Теорема о кинетической энергии уравнение

Кинетическая и потенциальная энергии

Энергия — важнейшее понятие в механике. Что такое энергия. Существует множество определений, и вот одно из них.

Что такое энергия?

Энергия — это способность тела совершать работу.

Кинетическая энергия

Рассмотрим тело, которое двигалось под действием каких-то сил изменило свою скорость с v 1 → до v 2 → . В этом случае силы, действующие на тело, совершили определенную работу A .

Работа всех сил, действующих на тело, равна работе равнодействующей силы.

F р → = F 1 → + F 2 →

A = F 1 · s · cos α 1 + F 2 · s · cos α 2 = F р cos α .

Установим связь между изменением скорости тела и работой, совершенной действующими на тело силами. Для простоты будем считать, что на тело действует одна сила F → , направленная вдоль прямой линии. Под действием этой силы тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае векторы F → , v → , a → , s → совпадают по направлению и их можно рассматривать как алгебраические величины.

Работа силы F → равна A = F s . Перемещение тела выражается формулой s = v 2 2 — v 1 2 2 a . Отсюда:

A = F s = F · v 2 2 — v 1 2 2 a = m a · v 2 2 — v 1 2 2 a

A = m v 2 2 — m v 1 2 2 = m v 2 2 2 — m v 1 2 2 .

Как видим, работа, совершенная силой, пропорционально изменению квадрата скорости тела.

Определение. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия — энергия движения тела. При нулевой скорости она равна нулю.

Теорема о кинетической энергии

Вновь обратимся к рассмотренному примеру и сформулируем теорему о кинетической энергии тела.

Теорема о кинетической энергии

Работа приложенной к телу силы равна изменению кинетической энергии тела. Данное утверждение справедливо и тогда, когда тело движется под действием изменяющейся по модулю и направлению силы.

A = E K 2 — E K 1 .

Таким образом, кинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v → , равна работе, которую сила должна совершить, чтобы разогнать тело до этой скорости.

A = m v 2 2 = E K .

Чтобы остановить тело, нужно совершить работу

A = — m v 2 2 =- E K

Потенциальная энергия

Кинетическая энергия — это энергия движения. Наряду с кинетической энергией есть еще потенциальная энергия, то есть энергия взаимодействия тел, которая зависит от их положения.

Например, тело поднято над поверхностью земли. Чем выше оно поднято, тем больше будет потенциальная энергия. Когда тело падает вниз под действием силы тяжести, эта сила совершает работу. Причем работа силы тяжести определяется только вертикальным перемещением тела и не зависит от траектории.

Вообще о потенциальной энергии можно говорить только в контексте тех сил, работа которых не зависит от формы траектории тела. Такие силы называются консервативными.

Примеры консервативных сил: сила тяжести, сила упругости.

Когда тело движется вертикально вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу.

Рассмотрим пример, когда шар переместился из точки с высотой h 1 в точку с высотой h 2 .

При этом сила тяжести совершила работу, равную

A = — m g ( h 2 — h 1 ) = — ( m g h 2 — m g h 1 ) .

Эта работа равна изменению величины m g h , взятому с противоположным знаком.

Величина Е П = m g h — потенциальна энергия в поле силы тяжести. На нулевом уровне (на земле) потенциальная энергия тела равна нулю.

Определение. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия — часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Потенциальная энергия зависит от положения точек, составляющих систему.

Можно говорить о потенциальной энергии в поле силы тяжести, потенциальной энергии сжатой пружины и т.д.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

A = — ( E П 2 — E П 1 ) .

Ясно, что потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня (начала координат оси OY). Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии при перемещении тел друг относительно друга. При любом выборе нулевого уровня изменение потенциальной энергии будет одинаковым.

При расчете движения тел в поле гравитации Земли, но на значительных расстояниях от нее, во внимание нужно принимать закон всемирного тяготения (зависимость силы тяготения от расстояния до цента Земли). Приведем формулу, выражающую зависимость потенциальной энергии тела.

Здесь G — гравитационная постоянная, M — масса Земли.

Потенциальная энергия пружины

Представим, что в первом случае мы взяли пружину и удлинили ее на величину x . Во втором случае мы сначала удлинили пружину на 2 x , а затем уменьшили на x . В обоих случаях пружина оказалась растянута на x , но это было сделано разными способами.

При этом работа силы упругости при изменении длины пружины на x в обоих случаях была одинакова и равна

A у п р = — A = — k x 2 2 .

Величина E у п р = k x 2 2 называется потенциальной энергией сжатой пружины. Она равна работе силы упругости при переходе из данного состояния тела в состояние с нулевой деформацией.

Теорема о кинетической энергии уравнение

§7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и следствия

Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона

`m Delta vec v = vec F Delta t`.

Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим

`m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.

Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии

`Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 — m ((vec v)^2)/2

m(vec v * Delta vec v)`

и работы равнодействующей

`Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`

на этом перемещении.

Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории, приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:

На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил

`K_2 — K_1 = sum_i A_i`.

Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии $$ A=-\left(<П>_<2>—<П>_<1>\right)$$.

Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки

т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.

Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.

Это утверждение — закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 > «tg» alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 «tg» alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf»тр»2) = mu_2 mg cos alpha mg sin alpha`,

лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:

приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно $$ <П>_<2>—<П>_<1>=-mgH$$,

приращение кинетической энергии `K_2 — K_1 = 0`, работа силы трения скольжения

`A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H — h)/(sin alpha) — mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =`

`=- (mg)/(«tg» alpha) (mu_2 H + (mu_1 — mu_2) h)`.

По теореме об изменении полной механической энергии

В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/(«tg» alpha) (mu_2 H + (mu_1 — mu_2 )h)`.

Отсюда `H = (mu_1 — mu_2)/(«tg» alpha — mu_2) h`.

Теорема кинетической энергии. Доказательство

Теорема кинетической энергии. Доказательство

Теорема о кинетической энергии была впервые применена Huygens. In генерал, его представляли Иван и Даниил Bernoulli. To докажите это, начните снова с уравнения движения 1 точки A4 системы. Применяя теорему о кинетической энергии к этой точке, мы получаем: = С серии WX + Ytdy + ЗТ ДЗ + .Dx + Yedy + Zedz. Если суммировать все подобные уравнения, то получим: = 2 число с дх + г ды + з ДЗ + А ДХ J к ды 4 ДЗ + ДХ Хе е е ды + Зе ДЗ. 1 МТФ в 2Д кинетическая энергия всех точек системы. Кинетическая энергия системы. Следовательно, существует теорема. Дифференциальная кинетическая энергия системы равна сумме основных действий всех сил, как внешних, так и внутренних.

Такое уравнение уже встречалось в упражнении 6 ференциальное уравнение кривых, касательные к которым являются прямыми нулевого момента. Людмила Фирмаль

Важно отметить, что работа внутренних сил никуда не исчезает. С этим можно соврать Пожалуйста, проверьте напрямую. Действие На самом деле, рассмотрим 2 пункта и И и Рисунок 189 на расстоянии S НИИ р от. Действие м. На M представляет собой некую силу, S Он направлен вдоль LS и наоборот. Действие AG и g имеет равные силы И первый прямо opposite. As упоминалось ранее Рисунок 189. Wii 88 то, что мы называем взаимной властью 2 точки действия F, суммарная величина обеих сил, в зависимости от того, попадут ли точки отскока в знак плюс или минус В оригинале сумма 2mt 2 живых сил различных точек называется суммарной живой силой Лейбниц. Примечание, перевод или привлек.

• Если обе точки выполняют какой либо микротремор, то расстояние между ними изменяется на dr, и сумма работы обеих сил, приложенных к рассматриваемым точкам, равна 88 Д р ф. Чтобы быть кратким, скажем, что это основная работа сил 2 точечного взаимодействия. То есть на расстояние r 2 точки МДж друг от друга и Здесь сумма расширяется до комбинации всех пар точек в системе. Теорему о кинетической энергии можно описать следующим образом: л Рассмотрим движение системы за конечное время t 10.In это движение, все величины, содержащиеся в соотношении 1 или 2, являются функциями time. So если вы интегрируете от t0 до t, вы получите: 2 2 = Ф Х е ДХ + J и Е ды + Zedz + Ф 2 Fjk drjk.

Проверим непосредственно, что интеграл кинетической энергии действительно является следствием уравнений Лагранжа. Людмила Фирмаль

Таким образом, изменение кинетической энергии за период t tQ будет равно сумме работы всех сил, приложенных как к внешней, так и к внутренней системе. Внимание к твердым частицам. Если система является твердым телом в том смысле, который установлен в теоретической механике, то есть системой, в которой все точки находятся на определенном расстоянии друг от друга, то сумма основных действий всех внутренних сил равна zero. In факт, так как в этом случае расстояние r постоянно drA = 0 и iFjkdrjk Q.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института