Теорема о гладкости решений дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения

Специальность: Прикладная математика и информатика

«Дифференциальные уравнения» являются одной из базовых дисциплин в общем образовании математика-прикладника.

Опираясь на фундаментальные сведения из математического анализа, геометрии и высшей алгебры, «Дифференциальные уравнения» дают прикладнику одно из мощных средств анализа явлений и процессов различной природы математическими методами. Ознакомить студентов с начальными навыками математического моделирования, показать возникающие принципиальные трудности при переходе от реального объекта к его математической идеализации, показать разницу между «хорошими» и «плохими моделями» — важные естественнонаучные задачи курса.

Хорошо известно, что математическая модель какого-либо нетривиального явления или процесса лишь в исключительных случаях допускает достаточно полный анализ классическими методами теории дифференциальных уравнений. Поэтому, чтобы эти классические методы не оставались «вещью в себе» для математика-прикладника, часть времени выделяется на то, чтобы показать, как синтез классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов, позволяет получать представление о поведении решений достаточно сложных модельных уравнений.

Содержание

1. Введение

Основные понятия и определения. Примеры описаний в форме возникновения дифференциальных уравнений. Задачи анализа и геометрии. Математические модели детерминированных явлений: вторая гипотеза Ньютона, математический маятник (линейная и нелинейная постановка задачи), колебательный контур с индуктивностью и емкостью, сравнение с моделью математического маятника, экспоненциальная модель и примеры ее использования. Идеология построения адекватных моделей сложных явлений: математическое моделирование в системе хищник-жертва, задача об орбите спутника в реальном поле тяготения Земли.

2. Уравнения первого порядка

Поле направлений, изоклины, ломаные Эйлера. Численное решение дифференциального уравнения, как задача математического моделирования. Методы первого, второго и старших порядков. Теорема о независимых интегралах уравнения первого порядка. Теорема Коши-Пикара.

Теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий. Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметрам.

Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные уравнения и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений.

Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним.

Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Постановка задачи Коши и поля направлений, теорема о существовании и единственности решений задачи Коши. Уравнения Лагранжа и Клеро.

3. Уравнения n-го порядка

Задача Коши, граничные задачи. Общий интеграл, общее решение, промежуточные интегралы, понижение порядка уравнения с помощью интегралов. Интегрирование уравнений. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка.

4. Нормальные системы уравнений

Теорема Пикара-Коши для нормальной системы. Свойства решений нормальной системы. Теорема о степени гладкости решений. Теорема Пеано. Теорема Коши о существовании голоморфных решений нормальной системы. Теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров. Теоремы о дифференцируемости решений по начальным условиям и параметрам. Теория интегралов нормальной системы.

5. Линейные уравнения и системы

Линейные модели и принцип линеаризации. Теорема Пикара-Коши для линейных уравнений и систем. Фундаментальная система решений, теорема о существовании ФСР. Общее решение однородных уравнений и систем. Общее решение неоднородных уравнений и систем. Метод вариации постоянных, метод Коши. Формула Остроградского-Лиувилля. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Линейный осциллятор, понятие о резонансе. Линейные системы с периодическими коэффициентами.

6. Системы уравнений

Система уравнений первого порядка. Система уравнений высших порядков. Каноническая система уравнений высших порядков. Автономная система и ее свойства. Динамические системы, связь между фазовыми кривыми и интегральными кривыми, автономные динамические системы, фазовая плоскость, интегральные многообразия. Системы в симметрической форме.

7. Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Определения. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости, устойчивости по первому приближению, теорема Четаева о неустойчивости, примеры. Изучение окрестности положений равновесия автономной динамической системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости, понятие о грубой системе, понятие предельного цикла динамической системы.

8. Построение приближенных дифференциальных уравнений

Обзор методов приближенного построения решений квазиинтегрируемых систем: прямые оценки, метод малого параметра, метод усреднения. Схема Ван-дер-Поля.

9. Уравнения в частных производных

Особенности решений, сравнение с обыкновенными уравнениями, примеры. Задача Коши. Уравнения первого порядка: линейные уравнения (характеристики, теорема об общем решении, решение задачи Коши), квазилинейные уравнения (решение в неявной форме, общее и специальное решение, решение задачи Коши). Геометрические представления в трехмерном пространстве (непрерывное векторное поле, линии поля, геометрические свойства интегральных поверхностей, характеристики и интегральные поверхности).

Теорема о гладкости решений дифференциальных уравнений

Прежде всего следует отметить, что для гладкости решений ФДУ необходима (но не достаточна !) соответствующая гладкость начальной функции.

Например, если мы хотим исследовать существование ( k +1)-ой производной решения уравнения

то соответствующая начальная функция должна принадлежать классу . Поэтому всюду в дальнейшем будем предполагать, что начальная функция обладает необходимой гладкостью.

12.1. О гладкости решения в начальной точке. Как известно [18, 28], решения ФДУ могут иметь разрывы производной в начальной точке.

Для того, чтобы в начальный момент времени решение уравнения (1.1), соответствующее начальной функции , было непрерывно дифференцируемо необходимо и достаточно выполнения условия

называемого условием склейки 1-го порядка . Напомним, что включение означает, что функция , определенная на полуинтервале , может быть продолжена в классе на весь интервал , причем . Поэтому далее считаем .

Для непрерывности k -й производной решения в начальный момент времени необходимо и достаточно выполнения условия склейки k -го порядка

где — k -я правая производная начальной функции в нуле;
— ( k -1)-я полная производная функционала f в силу системы (1.1) в точке . При этом предполагается, что функционал f имеет в точке частные и инвариантные производные по t , x , до ( k -1)-го порядка включительно.

Теорема 12.1. Для того, чтобы решение уравнения (1.1) имело в начальный момент времени двусторонние непрерывные производные до k -го порядка включительно, достаточно выполнения условий склейки до ( k -1)-го порядка.

12.2. О гладкости решения на интервале.

Теорема 12.2. Если отображение имеет инвариантно непрерывные частные и инвариантные производные по t , x и до m -го порядка и выполняются условия склейки до m -го порядка, то всякое решение уравнения (1.1) имеет непрерывные производные по t до ( m +1)-го порядка.

Доказательство . Пусть x ( t ), , — решение задачи (1.1) — (1.3). Тогда на отрезке имеет место тождество

Из непрерывности на отрезке функции x ( t ) и инвариантной непрерывности отображения f следует непрерывность функции x ‘( t ) на .

Так как , то отображение имеет инвариантно непрерывные частные производные по t и x , а также инвариантную производную по , и, следовательно, правая часть (12.4) имеет непрерывную производную по t . Тогда функция x ( t ) имеет на непрерывную производную 2-го порядка. Продифференцировав (1.1) по t , получаем

Если , то, в силу существования инвариантно непрерывных производных второго порядка отображения , можно, дифференцируя еще раз тождество (1.1), доказать существование и непрерывность на третьей производной решения x ( t ).

Повторяя эти рассуждения m раз, докажем утверждение теоремы.

12.3. О плотности. При построении численных методов решения ФДУ требуется, как правило, достаточная гладкость решений. Однако, во многих случаях соответствующая гладкость будет иметь место только при выполнении условий склейки соответствующих порядков.

Если же условия склейки не выполены, то стараются, как правило, построить специальные алгоритмы в предполагаемых точках разрывов производных.

Цель данного пункта состоит в том, чтобы показать, что, как правило, при построении численных методов можно практически всегда предполагать выполненными условия склейки.

Рассмотрим для простоты уравнение с постоянным запаздыванием (12.1). Для непрерывной дифференцируемости решения в начальный момент времени необходимо и достаточно, чтобы начальная функция удовлетворяла условию склейки 1-го порядка

Условие склейки 2-го порядка имеет вид

Условие склейки 3-го порядка имеет вид

Рассмотрим некоторую начальную функцию не удовлетворяющую условиям склейки (12.5) — (12.7).

Так как правые части в условиях (12.5) — (12.7) не зависят от значений начальной функции на интервале (Для .), то, очевидно, функцию можно изменить на интервале таким образом, что для измененной функции соответствующая начальная пара будет обладать требуемой гладкостью и удовлетворять условиям склейки (требуемого порядка), причем норма может быть сделана сколь угодно малой.

Тогда мы можем считать, что решаем задачу для начальной функции , удовлетворяющей условиям склейки.

Учитывая, что при построении численных методов используются значения функции лишь в дискретные моменты времени, то считая меньше шага разбиения (сетки), можно предполагать, что начальная функция удовлетворяет условиям склейки.

Нетрудно показать, что в общем случае справедлива следующая

Теорема 12.3. Пусть функция в правой части системы (12.1) непрерывно дифференцируема до k -го порядка. Тогда множество функций из , удовлетворяющих условию склейки до k +1-го порядка, плотно в ( в норме пространства ).

Гладкость решений нелинейных дифференциальных уравнений и теоремы разделимости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Биргебаев, Ахтай

• Специальность ВАК РФ 01.01.02
• Количество страниц 99

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Биргебаев, Ахтай

ГЛШ I. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА. И ТЕОРЕМЫ РАЗДЕЛИМОСТИ.

§ I. Обозначения, понятия и предварительные сведения

§ 2. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в ft и некоторые теоремы вложения.

§ 3. О гладкости решения нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка.

§ 4. Оценки производных решения уравнения — у’% ffe’fy /.

§ 5. О разделимости одного дифференциального оператора в Lp

§ 6. Оценки производных решений уравнения — + — /

ГЛАВА П. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ.

§ I. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом.

§ 2. Существование решения нелинейного стационарного уравнения Щредингера.

§ 3. Гладкость решений нелинейного стационарного уравнения Щредингера.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Гладкость и аппроксимативные свойства решений двучленных дифференциальных уравнений на бесконечном интервале 1984 год, кандидат физико-математических наук Аманова, Тулеугуль Тулеубаевна

О существенной самосопряженности и совпадении минимальных и максимальных расширений некоторых дифференциальных операторов 1984 год, кандидат физико-математических наук Гриншпун, Эдуард Зиновьевич

Коэрцитивные оценки и разделимость некоторых обыкновенных дифференциальных операторов 2002 год, кандидат физико-математических наук Бакоева, Манижа Мамадвафоевна

Разделимость операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера в пространстве вектор-функций с взвешенно-суммируемыми компонентами 2000 год, кандидат физико-математических наук Шодиев, Махмад Султонович

Коэрцитивные оценки и разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля 2008 год, кандидат физико-математических наук Гаибов, Давронбег Сафарович

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гладкость решений нелинейных дифференциальных уравнений и теоремы разделимости»

В настоящее время общая теория линейных операторов в наиболее важных направлениях в основном завершена. Однако, как правило, в рамках общей теории операторов невозможно получить обстоятельный ответ на ряд фундаментальных вопросов теории дифференциальных операторов без дополнительного исследования, определяемого спецификой предмета.

Такими вопросами, например являются вопросы о гладкости решений и их производных для дифференциальных уравнений.

В случае ограниченных областей и гладких коэффициентов (регулярный случай) эта тематика уже изучалась и при этом были разработаны методы исследования, которые доведены ныне до классического совершенства и подробно изложены в известных монографиях ( см. [l.2j ).

Сингулярные дифференциальные операторы исследованы менее подробно. По видимому, первыми систематический этот случай изучали В.Н.Эверитт и М.Гирц [з — б] , им, частности принадлежит и постановка фундаментальной проблемы разделимости дифференциального оператора.35^

В.Н.Эверитт и М.Гирц особенно подробно изучали в этом направлении оператор Штурма-Лиувилля, который, как известно, во многих случаях является «дробным камнем» для предлагаемых методов исследования. Их исследования продолжили Ф.В.Аткинсон

Напомним (на примере оператора Штурма-Лиувилля), что уравнение Ltj

-у называется разделимым в bp 00 J

I **) следует, что if1′ £ hp . ЛЦспИйП £ К ) [7,8] , У.Д.Эванса и А.Цеттл ( EveiflS W, geltle d ) [9] и другие за рубежом; в Советском Союзе К.Х.Бойматов |l0 — 14] , М.Отелбаев |l5 — 19] , а также ученики М.Г.Гасымова и Ф.Г.Максудова [21,22] , О.А.Еаутыкова [23,24] .

Как правило, зарубежные математики применяли до нынешнего времени метод Эверитта и Гирца; он состоит в использовании классических приемов для изучения асимптотического поведения функции Грина рассматриваемого оператора на бесконечности.

С момента появления работ К.Х.Бойматова [ю] и М.Отелбае-ва £15] в проблеме разделимости обозначился значительный шаг вперед. Они предложили для решения этих вопросов некоторую модификацию метода Титчмарша, которая ранее применялась для решения других задач в работах М.Г.Гасымова [2б] , А.Г.Костючен-ко [2б] , Б.М.Левитана [27] .

Позже М.Отелбаев предложил для решения проблемы о гладкости решения дифференциальных уравнений специальный метод локального представления резольвенты, который он назвал вариационным.

К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву и их ученикам удалось получить при этом ряд важных принципиальных результатов, которые в частности обобщают основные достижения зарубежных авторов.

Для неограниченных областей существованием и гладкостью решений нелинейных дифференциальных уравнений ( с сингулярном потенциалом ) на примере уравнений Штурма-Лиувилля занимались М.Б.Муратбеков и М.Отелбаев [28] . В дальнейшем эта задача решалась также в работах Т.Т.Амановой [29] , М.Б.Муратбекова [30] .

Тем не менее гладкость решений нелийных дифференциальных уравнений шло изучена по сравнению с гладкостью решений линейных дифференциальных уравнений. Здесь еще нет сложившихся традиционных методов, которым доступно большое число задач, встречающихся в приложениях.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вопроса существования и гладкости решений:

— Нелинейного дифференциального уравнения нечетного порядка.

— Нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом.

— Нелинейного уравнения Щредингера (трехмерный случай) и оценкам промежуточных производных решений в весовых пространствах, а также теоремам разделимости оператора Штурма-Лиувилля с вырождающимися или быстро растущим на бесконечности коэффициентов при старшей производной.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 55 наименований.

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

О некоторых спектральных свойствах двучленных операторно-дифференциальных уравнений 1984 год, кандидат физико-математических наук Дишдуров, Масим Гасум оглы

Спектральные характеристики нелинейных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами 1998 год, доктор физико-математических наук Айгунов, Гасан Абдуллаевич

Равномерная сходимость и сходимость в L p на замкнутом интервале спектральных разложений неклассических обыкновенных дифференциальных операторов 2002 год, доктор физико-математических наук Ломов, Игорь Сергеевич

Некоторые обратные задачи для нестандартных уравнений 1998 год, доктор физико-математических наук Пашаев, Ризван Теймур оглы

Классы корректности краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции 2000 год, доктор физико-математических наук Попов, Сергей Вячеславович

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Биргебаев, Ахтай, 1984 год

1. JbiOHc Ж.Л., Мадасенес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: >Шр, I97I, — 372 с.

2. А1-кСпШ1. f.y. ^ici^ci -a. trUU-^UCL of CrvUftat i^pe. P- ie5 -^68

4. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости для оператора Штурма- Лизгвилля,-4Латем.заметки, 1973, т. 14, )^ 3, с.349-359.

5. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, — Докл. АН СССР, 1973, т.213, 1Ь 5, с . Ю О ^ Ю П .

6. Бойматов К.Х.Lp — оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений. — Докл. АН СССР, 1975, т.223, J,^ 3, с.521-524.

7. Бойматов К.Х, Об области определения оператора Штурма-Лиувил- ля.-Д1фференциальные уравнения, 1976, т,12, В 7, с.1151-II60.

8. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам. — ДА.Н СССР, 1979, т.247, ja 3, с.610-612.

9. Отелбаев М. О сут^ г^ шруемости с весом решения уравнения Штурма- Лиувилля. — Матем.заметки, 1974, т. 16, !’& 6, с.969-980.

10. Отелбаев М. О гладкости решений дифференциальных уравнений.- Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат. ,1977, 1^ 5, с.45-48.

11. Отелбаев М. О гладкости решений псевдодифференциальных уравнений и теоремы разделимости. — В кн.: Штематические исследования, КарГ7, Караганда, 1976, вып.З, с.92-102.

12. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теореглы разделимости для эллиптических уравнений в Я» • Труды 1ШШ, 1983, т. 161, с.195-217.

13. Измайлов А.Л., Отелбаев М, О суммируемости с весом решения дифференциального уравнения в неограниченной области, -Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1977, i§ I, с.36-40.

14. Рашябеков Д.Ж. Гладкость решения в L^ сингулярного уравнения.- Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1974, й 3, с.78-83. — 96 —

15. Алиев Б.И. Теоремы разделшлости для операторного уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси. — Деп. в ВИНИТИ, 14, 782, № 37 (62-82).

16. Абудов А.А. О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференщ^альным выражением. — В 1ш.: Спектральная теория операторов, Баку, «Элм», 1982, с.4-11.

17. Джумабаев Д.С, Медетбекова Р.А. О разделимости линейного дифференциального оператора второго порядка. Изв. АН Каз. ССР, сер. физ.-мат.-, 1983, II 5, с.21-26.

18. Джутлабаев Д.С. Об ограниченности решения и его производных на всей оси дифференциального уравнения первого поряд!^. Изв. АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1982, В 5, с.5-7.

19. Гасымов М.Г. О распределении собственных значений сшлосопря- женных дифференциальных операторов. — ДАН СССР, 1969, т.186, с.753-756.

20. Костюченко А.Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов. — ДАН СССР, 1966, т.168, № I, с.810-813.

21. Левитан Б.М. Исследование функции Грина уравнения Штурма- Лиувилля с операторьшх коэффициентом. — Матем,сборник, 1968, т.76, Гв 2, с.239-270.

22. Муратбеков М.Б., Отелбаев М. О гладкости решения нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. — В кн.: Математика: Тезисы докладов УП-ой казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Караганда, I98I), Караганда, I98I, с.34-35.

23. Аманова Т. Т. Гладкость и аппроксиглативные свойства решений двучленных дифференциальных уравнений на бесконечном интер— 97 -вале. — Канд.дйсо. . Алма-Ата, 1984, — 82с.

24. Муратбеков М.Б. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений и одномерного нелинейного стационарного уравнения Щредингера. — Канд.дисс. . Алма-Ата,I98I,-81с,

25. Бубнов Б.А. Характеристические задачи для одного класса уравнений третьего порядка. — В кн.: Корр., краевые задачи для неклассичес1шх уравнений. Мат. физика, Новосибирск, 1980, с.44-50.

26. Кожанов А.И. Разрешимость смешанной задачи для нелинейных уравнений с диссипацией третьего порядка. — В кн.: Корр., краевые задачи для неклассических уравнений мат,физики. Новосибирск, 1980, с,98-102.

27. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.:Наука,1969,с.780.

28. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптичесхше и параболические уравнения. — В кн.: Современные проблегш матеглатики, Москва, ВИНИТИ, 1976, т.9, с.5-130.

29. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972, — 587с.

30. Похожаев С И . О нормальной разрешимости нелинейных уравнений. — Докл. АН СССР, 1969, т. 184, 0.40-43.

31. Похожаев СИ. Об уравнении вида AU^oc,u,t)u-. . -Математический сборник, 1980, т.ПЗ (155), 1Ь 2, с,324-338.

32. Похожаев С И . Об априорных оцешсах решений квазилинейных эллиптичес1шх уравнений произвольного порядка. — Дифференциальное уравнение, 1983, II 19, Ш I, c.IOI-IIO.

33. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976, 480с. — 98 —

34. Колвлогоров А.Н., Фомин С В . Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, I98I.

35. Отелбаев М. Теоремы вложения пространств с весом и их применения к изучению спектра оператора Щредингера. — Труды Ш АН СССР, 1979, т.150, с.265-305.

36. Треногий В.А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980,-496с.

37. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функцишл связанные с диф(|)еренциальными уравнениями второго порядка. — М.: ГДир, I96I, т.2.

38. Отелбаев М., Ценд Л. К теоремам о компактности. — Сиб. математический журнал, 1972, & 4, с.817-822.

39. Рид М., Са&лон Б. Методы современной математической физики. -М.: Itep, 1978, т.2, с.395.

40. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. Некоторые вопросы разложения по обобщенным собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярными потенциалами. — Успехи матем.наук, 1978, т.33, вып.4; с.107-138.

41. Соболев Л. Некоторые пршленения функционального анализа в математической физике. — Л., ЛГУ, 1952.

42. Отелбаев М. Об условиях самосопряженности операторов Щредингера с операторнытл потенциалом. — У1Ж, 1976,Киев,т.280, В 5. — 99 —

43. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в L^ . — Известия АН Каз.ССР, сер.физ.-^лат., I98I, 1Ь 5, с. 1-5.

44. Биргебаев А., Муратбеков М.Б. Гладкость решений нелинейного стационарного уравнения Щредингера. — В кн.: Пршленение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики. Ш СО АН СССР, 1983, с.33-45.

45. Биргебаев А. Оценки промежуточных производных одного разделенного оператора. — В кн.: Тезисы докладов УП-ой казахстанской межвузовской научной конференции по мате^ттике и механики. (Караганда, I98I), Караганда, I98I, с.12.

46. Биргебаев А., Отелбаев М. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка. — Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., 1984, В 3, с.11-13.

47. Биргебаев А. Гладкость решений нелинейного дифференциального уравнения с матричным потенциалом. — В кн.: Тезисы докладов УШ-ой республиканской межвузовской научной конференции по ыатеглатике и механике, 1984, с.II.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.

Digital Science & Education LP, 85 Great Portland Street, First Floor, London, United Kingdom, W1W 7LT