим Отсюда находим Подставляя соотношения (5) и (6) в формулу (4), будем иметь.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получим откуда находим СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степеннбго ряда Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы Интегрирование степенных рядов Дифференцирование степенных рядов Ряд Тейлора Условия разложимости функции в ряд Тейлора элементарных функций Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций.

Подставляя эти значения коэффициентов в соотношение (5), получим ряд Найдем радиус сходимости ряда (7) в случае, когда а не является натуральным числом. Имеем Итак, ряд (7) сходится при . е. на интервале Докажем, что сумма 5(ж) ряда (7) на интервале (-1,1) равна (1 + ж)°. Для этого рассмотрим отношение Так как 5(х) удовлетворяет соотношению ( то для производной функции ф(х) получаем: для. Отсюда следует, что . В частности, при х = 0 имеем и значит, или Полученный ряд называется биномиальным, а его коэффициенты — биномиальными коэффициентами. Замечание. В случае, если а — натуральное число (о = г»), функция (1 + z)a будет многочленом п-й степени, и Дп(х) = 0 для всех п > а. Отметим еще два разложения.

При а = -1 будем иметь Заменив ж на -ж в последнем равенстве, получим получения разложения этой функции в ряд Тейлора по степеням ж проинтегрируем ,енство (9) в пределах о Равенство (11) справедливо в интервале . Заменяя в нем ж на -ж, получим ряд Можно доказать, что равенство (11) справедливо и для ж = 1: Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций. Пользуясь этой таблицей, можно получать разложения в степенной ряд более сложных функций. Покажем на примерах, как это делается.

Пример 1:

Разложить функцию 4-х в степенной ряд в окрестности точки xq = 2, т. е. по степеням разности z -2. Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было использовать ряд (10) для функции Имеем . Заменяя в формуле (10) х на ^. получим I I Это разложение справедливо, когда выполнено любое из эквивалентных неравенств Пример 2. Разложить по степеням х функцию используя формулу (10). 4 Разлагая знаменатель на множители, представим данную рациональную функцию в виде разности двух простейших дробей.

После простых преобразований получим 1 К каждому слагаемому в правой части равенства (13) применяем формулу (10), в результате чего получим степенные ряды Ряд (14) сходится для \ а ряд (15) сходится для 2. Оба ряда (14) и (15) будут сходиться одновременно для \. Так как в интервале (-1,1) ряды (14) и (15) сходятся, то их можно почленно вычитать. В результате мы получим искомый степенной ряд радиус сходимости которого равен R = 1. Этот ряд сходится абсолютно для Пример 3.

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки хо = 0 функцию arcsin х. 4 Известно, что Применим к функции ( формулу (8). заменяя в ней х на -х2. В результате для получаем Интефируя обе части последнего равенства от нуля до х (почленное интегрирование законно, так как степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке с концами в точках 0 и х, лежащем в интервале (-1,1)), найдем или Тем самым, окончательно получаем, что Замечание. Разложение в степенные ряды можно использовать для вычисления интегралов, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции.

Приведем несколько примеров. Пример 4. Вычислить интеграл (интегральный синус) , Известно, что первообразная для функции ^ не выражается через элементарные функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, пользуясь тем, что Из равенства (16) находим Заметим, что деление ряда (16) на t при t ф О законно. Равенство (17) сохраняется и при если считать, что при t = О отношение — = 1. Тем самым, ряд (17) сходится при всех значениях .

Интегрируя его почленно, получим Полученный ряд — знакочередующийся, так что погрешность при замене его суммы частичной суммой оценивается просто. Пример 5. Вычислить интеграл Здесь первообразная для подынтегральной функции е также не является элементарной функцией. Для вычисления интеграла заменим в формуле Получим Проинтегрируем обе части этого равенства в пределах от 0 до х:

Этот ряд сходится при любых г (его радиус сходимости R = +оо) и является знакочередующимся при Упражнения Найдите область сходимости степенных рядов: Разложите следующие функции в ряд Маклореиа и укажите области сходимости полученных рядов: Указание. Воспользуйтесь таблицей. Пользуясь таблицей, разложите заданные функции в ряд Тейлора по степеням х — х0 и укажите интервалы сходимости полученных рядов.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.