Характеристическое уравнение.
Если имеется однородное линейное дифференциальное уравнение c постоянными коэффициентами
22# Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать как сумму
где yo— это общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Y- частное решение ЛНДУ.
В некоторых специальных случаях частное решение ЛНДУ может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, в общем случае используют метод вариации произвольных постоянных. В данном пункте мы рассмотрим неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида и применим метод неопределенных коэффициентов, а метод вариации произвольных постоянных будет изложен позже.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка ищем в зависимости от вида правой части, то есть от функции f(x).
где — многочлен степени n.
Ia. Если a не является корнем характеристического уравнения, то есть то частное решение ЛНДУ ищем в виде
где — многочлен степени n с постоянными коэффициентами.
Iб. Если a — один из корней характеристического уравнения, то если верно только одно из равенств то частное решение ЛНДУ ищем в виде
Iв. Если a — кратный корень характеристического уравнения, то есть (например, при дискриминанте, равном 0), то частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в этом случае есть
IIa. Если a+bi не является корнем характеристического уравнения, то есть то частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем как
Где многочлены степени N, N — больная из степеней n и m.
IIб. Если a+bi является корнем характеристического уравнения, то есть то для этого случая частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ищем в виде
Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.
Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.
Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).
Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а0+ а1х + а2х 2 +. + а nx n , заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а0, а1, а2, . аn равны нулю.
Теорема №2 (следствие теоремы № 1).
23#Пусть задана бесконечная числовая последовательность u1, u2,…,un,…. Выражение (1) называется числовым рядом. Числа u1, u2,…,un,… называются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. un также называется общим членом ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда: Если существует конечный предел то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимсяи суммы не имеет.
24# Необходимый признак сходимости.
Если ряд сходится, то un=0.
Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно ( ха-ха, член) из первого равенства второе, получаем — = = un=0, что и требовалось доказать.
Следствие. Если un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится.
Признак сравнения
Пусть даны два знакоположительных числовых ряда
(7)
(8)
Тогда: 1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7);
2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).
Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов (7) и (8) через Sn и sn соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это значит, что существует конечный =s. По условию теоремы 0
Признак Даламбера
Пусть дан знакоположительный числовой ряд
(7)
и пусть существует предел При p 1 ряд (7) расходится.
Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условие или
p-E 1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N выполняется или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому un¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
25#Радикальный признак Коши
Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… (7)
и пусть существует предел При p 1 ряд (7) расходится.
Доказательство. По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие | | n для всех n³N. Рассмотрим ряды
(15)
(16)
Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un n для всех n³N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).
Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие p-E >1. Тогда из (14) получаем >1 или un>1, следовательно, un¹0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
26#Интегральный признак Коши
Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не возрастают: u1³u2≥…≥un≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…, f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом
Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем
Sn-u1 un+ (18)
Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: Sn n — 1. un+…, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.
Если для знакочередующегося числового ряда
(19)
Выполняются два условия:
Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…,
то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Частный случай: уравнение второго порядка Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка где р\, Р2 — действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем искать их в виде где тогда Подставляя эти выражения для у и ее производных в уравнение (1), получаем .
Так как , то должно выполняться равенство Следовательно, функция у = eAz будет решением уравнения (1), т. е. будет обращать его в тождество по х, если А будет удовлетворять алгебраическому уравнению Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1), а его левая часть называется характеристическим много-членом.
Уравнение (3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через А] и 1 они могут быть 1) действительными и разными; 2) комплексными; 3) действительными и равными. Рассмотрим каждый случай в отдельности. 1. Если корни Л|, Аг характеристического уравнения действительные и разные, то частными решениями уравнения (1) будут функции Эти решения линейно независимы (Aj Ф А2) и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения.
Общее решение уравнения
Общее решение уравнения имеет вид — произвольные постоянные). Пример 1. Найти общее решение уравнения М Составляем характеристическое уравнение: Оно имеет корни Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Отсюда получаем искомое общее решение 2.
Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты р], р2 характеристического уравнения действительные, комплексные корни входят попарно сопряженными. Положим, что Частные решения дифференциального уравнения (1) можно записать в виде Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем заниматься лишь действительными решениями.
С помощью формул Эйлера частные решения ij\ и у2 уравнения (1) можно представить в виде Воспользовавшисьтеоремой 4, получим, что частными решениями уравнения (1) будут также функции _ Эти решения линейно независимы, так как Решения образуют фундаментальную систему решений уравне-ния (1), общее решение которого в этом случае имеет вид или Пример 3.
Найти общее решение уравнения 4 Характеристическое уравнение имеет кратные корни Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения: Замечание. Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (вообще, с переменными коэффициентами) Пусть — частное решение уравнения. Введем новую искомую функцию ti(x) соотношением (разрешимым относительно н(х) в тех интервалах, где yi(x) не обращается в нуль).
Из этого соотношения найдем производные от у : и подставим их в уравнение (5): Для функции и(х) получаем опять уравнение порядка п, но коэффициент при м(х) есть £(yil-Он тождественно равен нулю, так как yi (х) есть решение уравнения (5). Следовательно, в полученном уравнении порядок понизится, если ввести новую искомую функцию z(x) = и'(х).
Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на yi(x) Ф 0, приведем его к виду Итак, если известно частное решение уравнения (5), то задача интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию линейного однородного уравнения порядка п — \. Можно показать, что если известны два частных линейно независимых решения, то порядок уравнения может быть понижен на две единицы. Вообше, если известно г частных линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения, то порядок этого уравнения может быть понижен на г единиц. 6.2.
Физические приложения: уравнение колебаний Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Рассмотрим уравнение свободных механических колебаний, причем независимой переменной будем считать время t: где у — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, rh — масса точки, h — коэффициент трения (считаем, что сила трения пропорциональна скорости), к > 0 — коэффициент упругости восстанавливающей силы (считаем, что эта сила пропорциональна отклонению).
Характеристическое уравнение
Характеристическое уравнение для (6) имеет корни Если трение достаточно велико, h2 > Атк, то эти корни действительные и отрицательные. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид Так как то из (7) заключаем, что при большом трен и и отклонение точки от положения равновесия с возрастанием t стремится к нулю, не совершая колебаний. Если трение мало, Атк, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни Общее решение уравнения (6) в этом случае определяется формулой или Отсюда видно, что в случае малого трения происходят затухающие колебания. Пусть теперь трение отсутствует, .
В этом случае характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни Решение уравне- ния (6) имеет вид . в этом случае происходят незатухающие гармонические колебания с частотой ш = и произвольными амплитудой А и начальной фазой 6. Задача. При каких 1) все решения уравнения стремятся к нулю при 2) каждое решение уравнения обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? 6.3. Общий случай: уравнение произвольного порядка Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение произвольного порядка п (п ^ 1) с постоянными коэффициентами ) гдерьрг,,Рп — действительные числа.
Общее решение дифференциального уравнения (8) находим так же, как и в случае уравнения второго порядка. Ищем решение в виде Подставляя вместо у величину еХх в уравнение (8), получаем , что приводит к характеристическому уравнению 2. Находим корни характеристического уравнения. 3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения уравнения (8), руководствуясь тем, что: а) Каждому действительному однократному корню А характеристическою уравнения соответствует частное решение уравнения (8).
б) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней соответствуют два линейно независимых частных решения уравнения (8). в) Каждому действительному корню А кратности г соответствует г линейно независимых частных решений уравнения (8). Рассмотрим случай в) подробнее. Пусть число А есть корень кратности г характеристического уравнения . Функцию будем рассматривать как функцию двух аргументов: ж и А.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Она имеет непрерывные производные по а: и по А всех порядков, причем Поэтому частные производные функции по х и по А не зависят от порядка дифференцирования (операции дифференцирования функции у по х и по А перестановочны), так что Воспользовавшись этой перестановочностью, а также тем, что Если А есть г-кратный корень характеристического уравнения то стало быть, правые части (10) и (11) тождественно по х равны нулю: Это означает, что функции являются в этом случае решениями уравнения (8).
Легко проверить, что функции линейно независимы на любом интервале (a, b) изменения х. г) Приведенные в пункте в) рассуждения сохраняют силу и для комплексных корней.
Поэтому каждой паре комплексно сопряженных корней p кратности \l отвечает 2/х частных решений уравнения 4. Число построенных таким образом частных решений уравнения (8) равно порядку п этого уравнения. Можно показать, что все эти решения линейно независимы в совокупности. Имея п линейно независимых частных решений 3/i(x), skfc). уп(я) уравнения (8), получаем общее решение этого уравнения, где произвольные постоянные. Прммер 4. Найти общее решение уравнения Составляем характеристическое уравнение: 2. Находим корни характеристического уравнения: 3.
По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения: 4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид Схема решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение действительные числа). Характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения Частные линейно независимые решения дифференциального уравнения Общее решение уравнения — произвольные постоянные). §7.
Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Существуют линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, которые с помощью замены переменных преобразуются в уравнения с постоянными коэффициентами. К их числу принадлежит уравнение Эйлера где pi.tp2, —tPn — постоянные числа.
Ограничимся рассмотрением уравнения Эйлера 2-го порядка (оно встречается в задачах математической физики): Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Положим Подставляя выражения для , получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Последнее интегрируется обычным приемом: составляем характеристическое уравнение находим его корни и по характеру корней выписываем общее решение уравнения (2), после чего возвращаемся к старой переменной х. Пример. Найти общее решение уравнения Замена переменной х = приводит к уравнению характеристическое уравнение которого имеет корни Общее решение преобразованного уравнения равно Учитывая, что , для общего решения исходного уравнения получаем выражение Замечание 1.
Для преобразованного уравнения (2) в случае действительных и различных корней характеристического уравнения (3) частные решения имеют вид Поэтому можно сразу задаться этим видом частного решения. Подставляя в уравнение (1), получим для к уравнение ) совпадающее с (3). Каждому простому действительному корню уравнения (4) отвечает частное решение уравнения (1); двукратному корню отвечают два решения уравнения (1).
Паре комплексных сопряженных корней уравнения (4) будут соответствовать два решения уравнения (I). Замечание 2. Уравнение постоянные числа) подстановкой также приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. §8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид Здесь заданные на некотором интервале (а, р) функции. Если ао(ж) Ф 0 на (а, то после деления на ац(х) получим уравнение.
Из теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши получаем: если на отрезке [а, 6] коэффициенты Рк(х) и правая часть /(х) уравнения (2) непрерывны, то это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям Уравнение (2) можно записать в виде где, как и выше, Теорема 12. Если у(х) есть решение неоднородного уравнения есть решение соответствующего однородного уравнения мПо условию, В силу линейности оператора £ имеем Это означает, что функция есть решение уравнения Теорема 13.
Если у\(х) есть решение уравнения есть решение уравнения та функция есть решение уравнения По условию, используя линейность оператора £, получаем Последнее означает, что функция есть решение уравнения Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения). Теорема 14. Если уравнение где все коэффициенты и функции действительные, имеет решение то действительная часть решения и(х) и его мнимая часть v(x) являются соответственно решениями уравнений.
По условию имеем Отсюда получаем: Теорема 15 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение в области — уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами , и правой частью f(x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения у(х) неоднородного уравнения, т. е. Надо доказать, что где произвольные постоянные, линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения £[у] = 0, является общим решением неоднородного уравнения.
Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций у(ж), определяемое формулой (4), удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в этом определении. В самом деле, функция у(х), определяемая формулой (4), является решением уравнения (2) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо решения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного уравнения есть решение неоднородного уравнения.
Так как для уравнения (2) при х 6 [а, Ь] выполнены условия теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором постоянных С\, в (4) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям где хо € (а,6), т.е. можно решить любую задачу Коши. Ограничимся случаем, когда п = 3.
Потребовав, чтобы решение (4) удовлетворяло начальным условиям (5), приходим к системе уравнений для отыскания Эта линейная по отношению к система трех уравнений с тремя неизвестными допускает единственное решение относительно з при произвольных правых частях, так как определитель этой системы есть определитель Вронского W(x$) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля в любой точке ж € (а, Ь), в частности в точке ж = жо.
Значит, какова бы ни была тройка чисел |
уо, Уо> Уо» найдется решение С?, С?, Cj системы (6) такое, что функция будет решением дифференциального уравнения (2), удовлетворяющим начальным условиям Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний.
Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Из этой теоремы следует, что задача нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения сводится к отысканию какого-либо частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных 155 Пример 1.
Найти общее решение уравнения М Нетрудно заметить, что функция является частным решением данного неоднородного уравнения. Чтобы найти общее решение этого уравнения, остается отыскать общее решение соответствующего однородного уравнения Это уравнение есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению , есть корни его Поэтому общее решение уравнения (*) имеет вид . Общее решение исходного неоднородного уравнения:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Корни характеристического уравнения. Постоянная времени
Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).
Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения
Вид корней характеристического уравнения | Выражение свободной составляющей |
Корни вещественные и различные | |
Корни вещественные и | |
Пары комплексно-сопряженных корней |
Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.
При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс.Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).
Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением
,
которое называетсядекрементом колебания,или натуральным логарифмом этого отношения
,
называемым логарифмическим декрементом колебания, где .
Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:
,
где р – корень характеристического уравнения.
Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
- Чем обусловлены переходные процессы?
- Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?
- Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
- Доказать законы коммутации: и — с энергетических позиций.
- В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?
- Определить величину токов и напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .
Ответ: ; |
Дата добавления: 2015-04-19 ; просмотров: 910 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
http://natalibrilenova.ru/linejnyie-odnorodnyie-differentsialnyie-uravneniya-s-postoyannyimi-koeffitsientami/
http://helpiks.org/3-20581.html