Теорема о целых корнях целого уравнения 9 класс

Теорема о корне при решении уравнений. Урок алгебры. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Использование особенностей монотонности функций для активизации творческого мышления учащихся.
2. Формирование у школьников навыков применения теоремы о корне для решения уравнений.
3. Умение обобщать, конкретизировать и анализировать изучаемый материал.
4. Обучение учащихся нестандартным способам решения задач.
5. Развитие логики и навыков самостоятельной работы.
6. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: учебник “Алгебра 9” (автор: Мордкович А. Г.), задачник “Алгебра 9” (авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.), книга для преподавателей “Алгебра 9” (авторы: Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А.), карточки с памяткой для самостоятельной работы по данной теме, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Предложенный урок расширяет программу по теме “Функции”. Учащиеся уже знакомы с основными свойствами функций, владеют навыками грамотного чтения графиков и умеют применять алгоритм исследования функций. На уроке основной упор делается на использование свойств монотонности функций для решения уравнений. Рассматривается теорема о корне. В ходе урока каждый учащийся должен достигнуть определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно.

Ожидаемый результат по окончании изучения материала:

1-й уровень: каждый ученик должен знать геометрическую модель теоремы о корне и уметь установить связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

2-й уровень: каждый ученик должен знать алгоритм решения уравнений с использованием теоремы о корне и уметь применять ее для решения нестандартных задач.

На уроке рассматриваются различные виды уравнений, решаемых с помощью теоремы о корне. В дальнейшем учащимся предлагается использовать предложенный алгоритм в домашней контрольной работе (§16, задачник “Алгебра 9” авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.). Для организации проверочной работы используются задания из практикума (составитель автор).

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (7 мин.).

Учитель: Необходимо повторить пройденное для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала. На протяжении изучения темы “Функции” вы постепенно учились читать графики функций, используя алгоритм для их исследования. Остановимся на особенностях возрастающей и убывающей функций. Подборка материала подготовлена учащимися.

Выступление учащихся сопровождается показом презентации.

III этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель: Сегодня изучение нового материала мы начнем с доказательства теоремы о корне.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Доказательство:

Рассмотрим возрастающую функцию f(x) (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию на множестве X существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b — единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на множестве X есть еще число , такое, что f(c)=a. Тогда или c b. Но функция f(x) возрастает на множестве X, поэтому соответственно либо f(c) f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и на множестве X, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

Геометрическая модель теоремы о корне может быть представлена как на экране, так и на плакате.

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующие примеры:

Сколько корней имеет уравнение?

(1);

— x 5 = (2).

Учащиеся отмечают, что на своих областях определения функция возрастает, а функция y = — x 5 – убывает соответственно. По теореме о корне как уравнение (1), так и уравнение (2) имеют по одному корню.

Учитель: Откроем учебник на 98 стр. и обратим внимание на то, что при решении уравнения x 5 =3-2x (пример 1, рис. 79) геометрическая модель наглядно иллюстрирует следствие, которое следует из теоремы о корне:

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

По учебнику разбирается пример 1.

Опираясь на это утверждение, можем изящно решить уравнение

x 5 = 3 — 2x без чертежа, следуя следующему алгоритму:

1. заметим, что при x=1 выполняется равенство 1 5 =3-2·1,
   значит, x=1 – корень уравнения (этот корень мы угадали);
2. функция у = 3 — 2x убывает, а функция у = x 5 возрастает,
   значит, корень у заданного уравнения только один и
   этим корнем является значение x=1.

Учитель: Определим сколько решений имеет уравнение x 5 = — 3x +5 с комментированием на месте.

Решение:

1. рассмотрим функции у = x 5 и у = — 3x + 5; заметим, что область определения этих функций одинакова: D(у)=(-; +);
2. на D(у) функция у = — 3x + 5 убывает, а функция у = x 5 возрастает. Значит, по следствию из теоремы о корне, у заданного уравнения только один корень, т.е. уравнение, имеет одно решение.

Учитель: Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи, используя теорему о корне (следствие).

На экране высвечивается обобщенный алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

1. Определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b).
2. Ввести две функции y=f(x) и y=g(x).
3. Исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x)возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

IV этап. Усвоение новых знаний (23 мин.)

Учитель: Карточки и памятка для самостоятельной работы лежат у вас на столах. Приступим к выполнению заданий.

Так как нетрадиционные методы решения задач вызывают трудность у большинства учащихся, то следующее уравнение предлагается решить вместе. Для оформления решения учащийся по желанию выходит к доске (дается уравнение 2 уровня).

Решить уравнение: (3).

Решение: в начале запишем уравнение (3) в виде

,

затем воспользуемся теоремой о корне.

1. при x=5 уравнение превращается в верное числовое равенство: ; 5=5 (т.е. угадали корень уравнения – x=5).
2. заметим, что в левой части уравнения функция возрастает на D(у)=[3; +); значит, у заданного уравнения корень только один и этим корнем является значение x=5.

После того как данное задание выполнено, класс приступает к решению уравнений в зависимости от восприятия материала:

1) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными уравнениями;
2) те, у кого решение уравнений не вызывает затруднений.

В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.

1 уровень.

1. (Ответ: 0);

2. (Ответ: 2);

3. (Ответ: 3);

4. (Ответ: 4);

5. (Ответ: -2);

6. (Ответ: 1).

2 уровень.

1. (Ответ: 1);

2. (Ответ: -1);

3. (Ответ: -2);

4. (Ответ: 2);

5. (Ответ: -3);

6. (Ответ: -2);

7. (Ответ: 2).

Необходимо проверить правильность выполнения заданий, поэтому от каждой группы выступает ученик, демонстрируя решение одного из уравнений на доске.

V этап. Итог урока (2 мин.).

Подводя итог урока, учитель и ученики выясняют трудности при решении уравнений и обсуждают, на что они должны обратить внимание при выполнении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.).

Учитель: задание на дом следующее: доделать задания на карточках; если на уроке выполнено все, то воспользоваться дополнительной карточкой из материалов для самостоятельной работы; домашняя контрольная работа (§16, задачника “Алгебра 9”).

Заключительное слово учителя (1мин). Любовь к предмету не возникает просто так. Двигаясь постепенно от простого к сложному, анализируя и обобщая учебный материал, интересуясь “изящными” способами решения, можно понять красоту алгебры. Сегодня знание теории и практические навыки, что равнозначно, показали многие из вас. Особую благодарность заслуживают ребята, создавшие прекрасную презентацию. Постижение мира бесконечно: дерзайте, творите, ошибайтесь, ищите ответы на вопросы, только не “проспите” лучшие годы. “Жажда к жизни” – залог успеха.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

1. Памятка по решению уравнений.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

Алгоритм решения уравнения f(x)=a с использованием теоремы о корне:

1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
2. исследовать функцию y=f(x), стоящую в левой части уравнения, на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), то уравнение f(x)=a имеет единственный корень – x=b (ссылка на теорему).

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

Рекомендации:

Сначала, если это необходимо, уравнение привести к такому виду, чтобы было удобно исследовать на монотонность функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, а затем следовать согласно следующему алгоритму:

1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
2. ввести две функции y=f(x) и y=g(x);
3. исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

2. Практические задания.

Рекомендации: рассмотрим готовое решение уравнения (возможен такой вариант оформления).

Решить уравнение: .

Решение:

Функция f(x) = определена и монотонно возрастает на D(у)=[0; +);

На основании теоремы о корне уравнение имеет не более одного корня.

Т.к. f (1) = 4, то x = 1 – корень уравнения.

Дополнительная карточка (подбор заданий [1]).

;

;

;

;

;

.

Литература.

1. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.

Конспект урока и презентация по математике на тему»Целое уравнение и его корни» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 1.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

УСТНАЯ РАБОТА Решите уравнение: х=-2 х=1/2 х=-4;4 х=-8 корней нет х=0

Цели: образовательные: обобщить и углубить сведения об уравнениях; ввести понятие целого уравнения и его степени, его корней; рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители. развивающие: развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод; воспитательные: воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.

Психологическая установка Продолжаем обобщать и углублять сведения об уравнениях; знакомимся с понятием целого уравнения, с понятием степени уравнения; формируем навыки решения уравнений; контролируем уровень усвоения материала; На уроке можем ошибаться, сомневаться, консультироваться. Каждый учащийся сам себе дает установку.

План урока Какие уравнения называются целыми? Что называется степенью уравнения? Сколько корней имеет уравнение n-й степени? Методы решения уравнений первой, второй и третьей степеней.

Решите уравнения: а) x2 = 0 е) x3 – 25x = 0 б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0 в) x2 –5 = 0 з) x4 – x2 = 0 г) x2 = 1/36 и) x2 –0,01 = 0,03 д) x2 = – 25 к) 19 – c2 = 10

Уравнения Целые Дробные

Если уравнение с одной переменной записано в виде P(x) = 0, где P(x)- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью данного уравнения Например:

Какова степень знакомых нам уравнений? а) x2 = 0 е) x3 – 25x = 0 б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0 в) x2 – 5 = 0 з) x4 – x2 = 0 г) x2 = 1/36 и) x2 – 0,01 = 0,03 д) x2 = – 25 к) 19 – c2 = 10

Решите уравнения: 2∙х + 5 =15 0∙х = 7 Сколько корней может иметь уравнение I степени? Не более одного!

Решите уравнения: I вариант II вариант III вариант x2-5x+6=0 y2-4y+7=0 x2-12x+36=0 D=1, D>0, D=-12, D

Выбранный для просмотра документ конспект урока.docx

Тема урока: «Целое уравнение и его корни».

обобщить и углубить сведения об уравнениях;

ввести понятие целого уравнения и его степени, его корней;

рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители;

развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод;

воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.

Учебник: Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.- 16-е изд. – М.: Просвещение, 2010

Оборудование: компьютер с проектором, презентация «Целые уравнения»

Просмотр видеоролика «Всё в твоих руках».

Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца «Все в твоих руках:» и пусть эти слова будут девизом нашего урока.

— 2х + 6 =10, 14х = 7, х 2 – 16 = 0, х – 3 = 5 + 2х, х 2 = 0,

Сообщение темы урока, цели.

Сегодня мы познакомимся с новым видом уравнений – это целые уравнения. Научимся их решать.

Запишем в тетради число, классная работа и тему урока: «Целое уравнение, его корни».

2.Актуализация опорных знаний.

Ответы: а)х = 0; б) х =5/3; в) х = -, ; г) х = 1/6; — 1/6; д) корней нет; е) х = 0; 5; — 5; ж) 0; 1; -2; з)0; 1; — 1; и) 0,2; — 0,2; к) -3; 3.

3.Формирование новых понятий.

Беседа с учениками:

Что такое уравнение? (равенство, содержащее неизвестное число)

Какие виды уравнений вы знаете? (линейные, квадратные)

3.Сколько корней может иметь линейное уравнение?) (один, множество и ни одного корня)

4.Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Отчего зависит количество корней? (от дискриминанта)

-В каком случае квадратное уравнение имеет 2 корня?( Д>0)

— В каком случае квадратное уравнение имеет 1 корень? (Д=0)

— В каком случае квадратное уравнение не имеет корней? ( Д0)

Целое уравнение – это уравнение левая и правая часть, которого является целым выражением. (читают вслух).

-Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений, мы видим, что количество корней не больше его степени.

-Как вы думаете, можно ли не решая уравнения, определить количество его корней? (возможные ответы детей)

-Познакомимся с правилом определения степени целого уравнения?

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида.

Уравнение n ой степени имеет не более n корней.

Целое уравнение можно решить несколькими способами:

способы решения целых уравнений

разложение на множители графический введение новой

(Записывают схему в тетрадь)

Сегодня мы рассмотрим один из них: разложение на множители на примере следующего уравнения:х 3 – 8х 2 –х +8 = 0.(на доске объясняет учитель, ученики записывают в тетрадь решение уравнения)

-Как называется способ разложения на множители, с помощью которого можно левую часть уравнения разложить на множители? (способ группировки). Разложим левую часть уравнения на множители, а для этого сгруппируем слагаемые, стоящие в левой части уравнения.

-Когда произведение множителей равно нулю? (когда хотя бы один из множителей равен нулю). Приравняем к нулю каждый множитель уравнения.

Решим полученные уравнения

-Сколько корней мы получили? (запись в тетради)

х 2 (х – 8) – ( х – 8) = 0

(х – 8)(х – 1)(х + 1) = 0

4.Формирование умений и навыков. Практическая часть.

работа по учебнику №265( запись в тетради)

Какова степень уравнения и сколько корней имеет каждое из уравнений:

Ответы: а) 5, б) 6, в) 5, г) 2, д) 1, е) 1

№ 266(а) (решение у доски с объяснением)

Закрепление теоретического материала:

Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите пример.

Как найти степень целого уравнения? Сколько корней имеет уравнение с одной переменной первой, второй степени, n –ой степени?

— Дайте оценку своей работе. Поднимите руку, кто…

1) понял тему на отлично

2) понял тему на хорошо

пока испытываю трудности

7. Домашнее задание:

п.12(с.75-77 пример 1)№267(а, б).

Выбранный для просмотра документ лист контроля ученика.docx

Лист контроля ученика

Класс______ Фамилия Имя ___________________

Какова степень знакомых уравнений

Решение квадратных уравнений

Решение кубических уравнений

Лист контроля ученика

Класс______ Фамилия Имя ___________________

Какова степень знакомых уравнений

Решение квадратных уравнений

Решение кубических уравнений

Лист контроля ученика

Класс______ Фамилия Имя ___________________

Какова степень знакомых уравнений

Решение квадратных уравнений

Решение кубических уравнений

Выбранный для просмотра документ раздаточный материал.docx

а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0
б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0
в) x 2 –5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0
г) x 2 = 1/36 и) x 2 –0,01 = 0,03
д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10

2. Какова степень знакомых нам уравнений?

а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0
б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0
в) x 2 –5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0
г) x 2 = 1/36 и) x 2 –0,01 = 0,03
д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10

3. Решите уравнения:

I вариант II вариант III вариант

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Решите уравнения:

I вариант II вариант III вариант

x 3 -1=0 x 3 — 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

Выбранный для просмотра документ тест .ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Здравствуйте! Сейчас Вам будет предложен тест по математике из 4 вопросов. Нажимайте на кнопки на экране под вопросами, в которых, по Вашему мнению, записан верный ответ. Нажмите кнопку «далее», чтобы начать тестирование. Желаю удачи! далее

1. Решите уравнение: 2 0,5 — 2 Правильного ответа нет 3х + 6 = 0

0; 5 0; — 5 Корней нет

1 Корней нет — 1; -3 Правильного ответа нет

4. Решите уравнение: 0 • х = — 4 Корней нет Много корней — 4

Вы справились! Молодцы!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 893 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 21.11.2016
• 1831
• 9

• 21.11.2016
• 460
• 1

• 21.11.2016
• 382
• 2

• 21.11.2016
• 560
• 11

• 21.11.2016
• 296
• 0

• 21.11.2016
• 863
• 0

• 21.11.2016
• 740
• 7

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.11.2016 908
• RAR 9.6 мбайт
• 27 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Чеботарева Ирина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 10 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 7111
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Методическая разработка открытого урока по теме «Целое уравнение и его корни»
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Методическая разработка открытого урока

по теме «Целое уравнение и его корни»

Цель урока: Обобщить и систематизировать знания о целых уравнениях и методах их решений.

Задачи урока:

1. Образовательные: дать понятие целого уравнения и его степени; научить приему решения целых уравнений 3-й степени аналитическим и графическим способами; актуализировать опорные знания решения квадратных уравнений, построения графиков функций,

2. Развивающие: развивать умения в применении знаний в конкретной ситуации; логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; умение обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли; развивать самостоятельную деятельность учащихся.

3. Воспитательные: воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе, взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях

Используемые педагогические технологии, методы и приемы:

технология интерактивного обучения.

Методы: метод программированного обучения, объяснительно-иллюстративный, метод ролевой игры

Приемы: беседа, самостоятельная работа, работа в парах.

Оборудование: Мультимедийный проектор, компьютер, экран

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Целое уравнение и его корни

«Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий должен достичь этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением» А.Дистерверг

1)продолжаем обобщать и углублять сведения об уравнениях; 2) продолжаем работать с понятием целого рационального и дробного рационального уравнения; 3)знакомимся с понятием степени уравнения ; новыми методами решения уравнений; 4)формируем навыки решения уравнений; 5)контролируем уровень усвоения материала; На уроке можем ошибаться, сомневаться, консультироваться. Каждый учащийся сам себе дает установку . Психологическая установка

Повторение у = -5х+10 у = -2/х у = х²-9 у = х³ У=(2х+5)² У=(3х-2)²+4

Решите уравнения: а) x 2 = 0 ж) x 3 – 25x = 0 б) 3x – 5 = 0 з) x(x – 1)(x + 2) = 0 в) x 2 –5 = 0 и) x 4 – x 2 = 0 г) x 2 = 1/36 к) x 2 –0,01 = 0,03 д) x 2 = – 25 л) 19 – c 2 = 10 е) = 0 м) (x – 3) 2 = 25 1) х – 3 = 5 и 2) х – 3 = – 5

Уравнения Целые Дробные Например: + x² = x³ -2( x -1) — = 3 x² = ; = x +5 2 x -1=

Какие уравнения называются целыми? Что называется степенью уравнения? Сколько корней имеет уравнение n- й степени? Методы решения уравнений первой, второй и третьей степени. План урока

Целые уравнения Уравнения, в которых левая и правая части являются целыми выражениями называются целыми уравнениями . Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида

Какова степень знакомых нам уравнений? а) x 2 = 0 ж) x 3 – 25x = 0 б) 3x – 5 = 0 з) x(x – 1)(x + 2) = 0 в) x 2 – 5 = 0 и) x 4 – x 2 = 0 г) x 2 = 1/36 к) x 2 – 0,01 = 0,03 д) x 2 = – 25 л) 19 – c 2 = 10

Вспомним! ax + b = 0 Линейное уравнение ax²+bx+c=0 Квадратное уравнение Нет корней Один корень x= — x- D 0 D=0 X=

Целые уравнения Решите уравнения: 2 ∙ х + 5 =15 0 ∙ х = 7 Сколько корней может иметь уравнение I степени? Не более одного!

Целые уравнения Решите уравнения: I вариант II вариант III вариант x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0 D =1, D >0, D =-12, D Методическая разработка открытого урока

по теме «Целое уравнение и его корни»

Цель урока: Обобщить и систематизировать знания о целых уравнениях и методах их решений.

1. Образовательные : дать понятие целого уравнения и его степени; научить приему решения целых уравнений 3-й степени аналитическим и графическим способами; актуализировать опорные знания решения квадратных уравнений, построения графиков функций,

2. Развивающие : развивать умения в применении знаний в конкретной ситуации; логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; умение обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли; развивать самостоятельную деятельность учащихся.

3. Воспитательные: воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе, взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях

Используемые педагогические технологии, методы и приемы:

технология интерактивного обучения.

Методы : метод программированного обучения, объяснительно-иллюстративный, метод ролевой игры

Приемы: беседа, самостоятельная работа, работа в парах.

Оборудование: Мультимедийный проектор, компьютер, экран

( Вводно-мотивационная часть, с целью активизации деятельности учащихся)

Эпиграфом этого урока, я взяла слова Адольфа Дистерверга (немецкого педагога, который преподавал физику и математику):

«Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий должен достичь этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением».

На уроке мы докажем верность этого высказывания.

II. ПОВТОРЕНИЕ (фронтальный опрос)

формулу разности квадрата.

формулу дискриминанта и его корней.

а -b = (a –b) (a +b )

D= b — 4 a c, x 1 = ; x 2 =

2.Теорему ВИЕТА и обратную теорему

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

обратная теорема Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно G, то эти числа являются корнями уравнения

3. Охарактеризуйте график функции.

Это линейная функция, убывающая на множестве действительных чисел, так как k= -5. Графиком является прямая, сдвинутая вверх по оси Оу на 10 единиц.

Это обратная пропорциональность. D(у)= R, х‡ 0. Графиком функции является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях, так как k= -2, не пересекающих оси координат.

Это квадратичная функция, D(у)= R. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а=1. График симметричен относительно оси Оу и сдвинут вниз по оси Оу на 9 единиц.

Это кубическая парабола, расположенная в 1 и 3 четвертях. Д(у)=R График симметричен относительно начала координат.

Это квадратичная функция. Д(у)=R.Графиком функции является парабола ветви которой направлены вверх. График сдвинут влево по оси х на 5 единиц

Это квадратичная функция. Д(у)=R. Графиком является парабола ветви которой направлены вверх. График сдвинут по оси х влево на 2 единицы и вверх на 4единицы

III. Устная работа.

Учитель: Ребята что вы видите на карточках ?.(Уравнения)..

А что с уравнениями обычно делают? (решают).

А что значит решить уравнение? . ( найти его корни или доказать что корней нет)

Что называется корнем уравнения? ….(значение переменной , при котором уравнение обращается в верное равенство)

2) x²-5x+6=0 4)2x²+4x-30=0

Ребята давайте посмотрим на уравнения на слайде

На какие группы вы могли бы их разделить ?(неполные квадратные, линейные, дробно-рациональные, уравнения третьей степени и четвертой степени) .

Способы решения этих уравнений мы знаем?

Давайте устно решим эти уравнения.

В этих уравнениях мы будем использовать…( формулы сокращенного умножения, теорему ВИЕТА, формулу Дискриминанта)

Учитель: А теперь, ребята, попробуем указать из рациональных уравнений те, которые не являются целыми.

Ученики: Называют целые и дробно-рациональные уравнения.

Учитель: Давайте сформулируем определение целого уравнения…и дробно-рационального (если не помнят, открыть учебник стр.245 п. 14)

Ученики: Если левая и правая части представляют собой целые выражения, то это уравнение называется целым.

Учитель: Итак, тема нашего урока: “Целое уравнение и его корни” Сегодня мы познакомимся с определением целого уравнения вида Р(х)=0, узнаем как определить степень уравнения, рассмотрим способы решения целых уравнений третьей степени.

Откройте тетради. Запишите дату и тему урока

III. Изучение нового материала

Учитель: Ребята в начале урока мы с вами решали устно уравнения. Давайте вновь вернёмся к ним и укажем степени этих уравнений. А степенью целого уравнения называется степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида. А что называется степенью многочлена.

Ученики: Наибольший показатель степени переменной входящей в уравнение называется степенью уравнения.

Учитель: Ребята, а какова степень знакомых нам уравнений? ………

Учитель: А кто помнит, какова цель нашего урока?

Ученики: Научится решать целые уравнения

Учитель: Совершенно верно! И так, начнём решать целые уравнения. Откройте учебник и найдите № 267 (а, б, в). Посмотрите на данные уравнения! Чем они отличаются. Как вы думаете, с чего можно начать решение каждого из этих уравнений. Запишите в тетрадь решении уравнения, ребята сидящие на 1 ряду (1 вариант) – под буквой «а», на втором ряду ( 2 вариант) – под буквой «б», и ребята сидящие на 3 ряду ( 3 вариант) – под буквой «в».

Учитель : Кто справился с заданием? Кто решил своё уравнение, приступайте к решению любого из оставшихся уравнений. А для тех, у кого возникли вопросы воспроизведём решение на доске. Кто сможет записать решение на доске? Пожалуйста, выходите. Первым справился …..Прокомментируй свое решение и т.д.

а) (6 – х)(х+6) – (х–11)х=36, б) – = 0, в) 9х 2 – =1,

36 – х 2 – х 2 + 11х – 36=0, = 0, 36х 2 –(36х 2 –33х+96–88)– 4=0

– 2х 2 + 11х = 0, т.к. 55 ≠ 0, 36х 2 –36х 2 +33х–96х+88 – 4=0

х (11 – 2х) = 0, 5 – 15у -33 + 11у = 0, – 63х = – 84,

х 1 = 0 и 2х 2 = 11, -4у = 28, х= = 1

Ответ: 0; 5,5 Ответ: – 7 Ответ: 1 .

Учитель: Ребята? У кого аналогичное решение, поднимите руку. Молодцы! Все решили данные равнения .

Учитель: Уравнения ребята бывают 1, 2, 3, 4, и более высоких степеней. Мы с вами большей частью решаем уравнение I, II иногда III степени.

Давайте вспомним сколько корней может иметь уравнение 1 степени и 2 степени

Давайте решим уравнение I степени и узнаем, сколько оно может иметь корней. Кто знает, называет вслух решения уравнения…..

(На слайде): 2x-5=10, 0·х = 7

Учитель: Решили? Сделайте вывод … Сколько корней может иметь уравнение I степени?

Ученики: Не более одного.

Учитель: Рассмотрим уравнения на следующем слайде . Запишите в тетрадях решение: 1 ряд – 1 вариант, 2 ряд – 2 вариант, 3 ряд – 3 вариант. ….