Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Данная статья рассматривает способы решения линейных дифференциальных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида y » + p y ‘ + q y = 0 с p и q являющимися действительными числами. Будет рассмотрена теория с приведением примеров с подробным решением.
Перейдем к формулировке теоремы, которая показывает, какого вида должно быть уравнение, чтобы можно было искать общее решение ЛОДУ.
Теорема общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 с непрерывными на интервале интегрирования x коэффициентами f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяют линейную комбинацию вида y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , где y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на интервале x , где C j , j = 1 , 2 , . . . , n берут за произвольные постоянные.
Отсюда получаем, что общее решение такого уравнения y » + p y ‘ + q y = 0 может быть записано как y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 выражаются линейно независимыми решениями, а С 1 и C 2 – произвольными постоянными. Необходимо поработать с нахождением частных решений y 1 и y 2 .
Существует формула по Эйлеру для поиска частных решений вида y = e k · x .
Если взять y = e k · x за частное решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 , тогда, используя подстановку, получим тождество вида:
e k · x » + p · e k · x ‘ + q · e k · x = 0 k 2 · e k · x + p · e k · x + q · e k · x = 0 e k · x · ( k 2 + p · k + q ) = 0 k 2 + p · k + q = 0
Данное тождество называют характеристическим уравнением с постоянными коэффициентами k 1 и k 2 , которые и являются его решениями и определяют частые решения вида y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x заданного ЛОДУ.
При различных значениях p и q можно получить характеристические уравнения с корнами такого вида:
- Действительные и различные k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R .
- Действительные и совпадающие k 1 = k 2 , = k 0 , k 0 ∈ R .
- Комплексно сопряженную пару k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .
Первый случай показывает, что решениями такого уравнения могут быть y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x , а общее решение принимает вид y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x с постоянными коэффициентами. Функции y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x рассматриваются, как линейно независимыми по причине отличного от нуля определителя Вронского W ( x ) = y 1 y 2 y 1 ‘ y 2 ‘ = e k 1 · x e k 2 · x k 1 · e k 1 · x k 2 · e k 2 · x = e k 1 · x · e k 2 · x · k 2 — k 1 с действительными k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R .
Второй случай объясняет, что первым частным решением функции – это выражение y 1 = e k 0 · x . Вторым частным решением можно брать y 2 = x · e k 0 · x . Определим, что y 2 = x · e k 0 · x может являться частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 и докажем линейную независимость y 1 и y 2 .
Имеем, что k 1 = k 0 и k 2 = k 0 являются совпадающими корнями характеристического уравнения. Тогда оно примет вид k — k 0 2 = 0 ⇔ k 2 — 2 k 0 · k + k 0 2 = 0 . Отсюда следует, что y » — 2 k 0 · y ‘ + k 0 2 · y = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением. Необходимо подставить выражение y 2 = x · e k 0 · x для того, чтобы убедиться в тождественности:
y 2 » — 2 k 0 · y ‘ 2 + k 0 2 · y 2 = 0 x · e k 0 · x » — 2 k 0 · x · e k 0 x ‘ + k 0 2 · x · e k 0 · x = 0 e k 0 · x + k 0 · x · e k 0 x ‘ — 2 k 0 · e k 0 · x + k 0 · x · e k 0 x + k 0 2 · x · e k 0 · x = 0 ( k 0 · e k 0 · x + k 0 · e k 0 · x + k 0 2 · x · e k 0 · x — — 2 k 0 · e k 0 · x — k 0 2 · x · e k 0 · x + k 0 2 · x · e k 0 · x ) = 0 0 ≡ 0
Отсюда следует, что y 2 = x · e k 0 · x — это частное решение данного уравнения. Необходимо рассмотреть линейную независимость y 1 = e k 0 · x и y 2 = x · e k 0 · x . Чтобы убедиться в этом, следует прибегнуть к вычислению определителя Вронского. Он не должен быть равен нулю.
W ( x ) = y 1 y 2 y 1 ‘ y 2 ‘ = e k 0 · x x · e k 0 · x e k 0 · x ‘ x · e k 0 · x ‘ = = e k 0 · x x · e k 0 · x k 0 · e k 0 · x e k 0 · x · ( 1 + k 0 · x ) = = e k 0 · x · e k 0 · x · 1 + k 0 · x — k 0 · x · e k 0 · x · e k 0 · x = e 2 k 0 · x ≠ 0 ∀ x ∈ R
Можно сделать вывод, что линейно независимые частные решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 считаются y 1 = e k 0 · x и y 2 = x · e k 0 · x . Это подразумевает то, что решением будет являться выражение y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · x · e k 0 · x при k 1 = k 2 = k 0 , k 0 ∈ R .
Третий случай говорит о том, что имеем дело с парой комплексных частных решений ЛОДУ вида y 1 = e α + i · β · x и y 2 = e α — i · β · x .
Запись общего решения примет вид y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x .
Функции y 1 = e a · x · cos β x и y 2 = e a · x · sin β x могут быть записаны вместо частных решений уравнения, причем с соответствующими действительной и мнимой частями. Это понятно при преобразовании общего решения y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x . Для этого необходимо воспользоваться формулами из теории функции комплексного переменного вида. Тогда получим, что
y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x = = C 1 · e α · x · cos β x + i · sin β x + C 2 · e α · x · cos β x — i · sin β x = = ( C 1 + C 2 ) · e α · x · cos β x + i · ( C 1 — C 2 ) · e α · x · sin β x = = C 3 · e α · x · cos β x + C 4 · e α · x · sin β x
Отчетливо видно, что С 3 и С 4 используются в качестве произвольных постоянных.
Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными переменными вида y » + p y ‘ + q y = 0 :
- Запись характеристического уравнения k 2 + p ⋅ k + q = 0 .
- Нахождение корней характеристического уравнения k 1 и k 2 .
- Производим запись ЛОДУ, исходя из полученных значений с постоянными коэффициентами:
- y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x при k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
- y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · x · e k 0 · x при k 1 = k 2 = k 0 , k 0 ∈ R ;
- y 0 = e α · x · ( C 1 · cos β x + C 2 · sin β x ) при k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .
Найти общее решение заданного уравнения с постоянными коэффициентами y » + 4 y ‘ + 4 y = 0 .
Решение
Следуя алгоритму, необходимо записать характеристическое уравнение k 2 + 4 ⋅ k + 4 = 0 , после чего обозначить его корни. Получаем, что
k 2 + 4 k + 4 = 0 ( k + 2 ) 2 = 0 k 1 = k 2 = k 0 = — 2
Очевидно, что полученные корни являются совпадающими.
Ответ: Запись общего решения: y 0 = C 1 · e k 0 x + C 2 · x · e k 0 x = C 1 · e — 2 x + C 2 · x · e — 2 x .
Найти решение заданного уравнения вида y » — 5 y ‘ + 6 y = 0 .
Решение
По условию имеется ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Это указывает на то, что необходимо записать характеристическое уравнение и обозначить его корни. Получим:
k 2 — 5 k + 6 = 0 D = 5 2 — 4 · 6 = 1 k 1 = 5 — 1 2 = 2 k 2 = 5 + 1 2 = 3
Видно, что корни различные и действительные. Это говорит о том, что уравнение общего вида запишется как y 0 = C 1 · e k 1 x + C 2 e k 2 x = C 1 · e 2 x + C 2 · e 3 x .
Ответ: y 0 = C 1 · e k 1 x + C 2 e k 2 x = C 1 · e 2 x + C 2 · e 3 x .
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » — y ‘ + 3 y = 0 .
Решение
Необходимо перейти к характеристическому уравнению ЛОДУ 2 порядка, что соответствует записи k 2 — k + 3 = 0 , после чего обозначить его корни. Тогда получим, что
D = 1 2 — 4 · 3 = — 11 k 1 = 1 + i 11 2 = 1 2 + i · 11 2 k 2 = 1 — i 11 2 = 1 2 — i · 11 2 ⇒ α = 1 2 , β = 11 2
На выходе имеем пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения. Отсюда следует, что общим решением является запись уравнения вида
y 0 = e a · x · ( C 1 · cos β x + C 2 · sin β x ) = = e x 2 · C 1 · cos 11 x 2 + C 2 · sin 11 2
Ответ: y 0 = e x 2 · C 1 · cos 11 x 2 + C 2 · sin 11 2 .
Теорема о структуре общего решения дифференциального уравнения
Линейным называется дифференциальное уравнение n -го порядка , если оно 1-ой степени относительно искомой функции y ( x ) и ее производных , то есть имеет вид:
Если коэффициент P 0 ( x ) ≠ 1, то на него можно поделить и после соответствующих переобозначений получить:
Уравнение (8.43) называется уравнением с переменными коэффициентами. Предположим, что в нем функции , непрерывны на интервале . Тогда для уравнения (8.43) на данном интервале имеет место задача Коши, сформулированная нами ранее.
Примечание. Частным случаем (8.43) является линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами:
Если в уравнении (8.43) f ( x ) ≡ 0, то оно называется однородным, если f ( x ) ≠ 0, то неоднородным.
Теорема 8.3 (о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного и некоторого частного решения неоднородного уравнения . Запишем коротко:
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (8.43), имеет вид:
Пусть в уравнении (8.45) функции . Тогда оно принимает вид:
и называется линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами , где – функции, n раз дифференцируемые.
Рассмотрим решения уравнений (8.45) и (8.46). Обозначим полную совокупность их линейно независимых решений через . Тогда, по свойству решений однородного уравнения, их линейная комбинация также является решением уравнения (8.45) и (8.46), т о есть общее решение может быть записано в виде:
где ci – константы интегрирования.
Перейдем к конструированию функций . Какого они вида? Так как эти функции в уравнениях (8.45) и (8.46) n раз дифференцируемы, то их конструкция при дифференцировании не меняется. Это возможно в случае экспоненциального вида функций, то есть при
где , . Отсюда, линейная комбинация функций (8.48):
– также решение уравнений (8.45) и (8.46).
Рассмотрим одну из функций (8.48) – функцию y = e λx как решение для уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами. Продифференцируем ее n раз:
Так как e λx ≠ 0 , то ( 8.50)
–алгебраическое уравнение n -ой степени относительно λ, называемое характеристическим уравнением для уравнения (8.46). Известно, что уравнение n -ой степени имеет равно n корней как действительных, так и комплексных, с учетом их кратности. Значит, характеристическое уравнение (8.50) дает нам n значений числа λ, ранее обозначенных нами через , которые при подстановке в (8.49) приводит нас к окончательному виду общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим наиболее распространенный частный случай уравнения (8.46) – его аналог 2-го порядка:
Для данного уравнения характеристическое уравнение (8.50) принимает вид:
Уравнение (8.52) является квадратным относительно λ. В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения рассматривают три случая, приведенных в таблице 8.1.
Пример 8.17. Найти общее решение уравнений:
а) Составляем характеристическое уравнение λ 2 +2 λ – 15 = 0. Корнями этого уравнения будут λ 1 = –5 и λ 2 = 3 . Тогда, применяя (8.53), получаем общее решение: y=C 1 e – 5x +C 2 e 3x .
б) Составляем характеристическое уравнение λ 2 – 16 λ + 64 = 0.
Решая это уравнение, получим λ 1 = λ 2 = 8 . Так как корни равные, то, применяя (8.54), будем иметь:
в) Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ + 13 = 0 имеет комплексные корни λ 1 = 2+3 i и λ 2 = 2 –3 i . Положив в (8.55) α=2 и β = 3, получим общее решение: .
г) Характеристическое уравнение λ 2 +9 = 0 имеет корни λ 1;2 = ± 3 i . П олагая в (8.55) α=0 и β = 3, получим общее решение
Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
Теорема 8.4. Пусть задано линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и п равой частью специального вида
1. Если не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:
где – многочлены общего вида (с неопределенными коэффициентами).
2. Если – корень характеристического уравнения кратности s , то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:
– многочлены общего вида
Рассмотрим в таблице 8.2 некоторые случаи составления частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.57) по специальному виду его правой части.
Пример 8.18. Найти общее решение уравнения .
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ: . Х арактеристическое уравнение λ 2 +2 λ +1 = 0 имеет корень λ1 = 1 кратности 2 (смотри таблицу 8.1). Значит, yo . o . = c 1 ∙ e x + c 2 ∙ x ∙ e x . Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть x –4=( x –4)∙ e 0∙ x есть формула вида P 1 ( x )∙ e 0∙ x , причем α= 0 не является корнем характеристического уравнения: α ≠ λ . Поэтому согласно формуле (8.58), частное решение y ч.н. ищем в виде y ч.н. = Q 1 ( x )∙ e 0∙ x , т.е. y ч.н. = Ax + B , где A и B – неопределенные коэффициенты. Тогда
Пример 8.19. Решить уравнение .
уравнения . Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ +13 = 0 имеет корни λ1 = 2+3 i , λ 2 = 2 –3 i (смотри таблицу 8.1). Следовательно, .
Находим частное решение y ч.н. . Правая часть неоднородного уравнения в нашем случае имеет вид
Отсюда, сравнивая коэффициенты при косинусе и синусе, имеем . Следовательно, A = 1, B = – 3 . Поэтому . И наконец, с учетом теоремы 8.3 получаем общее решение заданного линейного неоднородного ДУ в виде:
Пример 8.20. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение . Находим общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение λ 2 – λ – 2 = 0 имеет два корня λ 1 = –1 и λ 2 = 2 (смотри таблицу 8.1) ; тогда yo . o . = C 1 ∙ e – x + C 2 ∙ e 2 x – общее решение соответствующего однородного ДУ.
В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае α=2 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде функции Axe 2 x . Таким образом, y ч.н. = Axe 2 x . Дифференцируя дважды это равенство, по лучим: . Подставим y ч.н. и ее производные в левую часть заданного уравнения и найдем коэффициент A : . Следовательно, частное решение y ч.н. = 3xe 2 x , общее решение
Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных C 1 и C 2 . Дифференцируя общее решение (8.60), получим:
Подставим в общее решение (8.60) значения x = 0 и y = 2, будем иметь 2 = C 1 + C 2 . Подставим в выражение для значения x = 0 и , будем иметь: 13 = – C 1 +2 C 2 +3 ; 10 = – C 1 + C 2 . Из этих уравнений составим систему , из которой находим: C 1 = – 2 и C 2 =4 . Таким образом, есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям
Теорема 8.5 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (8.56) представляет собой сумму двух функций: , а y 1 ч.н. и y 2 ч.н. – частные решения уравнений и соответственно, то функция
является частным решением данного уравнения
http://www.sites.google.com/site/vyssaamatem/glava-viii-elementy-teorii-obyknovennyh-differencialnyh-uravnenij/viii-4-linejnye-differencialnye-uravnenia-vtorogo-poradka