3. Существование и единственность решений дифференциального уравнения
1. Автономные уравнения на прямой
Неособая точка. Если точка $x_0$ является неособой, то есть $f(x_0)≠0$, решение находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:
Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так. Известно, что $f(x_0)≠0$; допустим для определённости (как говорят «без ограничения общности»), что $f(x_0)>0$ (обратный случай рассматривается полностью аналогично). Поскольку функция $f$ непрерывна вблизи точки $x_0$, существует её окрестность $U$, на которой функция $f$ принимает только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция $\frac<1>
Рассмотрим теперь второй возможный случай.
Особая точка. Если $f(x_0)=0$, очевидно, решением является константа $x=x_0$: в точке $x_0$ уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным. ∎
Вот такое доказательство. Убедительно?
Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.
Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной обман?
А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы сказали, что существует решение $x=x_0$, но мы не доказали на самом деле, что других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция $x=t^3$ имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.
Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет. Теорема верна. Если вы внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение, рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть $f(x)=x^<2/3>$ не является гладкой функцией в точке $x=0$: её производная там стремится к бесконечности.
Этот пример показывает, что требование $C^1$-гладкости правой части в формулировке теоремы 1 является важным: если его выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить: вместо гладкости требовать липшицевости правой части.) Если же это требование выполняется, теорема верна. Докажем это.
Пусть $f(x_0)=0$. Функция $x(t)=x_0$ в этом случае всегда будет решением уравнения $\dot x=f(x)$. Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение $x_0$ (быть может, на некотором отрезке по оси $y$), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если $f\in C^1$, то «побег» запрещен.
Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки $x_0$ в какую-то точку $x_2$, то есть существует решение $x=x(t)$, принимающее значение $x_0$ при $t=t_0$ и значение $x_2$ при каком-то другом $t=t_2$. Возьмём какую-то точку $x_1$ между $x_0$ и $x_2$. Поскольку решение непрерывно, должен существовать момент времени $t_1\in (t_0, t_2)$, в который мы окажемся в точке $x_1$ (то есть $x(t_1)=x_1$). Посчитаем время $t_2-t_1$, которое потребуется, чтобы от $x_1$ добраться до $x_2$, см. рис. 1 .
Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из $x_0$ в какую-то другую точку: понятно, что $t_2 — t_0 > t_2 — t_1$ и если вторая величина может быть сколь угодно большой, то первая не может быть конечным числом.
Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Предположим для простоты, что $x_0=0$. Возьмём функцию $f(x)$, такую, что $f(0)=0$. Вблизи нуля она хорошо приближается касательной $y=f'(0)x$, хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. рис 2 .)
2. Общий случай
Существует такая окрестность $U\ni t_0$, что на $U$ существует и единственно решение $x\colon U\to \mathbb R^n$ задачи (6) .
3. Метод разделения переменных: магия продолжается
Обоснование. Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое доказательство, но оно потребует дополительных построений.
Итак, пусть $x=x(t)$ — функция, удовлетворяющая соотношению (8) . Продифференцируем почленно это соотношение по переменной $t$.
Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
Впервые существование решения дифференциального уравнения было доказано Коши. Приводимое ниже доказательство основано на методе последовательных приближений, который принадлежит Пикару. Этот метод имеет самостоятельное значение, поскольку позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения.
Формулировка теоремы
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
с начальным условием
(1.1) .
Пусть – непрерывная функция двух переменных в замкнутой области :
и, следовательно, ограничена некоторым положительным значением :
(2) .
И пусть функция удовлетворяет условию Липшица:
(3) ,
.
Тогда существует единственное решение уравнения (1):
,
удовлетворяющее начальному условию , определенное и непрерывное для значений в интервале:
,
где есть наименьшее из двух чисел и .
Условие Липшица
Рассмотрим условие Липшица. Оно имеет вид:
(3) ,
где – положительное число;
, и – любые значения из области :
, , .
Смысл условия Липшица легко понять, если записать его в виде:
(3.1) .
При некотором фиксированном значении переменной , функция является функцией от переменной : . Пусть мы имеем график этой функции. Возьмем две точки, принадлежащие , на этом графике и проведем через них прямую. Тогда угол между прямой и осью ограничен некоторым значением , которое меньше . При таком ограничении график не имеет вертикальных касательных и скачков. А в тех точках, где существует частная производная , она ограничена:
.
Если в области функция имеет непрерывную частную производную , то в этой области выполняется условие Липшица (3).
Для доказательства заметим, что поскольку частная производная непрерывна в замкнутой области, то она ограничена:
.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем:
,
где частные производные вычисляются в некоторой точке , в которой переменная принадлежат интервалу между и :
.
Тогда:
.
Доказательство существования решения
Приведем исходное уравнение (1) с начальным условием (1.1) к интегральному уравнению. Левая и правая части (1) являются функциями от . Заменим на :
.
Интегрируем это уравнение по от до :
;
Подставим начальное условие . В результате получим интегральное уравнение:
(4) .
Покажем, что интегральное уравнение (4) эквивалентно дифференциальному уравнению (1) с начальным условием (1.1). Для этого нужно показать, что из (1) и (1.1) следует (4) и из (4) следует (1) и (1.1). То, что из (1) и (1.1) следует (4) мы уже показали. Осталось показать, что из (4) следует (1) и (1.1). Для этого подставим в (4) . Получим начальное условие (1.1). Продифференцировав обе части уравнения (4) по , получаем уравнение (1).
Далее мы пытаемся найти решение уравнения (4) с помощью последовательных приближений. Для этого определяем ряд функций от переменной по формулам:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
.
(5.n) .
Мы предполагаем, что при , стремится к решению уравнения (4):
(6) ,
где – решение уравнения (4). Если мы докажем это, то мы докажем существование решения.
Доказательство существования решения будем проводить в два этапа:
1> вначале докажем, что предел (6) существует;
2) затем докажем, что удовлетворяет уравнению (4):
.
1) Доказательство существования предела yn при n стремящемся к бесконечности
Сведем последовательные приближения (5.1) – (5.n) к сумме ряда. Для этого пишем:
.
Таким образом нам нужно доказать, что ряд
(7)
сходится при .
Сначала покажем, что при , последовательные приближения принадлежат интервалу .
Действительно, при имеем:
.
Поскольку есть наименьшее из двух чисел и , то и
.
Далее, поскольку принадлежит интервалу , то . Тогда, аналогично предыдущему,
.
Отсюда
.
Далее, по индукции, поскольку принадлежат интервалу , то и
.
Отсюда
.
Итак, мы доказали, что последовательные приближения принадлежат интервалу
.
Теперь мы можем оценить члены ряда (7), применяя условие Липшица.
Для первого члена имеем:
;
(8.1) .
Для второго члена применяем условие Липшица и оценку (8.1):
;
(8.2) .
Для третьего члена применяем, аналогично, условие Липшица и оценку (8.2):
;
(8.3) .
Далее применим метод индукции. Пусть
(8.n) .
Тогда
;
(8.n+1) .
Итак, поскольку (8.n) справедливо для и из (8.n) следует (8.n+1), то (8.n) выполняется для любых .
Запишем ряд (7) в виде:
(7.1) ,
где .
Применим (8.n) и заменим наибольшим допустимым значением :
.
Тогда каждый член ряда (7.1) ограничен по модулю членом ряда
(9) .
Исследуем ряд (9) на сходимость. Применим признак Даламбера:
.
Итак, ряд (9) сходится. Поскольку все члены ряда (7.1), начиная со второго, по абсолютной величине меньше членов сходящегося ряда (9), то, в силу критерия Вейерштрасса, ряд (7.1) сходится равномерно для всех , удовлетворяющих условию . Поскольку интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела, то каждый член ряда (7.1) есть непрерывная функция от . Поэтому предел
(10)
существует и является непрерывной функцией от .
2) Доказательство того, что Y является решением (4)
Рассмотрим уравнение (5.n):
(5.n) .
Докажем, что при , это уравнение стремится к уравнению
(11) .
В силу (10) левая часть уравнения (5.n) стремится к .
Теперь покажем, что
.
Перепишем правую часть (5.n):
.
Далее заметим, что поскольку все принадлежат закрытому интервалу , то и принадлежит этому интервалу, . Поэтому мы можем применить условие Липшица.
Оценим абсолютную величину последнего члена:
.
Поскольку, при , стремится к равномерно, то для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для всех ,
.
Тогда
.
Поскольку произвольно, то
Поэтому
.
То есть при уравнение
(5.n)
принимает вид
(11) .
Доказательство единственности решения
Предположим, что уравнение
(4)
имеет два решения и , различающиеся в некоторой точке , принадлежащей интервалу .
Рассмотрим функцию
.
Будем считать, что . В противном случае поменяем местами и .
Поскольку и непрерывны, то и непрерывная функция. Поэтому она отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку :
при .
Поскольку , то . То есть точка не принадлежит этому интервалу.
Если , то преобразуем (4) следующим образом:
,
где
.
Если переобозначить постоянные
,
то получим задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не превосходящее .
Если , то поступаем аналогично:
,
Переобозначим постоянные:
.
Получаем задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не меньшее .
Итак, мы имеем:
;
при ( или при ).
Далее возьмем произвольное положительное число ( или ) и рассмотрим закрытый интервал ( или ). Поскольку функция непрерывна, то она достигает наибольшего значения в одной из точек этого интервала:
( или ).
Сделаем оценку, применяя уравнение (4) и условие Липшица:
;
.
Поскольку , то разделим на :
.
Возникает противоречие, поскольку при это неравенство не выполняется.
Следовательно, не может иметь отличных от нуля значений. Поэтому . Что и требовалось доказать.
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 04-06-2016 Изменено: 20-06-2016
Основные понятия и определения дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,
Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида
называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь
Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Общий вид уравнения первого порядка
Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).
Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям
а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;
б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .
Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.
1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).
2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость .
3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).
Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.
Условие Липшица
Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .
Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная ( постоянная Липшица ), что для любых из и любого из справедливо неравенство
Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,
поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .
Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши
имеет единственное решение.
Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение
Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,
и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .
Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию
Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция
зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что
1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;
2) каково бы ни было начальное условие
можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.
Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .
Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.
Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,
Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.
В частности, полагая и , получим частное решение .
Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).
Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .
Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.
При и получим частное решение .
С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).
Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.
Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.
Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.
Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/teorema-suschestvovaniya/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=osnovnye-ponyatiya-i-opredeleniya-differentsialnyh-uravneniy