Теорема об эквивалентности решений дифференциальных уравнений

Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Капцов О. В.

Вводится отношение эквивалентности на классе линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Эквивалентность определяется с помощью линейных дифференциальных операторов. Доказывается, что преобразования Эйлера-Дарбу порождают такое отношение эквивалентности на некотором классе уравнений. Получена формула суперпозиции преобразований Эйлера-Дарбу. В качестве приложений рассмотрены уравнение Дарбу и Шредингера.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Капцов О. В.

Equivalence of linear partial differential equations and Euler-Darboux transformations

An equivalence relation on the class of linear partial differential equations is introduced. The equivalence is defined by means of linear differential operators. We prove that the Euler-Darboux transformations generate the equivalence relation on a certain class of equations. A superposition formula was found for the Euler-Darboux transformations. The Darboux and Schrodinger equations were considered as applications of the proposed method.

Текст научной работы на тему «Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу»

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ*

О. В. КАпцов Институт вычислительного моделирования СО РАН,

Красноярск, Россия e-mail: kaptsov@icm.krasn.ru

An equivalence relation on the class of linear partial differential equations is introduced. The equivalence is defined by means of linear differential operators. We prove that the Euler—Darboux transformations generate the equivalence relation on a certain class of equations. A superposition formula was found for the Euler—Darboux transformations.

The Darboux and Schrodinger equations were considered as applications of the proposed method.

Задача сведения заданного уравнения к уже изученному представляет несомненный интерес для приложений. Локальные преобразования изучаются в групповом анализе дифференциальных уравнений 2. Два уравнения считаются эквивалентными, если существует точечное преобразование, переводящее одно уравнение в другое. Лучше всего изучены вопросы эквивалентности для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [3]. В работе предлагается дополнить класс преобразований линейных уравнений с частными производными.

Пусть имеется два линейных уравнения с частными производными одного и того же порядка из некоторого класса E:

Предположим, что существует линейный дифференциальный оператор L такой, что преобразование

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-01-00489).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.

переводит решения уравнения (0.1) в решения (0.2). Тогда преобразование (0.3) называют дифференциальной подстановкой. Если найдется еще дифференциальная подстановка и = Му, которая переводит решения уравнения (0.2) в решения (0.1), то уравнения (0.1) и (0.2) будем называть эквивалентными, а операторы С и М — операторами эквивалентности, обратными друг другу.

Таким образом, получается категория EQ, объектами которой являются линейные дифференциальные уравнения, морфизмами — дифференциальные подстановки, а на классе уравнений Е возникает отношение эквивалентности. Из указанных выше условий эквивалентности следуют два соотношения:

Ь2(Си)1Ьуа=о = 0, Ь1(Му)1ь2,и=о = 0.

Классический пример подобного отношения эквивалентности связан с преобразованиями Лапласа [1,4] гиперболических уравнений

иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0.

Следует отметить, что в случае совпадения уравнений (0.1) и (0.2) оператор С является симметрией уравнения (0.1) [5]. Если уравнения (0.1) и (0.2) различны, а операторы С, М совпадают, то С будем называть сплетающим оператором.

В данной работе рассматривается специальный класс преобразований линейных уравнений с частными производными. Эти преобразования называются преобразованиями Эйлера—Дарбу (или Э-Д-преобразованиями), поскольку Эйлер первый ввел их в своих работах [6] по построению общих решений уравнений второго порядка, а Дарбу [7] применял к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано, что Э-Д-преобразование имеет обратное, на некотором классе Е2,м линейных уравнений. Указаны формулы суперпозиции Э-Д-преобразований и явный вид преобразованных уравнений. Приведены примеры приложений преобразований Э-Д к уравнениям второго порядка. В частности, описано множество уравнений Эйлера—Пуассона— Дарбу, эквивалентных волновому уравнению с постоянными коэффициентами.

1. Преобразования Эйлера—Дарбу

В этом параграфе изучаются специальные классы линейных уравнений с частными производными и преобразования, переводящие решения одного уравнения в другое уравнение того же типа.

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными:

Ьи = Аи + Ви = 0. (1.1)

Предположим, что оператор А — дифференциальный оператор по одной переменной х:

а В — дифференциальный оператор по переменным у\. уп вида

где у = (у1. уп), дХ = -гг—, да = ^, а = (аь . ап) — целочисленный мульти-

индекс. Функции аг(х), Ьа(у) считаются гладкими в соответствующих областях. Класс уравнений вида (1.1) обозначим через Ек,м.

Если Л(х),д(у) — решения уравнений

то функция и1 = Лд удовлетворяет уравнению (1.1). Функция и1, порождает преобразование уравнения (1.1).

Теорема 1. Класс уравнений Ек,м обладает следующими свойствами:

1. Если 7 — гладкая функция вида 7 = р(х)д(у) = 0, то преобразование

переводит решения уравнения (1.1) в решения уравнения

Ьу = уЬ(7)/7 + А1у + В1у = 0,

ai = X!a1(x)dx bi = X! ba(y)da

При y = u1 = 0 уравнение Lv = 0 имеет вид

L1v = A1v + B1v = 0. (1.5)

2. Преобразование v —> w = vx переводит решения уравнения (1.5) в решения уравне-

L2w = ^(5x(a1)5X-1w + a^w) + ^ ^d^w = 0. (1.6)

Доказательство. Для проверки первого свойства заметим сначала, что верны равенства

Lu = L(yv) = vLy + Av + Bv = 0, (1.7)

Av = ^2 a(x, y)dXv, Bv = ^ 6a(y, y)d^v.

Коэффициенты a могут зависеть только от x, y и производных от y по x, а коэффициенты ba могут зависеть только от y, y и ее производных по y1. yn. Функция Y и ее производные могут входить в коэффициенты a, Ьа лишь линейным образом. Разделив (1.7) на Y, получаем уравнение

Lv = vL(Y) + A1v + B1v = 0,

где операторы А1 , В1 имеют вид

А1 = X!а(х,р(х))дХ, В1 = X! Ь«(у,^(у))дУ’.

При 7 = и1 приходим к уравнению (1.5). Для доказательства второго свойства достаточно продифференцировать (1.5) по х и ввести новую функцию ,ш = дху. В результате получается уравнение (1.6). Заметим, что все уравнения Ьи = 0, Ь1у = 0, Ь2и> = 0 принадлежат одному классу Ек,м. ^

Следствие. Пусть Ъ — нетривиальное решение уравнения (1.4), г = 0 — гладкая функция от х. Тогда преобразование

переводит решение уравнения (1.1) в решения уравнения того же класса Ек,м. Действительно, согласно теореме 1 преобразование

сохраняет класс уравнений (1.1). Здесь р, д — произвольные гладкие функции, и1 — решение уравнения (1.1), полученное разделением переменных и1 = Ъ(х)д(у). Если положить д = д, р = Ъ/г, то из (1.9) получим (1.8).

Преобразование (1.8) будем называть преобразованием Эйлера—Дарбу, а соответствующий линейный оператор

— оператором Эйлера—Дарбу первого порядка. В современной литературе преобразование (1.8) и его многомерные аналоги принято называть преобразованием Дарбу 8.

Если известно решение Ъ уравнения (1.4) при некотором с, то это позволяет построить преобразование Эйлера—Дарбу. Оказывается, что если известны решения Ъ1. Ък уравнения (1.4) при различных с1. ск, то легко построить оператор порядка к и соответствующее преобразование, действующее на Ек,м. Для построения таких операторов применим конструкцию, близкую к той, что используется в теории факторизации линейных дифференциальных операторов [8, 12].

Обозначим через оператор Эйлера—Дарбу вида

Пусть Ъ1. Ъм — гладкие, линейно независимые функции от х. Построим последовательность функций и операторов

Р1 = Ъ1, Р2 = СР1Ъ2, . рм = £РМ _Г . ^Р1 Ъм, (1.10)

М1 = £рГ , М2 = £р2 МЪ . ММ = £рм ММ-1.

Как следует из построения операторов Мк, функции Ъ1. Ък удовлетворяют дифференциальному уравнению порядка к

Значит, они образуют базис решений уравнения (1.11). Следовательно, действие оператора Мк на произвольную функцию представляется в виде [8, 12]

ка пк пк— 1 (Ъ’1?—?Ъ’к, и) р.4

^МкИ = дх и + ак—ідх и + . + аои = Т1,/,——;—^— • (1-12)

Если взять в качестве Д1. Дк решения уравнения (1.4), соответствующие различным константам с1, . Ск, то получим утверждение.

Лемма 1. Преобразование

переводит решение уравнения (1.1) в решение уравнения того же класса ЕК,м.

Операторы Мк отнесем к высшим операторам Эйлера—Дарбу, а преобразование (1.13) — к высшим преобразованиям Эйлера—Дарбу.

Остается открытым вопрос о том, существуют ли операторы порядка к, действующие на Ек,м и не представимые в суперпозиции операторов Эйлера—Дарбу первого порядка.

Заметим, что лемма 1 — аналог известной теоремы Крума [8, 13] из теории линейных обыкновенных уравнений второго порядка. Подобное утверждение имеется в теории сетей [14].

2. Преобразование уравнений класса Е2,м

В данном параграфе будет указан вид уравнений класса Е2,м, полученных действиями преобразования Эйлера—Дарбу, а также найдено обратное преобразование.

^ижж + Сих + Ни = Ви, (2.1)

где С, Н — гладкие функции от х, В — линейный оператор вида (1.3). Уравнения

вида (2.1) относятся к классу Е2,м.

Теорема 2. Преобразование Эйлера—Дарбу (1.8) переводит решения уравнения (2.1) в решения уравнения

+ Сігх + Ніг = Вг, (2.2)

где функции Сі,Ні задаются формулами

Ні = н + (^г + Сг) + ^,(1п д) + 2^ (1п ду/. (2.4)

Здесь штрих означает производную по х, а функция і удовлетворяет уравнению

Пг// + Сі + (Н + с) і = 0, с Є Н. (2.5)

Доказательство. Для краткости обозначим через Аи левую часть (2.1), через Аіг — левую часть (2.2), а преобразование Эйлера—Дарбу запишем в виде

где в = — Л’/Л. В этих обозначениях уравнения (2.1), (2.2) выглядят так:

Аи = Ви, А^ = Вг. (2.7)

Второе уравнение в (2.7), с учетом (2.6), переписывается в форме

Поскольку операторы В и £ коммутируют, то последнее уравнение можно преобразовать к виду

в силу первого уравнения (2.7). Левая часть (2.8) — многочлен первой степени относи-

тельно мхх,мх,м. Коэффициенты при этих величинах должны быть равны нулю.

Собирая подобные члены при ихх,их, получаем формулы (2.3), (2.4). Используя полученные выражения (2.3), (2.4) и приравнивая к нулю коэффициент при и, приходим к уравнению

*У’ + (^’ — 2^в + С) в’ — ^’в2 + Св’ — И’ = 0. (2.9)

Прямыми вычислениями убеждаемся в том, что (2.9) — это следствие уравнения

(2.5) и выражения в = — Л’/Л. □

Замечание. Доказанный результат является небольшим обобщением теоремы Эйлера [6]. Можно заметить, следуя [6], что (2.9) допускает первый интеграл

— ^в2 + Св — И = с. (2.10)

Тогда преобразование в = — Л’/Л приводит (2.10) к виду (2.5).

Вернемся к высшим преобразованиям Эйлера—Дарбу.

Теорема 3. Пусть ^1. , — решения уравнений (2.5), соответствующие раз-

личным константам с1. ,с&. Тогда преобразование (1.13) переводит решения уравнения (2.1) в решения уравнения

При этом коэффициенты С&, И задаются формулами

С = С + к*1′, И = И + кС’ + к(к 2— 1) ^» + ^’ (1п Ж )’ + 2^ (1п W)», (2.12)

где Ж — вронскиан функций Л1. , Л,.

Доказательство. Выражение для С& получается по индукции, последовательным применением формулы (2.3) при г = 1. Используя (2.4) и конструкцию (1.10) функций р1. р&, легко видеть, что индукционное построение коэффициентов И, приводит к выражениям

И, = И + кС’ + к(к2— 1) ^ + ^'(1пР1.. .р*)’ + 2^(1пР1.. .№)». (2.13)

Необходимо найти произведение р1 . рк. Так как, согласно (1.10) и (1.12), имеют место соотношения

Л Ж(Л1,Л2) Ж(кЬ. кк) ЖЛ ^

Остается подставить последнее выражение в (2.13) и получить вторую формулу в (2.12). □

Замечание. Поскольку функция к* (г = 1. к) удовлетворяет уравнению (2.5) с параметром с = с*, оператор М, зависит от с1. с,. Если некоторые параметры с;. , с^+т стремятся к одной величине Ь, то в соответствии с методом Даламбера [15] решениями уравнения (1.11) будут функции к;, дък;, . 5тк^. Чтобы лемма 1 и теорема 3 оставались справедливыми, необходимо в соответствующих формулах заменить к;+1. , к;+т на дък. , дтк.

Перейдем теперь к построению преобразования Эйлера—Дарбу, переводящего решения (2.2) в решения (2.1). Такое преобразование назовем обратным к (1.8).

Теорема 4. Пусть задано преобразование Эйлера—Дарбу, переводящее решения уравнения (2.1) в решение уравнения (2.2). Тогда обратное преобразование Эйлера—

переводит решения уравнения (2.2) в решения (2.1), если

Г1 г^, 1 кг ехр(/ С/^ж) 5

Доказательство. Согласно (2.3), первые условия того, что преобразования Эйлера— Дарбу (1.8) и (2.14) являются взаимно обратными, имеют вид

С1 = С + ^’ + 2^ (1п г)’, (2.16)

С = С1 + ^’ + 2^ (1п Г1)’. (2.17)

Исключая С и С1 из (2.16) и (2.17), получаем

^’ + ^ (1п г)’ + ^ (1п г1)’ = 0.

Это соотношение позволяет найти

В дальнейшем будем считать, что с =1. Используя (2.4), записываем вторые два условия того, что (1.8) и (2.14) взаимно обратны:

И1 = И + (^г + Сг) + ^’ (1п к)’ + 2^ (1п к)», (2.18)

и = И1 + ^ + С1г1) + ^’ (1п к1)’ + 2^ (1п к1)». (2.19)

Покажем теперь, как получается выражение для к1. Функция к должна удовлетворять уравнению (2.5). Предположим, что к1 удовлетворяет аналогичному уравнению

^к? + С1к1 + (И + с)к1 = 0. (2.20)

Впоследствии проверим справедливость этого предположения. Подставим в (2.18) и (2.19) функции С1,г1. В результате получим два линейных уравнения относительно И, И1 . Исключив из этих уравнений И, И1 , приходим к выражению

Г’гкк’ [(гкк1)’ Г + (гкк1)С] + 5 = 0, (2.21)

где 5 не содержит Г’. Явный вид 5 не приводится из-за его громоздкости. Требуя, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в ноль, приходим к соотношению

прямыми вычислениями можно проверить, что данная функция удовлетворяет (2.20) и (2.21). □

Следствие. Операторы Эйлера—Дарбу порождают отношение эквивалентности на классе уравнений Е2,м.

3. Преобразование подкласса Е2,м

Рассмотрим класс /2 уравнений вида

ихх + С(ж)их = Ви, (3.1)

где В — оператор (1.3), С — некоторая гладкая функция от ж. В этом параграфе будут указаны преобразования, действующие на /2, найдены обратные преобразования и получен аналог теоремы 3. Интерес к уравнениям типа (3.1) связан с их приложениями в механике жидкости и теории упругости.

Как следует из (2.4), преобразование Эйлера—Дарбу

переводит решения уравнения (3.1) в решения уравнения

если функция г удовлетворяет уравнению

г» + Сг’ + (С’ + 2(1п к)») г = 0. (3.4)

Прямой проверкой убеждаемся в том, что одним из решений (3.4) является функция

Знак минус выбран из соображений удобства. Второе решение (3.4) более громоздкое и здесь не используется. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Преобразование Эйлера—Дарбу

переводит решения уравнения (3.1) в решения (3.3), если коэффициент С1 задается

С1 = С + 2(1п(к’/к))’, (3.6)

а функция к удовлетворяет уравнению

к» + Ск’ + ск = 0, с € Д. (3.7)

Следствием теоремы 4 является лемма 3.

Лемма 3. Если к — нетривиальное решение уравнения (3.7), то преобразование

(3.5) имеет обратное:

Таким образом, преобразования Эйлера—Дарбу порождают преобразование эквивалентности на /2.

Перейдем к построению высших операторов Эйлера—Дарбу. Введем линейный оператор

соответствующий преобразованию (3.5). Предположим, что известны решения Ъ^ . , Ъ^ уравнения (3.7) при некоторых значениях С1. Как в разд. 2, определим рекуррентным способом функции и операторы

р1 Ъ1) р2 ^рі Ъ2) • • • , ^рм—1 •••^Р1 Ъп)

1 ^рі) 2 ^рг 1) • • • ) N ^рм N—1 •

Каждый оператор М& имеет вид

Мк = 5^ + ^—1$!: 1 + . + 1,

где а — функции от ж.

Если к1. , к^ — линейно независимы, то при любом к ‘

где Ъ1. , Ък — функции вида (4.3) такие, что W(Ъ/ь . , Ък) — 0, и0 — и(х+у) +V(х-у), а и, V — произвольные гладкие функции.

Последовательным применением преобразования Эйлера—Дарбу можно получать решения, включающие рациональные функции. Например, решением уравнения

ихх + I 3 + 6 I Пх — , 6 Е

х3 + 6 и — —— (и» + V») — х (и + V’) + и + V. 3х

—2(3х8 + бкх5 — 10тх3 + 30к2х2 + 5кт)

(х6 + 5кх3 — 5к2 + 5тх)(х3 + к)

^ _ (х6 + 5Кх3 — 5к + 5тх)(х3 + к) ,»,ттШ , Т^,Л гг„ Т^Л ,

И — 15(х7 + 2кх4 + к2х) (х(и + V ) — и — V ) +

+(и» + V») — х (и’ + V’) + и + V 3х

удовлетворяет уравнению (4.1). Вероятно, указанные решения можно получить из (4.4) некоторым предельным переходом. Следует отметить, что все указанные уравнения принадлежат одному классу эквивалентности, порожденному волновым уравнением.

Пусть теперь п не обязательно целое число. Легко видеть, что уравнение

ихх х Их иуу, п Е (4.5)

обладает частным решением

и — с1 (х2 — у2)п + с2, с1, с2 € Д.

Для того чтобы применить преобразование Эйлера—Дарбу к (4.5), нужно решить уравнение

Ъ»——ЪЪ + сЪ — 0, с € Д.

Решения последнего уравнения выражаются через функции Бесселя. Используя лемму 4, можно построить класс эквивалентных уравнений, частные решения которых выражаются через функции Бесселя.

Многомерное уравнение Дарбу

где Ди — п-мерный оператор Лапласа, при целом т эквивалентно волновому уравнению

Эквивалентность устанавливается последовательным применением преобразования Эйлера— Дарбу по переменной £.

Рассмотрим п-мерное стационарное уравнение Шредингера

Ди + С(х1. , хп)и — 0. (4.б)

и для каждой функции Gj справедливо представление

Gj = 2dXj (ln W(hi——hjj)) ,

где функции hj(xj) задаются формулами (4.3) и все вронскианы W(hj. , ) не равны

нулю. Тогда, действуя последовательно преобразованиями Эйлера—Дарбу по каждой переменной Xj, можно показать, что уравнение (4.6) эквивалентно n-мерному уравнению Лапласа.

Применение преобразований Эйлера—Дарбу к линейным уравнениям с частными производными позволяет существенно расширить списки уравнений [20], допускающих частные или общие решения.

[1] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

[2] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

[3] Olver P.J. Equivalence, Invariants and Symmetry. Cambridge University Press, 1995.

[4] Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[5] Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

[6] Эйлер Л. Интегральное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1958. Т. 3.

[7] Darboux G. Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. P.: Gauthier-Villars, 1915. Vol. 2.

[8] Matveev V.B., Salle M.A. Darboux trasformations and solitons. N. Y.: Springer-Verlag, 1991.

[9] Rogers C., Sohief W.K. Backlund and Darboux transformations: geometry and modern applications in soliton theory. Cambridge University Press, 2002.

[10] Berest Y., Veselov A. On the structure of singularities of intereble Schrodinger operators // Lett. Math. Phys. 2000. N 52. P. 103-111.

[11] Chalykh O.A., Oblomkov A.A. Harmonic oscillator and Darboux transformations in many dimensions // Phys. Lett. A. 2000. Vol. 267. P. 256-264.

[12] Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИ, 1939.

[13] Crum М.М. Associated Sturm-Liouville systems // Quart. J. Math. 1955. Vol. 6.P. 121-127.

[14] Eisenhart L.P. Transformations of surfaces. N.Y.: Chelsea, 1962.

[15] Гурса Э. Курс математического анализа. М.; Л.: ГТТИ, 1933. Т. 2. Ч. 2.

[16] Yurova A.A., Yurov A.V., Rudnev М. Darboux trasformation for classical acoustic spectral problem // Intern. J. Math. and Math. Sciences. 2003. Vol. 49. P. 3123-3142.

[17] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

[18] Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера— Пуассона—Дарбу // Докл. РАН. 2001. Т. 381, № 2. С. 176-179.

[19] Аксенов А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уранений Эйлера—Пуассона—Дарбу // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001. Т. 63, № 1. С. 15-20.

[20] Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Наука, 2001.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,

Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида

называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям

а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;

б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).

2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость .

3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная ( постоянная Липшица ), что для любых из и любого из справедливо неравенство

Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .

Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;

2) каково бы ни было начальное условие

можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .

Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,

Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая и , получим частное решение .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .

Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.

При и получим частное решение .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .