Теорема алгебры о корнях уравнения

Нахождение рациональных корней

Содержание:

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство:

Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на :

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель , то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Задача пример №8

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение:

свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент ±1 и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Задача пример №9

Найдите корни многочлена .

Решение:

по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как , то, решив квадратное уравнение , получим другие корни: . Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня: —.

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми.

Например, для нахождения корней многочлена надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное уравнение .

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия:

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т.е. определяется двучлен , на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: ; . Значит, многочленах не имеет рациональных корней.

Исследование:

1) Перепишите примеры в тетрадь и проведите обсуждение.

a) Многочлен первой степени имеет один корень:

b) Многочлен второй степени имеет два корня: , ;

c) Многочлен третьей степени имеет три корня:

d) Многочлен четвертой степени имеет четыре корня:

e) Принимая во внимание, что уравнение имеет кратные корни, получим 5 корней:

2) Укажите степень и найдите корни многочленов, разложение на множители которых имеет вид .

3) Равна ли степень произвольного многочлена количеству его корней?

Покажем на примере, что многочлен n-ой степени имеет n корней.

Задача пример №10

Найдите все корни многочлена .

Решение:

рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

.

Значит, является корнем данного многочлена . Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда ; . Решим уравнение ; ; (корень кратности 2); ;

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение n-ой степени всегда имеет n корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Теорема о корне при решении уравнений. Урок алгебры. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Использование особенностей монотонности функций для активизации творческого мышления учащихся.
2. Формирование у школьников навыков применения теоремы о корне для решения уравнений.
3. Умение обобщать, конкретизировать и анализировать изучаемый материал.
4. Обучение учащихся нестандартным способам решения задач.
5. Развитие логики и навыков самостоятельной работы.
6. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: учебник “Алгебра 9” (автор: Мордкович А. Г.), задачник “Алгебра 9” (авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.), книга для преподавателей “Алгебра 9” (авторы: Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А.), карточки с памяткой для самостоятельной работы по данной теме, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Предложенный урок расширяет программу по теме “Функции”. Учащиеся уже знакомы с основными свойствами функций, владеют навыками грамотного чтения графиков и умеют применять алгоритм исследования функций. На уроке основной упор делается на использование свойств монотонности функций для решения уравнений. Рассматривается теорема о корне. В ходе урока каждый учащийся должен достигнуть определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно.

Ожидаемый результат по окончании изучения материала:

1-й уровень: каждый ученик должен знать геометрическую модель теоремы о корне и уметь установить связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

2-й уровень: каждый ученик должен знать алгоритм решения уравнений с использованием теоремы о корне и уметь применять ее для решения нестандартных задач.

На уроке рассматриваются различные виды уравнений, решаемых с помощью теоремы о корне. В дальнейшем учащимся предлагается использовать предложенный алгоритм в домашней контрольной работе (§16, задачник “Алгебра 9” авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.). Для организации проверочной работы используются задания из практикума (составитель автор).

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (7 мин.).

Учитель: Необходимо повторить пройденное для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала. На протяжении изучения темы “Функции” вы постепенно учились читать графики функций, используя алгоритм для их исследования. Остановимся на особенностях возрастающей и убывающей функций. Подборка материала подготовлена учащимися.

Выступление учащихся сопровождается показом презентации.

III этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель: Сегодня изучение нового материала мы начнем с доказательства теоремы о корне.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Доказательство:

Рассмотрим возрастающую функцию f(x) (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию на множестве X существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b — единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на множестве X есть еще число , такое, что f(c)=a. Тогда или c b. Но функция f(x) возрастает на множестве X, поэтому соответственно либо f(c) f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и на множестве X, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

Геометрическая модель теоремы о корне может быть представлена как на экране, так и на плакате.

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующие примеры:

Сколько корней имеет уравнение?

(1);

— x 5 = (2).

Учащиеся отмечают, что на своих областях определения функция возрастает, а функция y = — x 5 – убывает соответственно. По теореме о корне как уравнение (1), так и уравнение (2) имеют по одному корню.

Учитель: Откроем учебник на 98 стр. и обратим внимание на то, что при решении уравнения x 5 =3-2x (пример 1, рис. 79) геометрическая модель наглядно иллюстрирует следствие, которое следует из теоремы о корне:

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

По учебнику разбирается пример 1.

Опираясь на это утверждение, можем изящно решить уравнение

x 5 = 3 — 2x без чертежа, следуя следующему алгоритму:

1. заметим, что при x=1 выполняется равенство 1 5 =3-2·1,
   значит, x=1 – корень уравнения (этот корень мы угадали);
2. функция у = 3 — 2x убывает, а функция у = x 5 возрастает,
   значит, корень у заданного уравнения только один и
   этим корнем является значение x=1.

Учитель: Определим сколько решений имеет уравнение x 5 = — 3x +5 с комментированием на месте.

Решение:

1. рассмотрим функции у = x 5 и у = — 3x + 5; заметим, что область определения этих функций одинакова: D(у)=(-; +);
2. на D(у) функция у = — 3x + 5 убывает, а функция у = x 5 возрастает. Значит, по следствию из теоремы о корне, у заданного уравнения только один корень, т.е. уравнение, имеет одно решение.

Учитель: Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи, используя теорему о корне (следствие).

На экране высвечивается обобщенный алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

1. Определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b).
2. Ввести две функции y=f(x) и y=g(x).
3. Исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x)возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

IV этап. Усвоение новых знаний (23 мин.)

Учитель: Карточки и памятка для самостоятельной работы лежат у вас на столах. Приступим к выполнению заданий.

Так как нетрадиционные методы решения задач вызывают трудность у большинства учащихся, то следующее уравнение предлагается решить вместе. Для оформления решения учащийся по желанию выходит к доске (дается уравнение 2 уровня).

Решить уравнение: (3).

Решение: в начале запишем уравнение (3) в виде

,

затем воспользуемся теоремой о корне.

1. при x=5 уравнение превращается в верное числовое равенство: ; 5=5 (т.е. угадали корень уравнения – x=5).
2. заметим, что в левой части уравнения функция возрастает на D(у)=[3; +); значит, у заданного уравнения корень только один и этим корнем является значение x=5.

После того как данное задание выполнено, класс приступает к решению уравнений в зависимости от восприятия материала:

1) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными уравнениями;
2) те, у кого решение уравнений не вызывает затруднений.

В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.

1 уровень.

1. (Ответ: 0);

2. (Ответ: 2);

3. (Ответ: 3);

4. (Ответ: 4);

5. (Ответ: -2);

6. (Ответ: 1).

2 уровень.

1. (Ответ: 1);

2. (Ответ: -1);

3. (Ответ: -2);

4. (Ответ: 2);

5. (Ответ: -3);

6. (Ответ: -2);

7. (Ответ: 2).

Необходимо проверить правильность выполнения заданий, поэтому от каждой группы выступает ученик, демонстрируя решение одного из уравнений на доске.

V этап. Итог урока (2 мин.).

Подводя итог урока, учитель и ученики выясняют трудности при решении уравнений и обсуждают, на что они должны обратить внимание при выполнении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.).

Учитель: задание на дом следующее: доделать задания на карточках; если на уроке выполнено все, то воспользоваться дополнительной карточкой из материалов для самостоятельной работы; домашняя контрольная работа (§16, задачника “Алгебра 9”).

Заключительное слово учителя (1мин). Любовь к предмету не возникает просто так. Двигаясь постепенно от простого к сложному, анализируя и обобщая учебный материал, интересуясь “изящными” способами решения, можно понять красоту алгебры. Сегодня знание теории и практические навыки, что равнозначно, показали многие из вас. Особую благодарность заслуживают ребята, создавшие прекрасную презентацию. Постижение мира бесконечно: дерзайте, творите, ошибайтесь, ищите ответы на вопросы, только не “проспите” лучшие годы. “Жажда к жизни” – залог успеха.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

1. Памятка по решению уравнений.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

Алгоритм решения уравнения f(x)=a с использованием теоремы о корне:

1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
2. исследовать функцию y=f(x), стоящую в левой части уравнения, на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), то уравнение f(x)=a имеет единственный корень – x=b (ссылка на теорему).

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

Рекомендации:

Сначала, если это необходимо, уравнение привести к такому виду, чтобы было удобно исследовать на монотонность функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, а затем следовать согласно следующему алгоритму:

1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
2. ввести две функции y=f(x) и y=g(x);
3. исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

2. Практические задания.

Рекомендации: рассмотрим готовое решение уравнения (возможен такой вариант оформления).

Решить уравнение: .

Решение:

Функция f(x) = определена и монотонно возрастает на D(у)=[0; +);

На основании теоремы о корне уравнение имеет не более одного корня.

Т.к. f (1) = 4, то x = 1 – корень уравнения.

Дополнительная карточка (подбор заданий [1]).

;

;

;

;

;

.

Литература.

1. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.

Основная теорема алгебры и ее следствия

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствие 1. Любой многочлен степени 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMA/sAYMQXYQYWhYbFRcq20Ms4AAACTSURBVBjTY2AgETjgEGc+pIBDRm0iigzXYgSbEVXPsmZUGebdDpd0oFKTUWQ4nbILGg0gAocmI8uYMYkwHCyAihRNR5IxZ9zA0Ah3frUKkgscLzCkwa32RJZpdGCWgEkUbUd2tSIDr4g1VALFBQzSDEwJPVBXs0JlDEEyLFIMPJINqD5tFBQUB1JAvxiDQ6cZNfAAvaobxKduFrwAAAAASUVORK5CYII=» /> с комплексными коэффициентами можно представить в виде произведения линейных двучленов:

где — корни многочлена кратности соответственно, причем . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Если многочлены и , степени которых не превосходят , имеют равные значения более чем при различных значениях переменной , то эти многочлены равны: .

В самом деле, по условию многочлен имеет более, чем корней, хотя его степень меньше или равна , что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени . Так как он имеет корни, то . Следовательно, , то есть .

Это следствие позволяет рассматривать многочлен не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной , поскольку равенство многочленов , определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях , совпадает (в силу следствия 2) с понятием равенства двух функций при всех значениях .

Рассмотрим многочлен с действительными коэффициентами . Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид

где — корни многочлена (могут быть комплексные).

Если комплексное число является корнем этого многочлена, то есть

то сопряженное число также является его корнем, т.е. . Это вытекает из равенства . Поскольку числа и не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение

Так как сумма и произведение сопряженных чисел являются действительными числами, то правая часть последнего равенства есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Причем, если , то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный.

Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число — корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число является его корнем той же кратности.

В самом деле, если — корень кратности , то для него выполняются условия (В.12)

следует, что — корень той же кратности .

Следствие 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):

где — действительные корни кратности , причем .

Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены ).

Пример В.14. Многочлен

а) представить в виде (В.14);

б) представить в виде (В.13).

Решение. Данный многочлен имеет двойной корень и простой корень (см. пример В.13). Поэтому его можно представить в виде

Разделим многочлен на многочлен «уголком»:

Следовательно, имеем . Это разложение имеет вид (В.14), поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, что и требовалось в пункте «а»;

б) разложим квадратный трехчлен на линейные множители, что возможно над полем комплексных чисел:

так как уравнение имеет два комплексных корня .

Тогда разложение (В. 13) для данного многочлена принимает вид

Согласно следствию 1, многочлен имеет один двойной корень , один простой действительный корень и пару простых сопряженных корней , то есть всего 5 корней (с учетом их кратности).