Теорема пифагора для квадратного уравнения 8 класс

8 класс. Алгебра и геометрия. Презентация к уроку: «Теорема Пифагора и квадратные уравнения»
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Данная презентация к уроку: «Теорема Пифагора и квадратные уравнения» в 8 классе. Данный урок имеет цель связать между собой две центральные и самые важные темы по алгебре и геометрии «Квадратные уравнения» и «Теорема Пифагора» в 8 классе. Межпредметные связи прослеживаются весь урок. Урок направлен на закрепление, повторение знаний по этим темам и имеет целью — развитие интереса к предмету.

Скачать:

Подписи к слайдам:

Теорема Пифагора и квадратные уравнения
Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии А. С. ПушкинаІ + bІ = cІ axІ + bxІ + c = 0
а
b
c
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Цели урока:1)отработка навыков применения теоремы Пифагора;2)применение знаний по алгебре на уроках геометрии.
Этапы урока:Исторический фактЕгипетский принцНачало началПомеряемся силамиКто быстрее Ключ ко всем наукам
Исторический факт
В честь древнегреческого учёного Пифагора одно из самых замечательных утверждений во всей геометрии до сих пор называют теоремой Пифагора Однако вавилоняне знали это утверждение более чем за тысячу лет до рождения Пифагора.Другая формулировка: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.Шутка: Пифагоровы штаны во все стороны равны.
Египетский принц
Я «египетский принц» — треугольник со сторонами: 3, 4 и 5. Сегодня на уроке вы должны:Ответить на вопросы по теории – по алгебре и геометрииБыстро и умело применять свои знанияВ конце урока ответить на два вопроса:Сколько моих подданных вы сегодня встретите(подобных мне и считая меня)?Что является ключом ко всем наукам?Получить каждый по три оценки за урок. Дерзайте!
5
3
4
Начало начал
Проверьте ответы:axІ + bx + c = 0Лист №1 1) D = bІ-4ac 2) X 1,2 =-b±√D ⁄2a 3) axІ+bx+c = a(x — x1)(x – x2) 4) x1 + x2 = -b ⁄a; x1x2=c ⁄a;5) xІ + px + q = 0; x1,2 = -p⁄2 ± √(p ⁄2)І-q;6) x1 + x2 = -p; x1 x2 =q7) (a + b)І = aІ +2ab + bІ; 8) (a – b)І = aІ — 2ab + bІ; Лист №2 1) с = √аІ +bІ; 2) a = √cІ — bІ; 3) b = √cІ — aІ; 4) h = √acbc ; 5) a = √acc;→ ac =aІ⁄c; 6) b = √bcc; → bc = bІ⁄c
1.Исправьте ошибки в формулах по алгебре – лист №1(5б — первым, 4б — вторым и т д и плюс по 1б за каждую исправленную ошибку минус 2б за новую )2.Допишите формулы по геометрии – лист №2(5б — первым, 4б — вторым и т д и плюс по 1б за каждуюисправленную ошибку и минус 2б за новую)
Померяемся силами
1задание для группы: Найти ххІ – 2х – 3 = 0 – 1 баллхІ + 4х – 5 = 0 – 1 балл Найти хУказать коэффициент подобия треугольников
х
х+2
10
— 5 баллов

5
3
4
7,5
12,5
10
2 — балла
Померяемся силами
2 задание для группы: Доказать, что уравнение не имеет корней: хІ — 3х + 6 = 0 – 1 балл хІ + 5х + 4 = 0 – 1 баллНайти у – 5 баллов Найти х – 3 балла
3
х
5
15
х+5
у
√х-4
√х+3
5
Померяемся силами
3 задание для группы: Найти а,b,h – 5 балловНайти а – 2 баллаНайти с – 2 балла
ac=4
bc=9
h
a
b
20
а
16
20
с
15
Кто быстрее?
А теперь пришла пора ответить на мои вопросы: сколько моих подданных вы сегодня встретили и что является ключом ко всем наукам? Кто не сумел сосчитать и догадаться – вот моя подсказка. Вот эти подобные треугольники были у вас на уроке: (3;4;5),(6;8;10),(7,5;10;12,5),(9;12;15),(12;16;20), (15;20;25).Их шесть.
5
5
а
b
h
A
B
C
D
H
K
a = 4, b = 122h – количество треугольников
Ответ
Ключ ко всем наукам
Итоги урока:Каждый сегодня получит оценки за работу на уроке.После проверки работ мы узнаем победителяКлюч ко всем наукам – математикаСпасибо за урок.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку «Теорема Пифагора»

Собственный ЭОР к уроку «Теорема Пифагора» 8 класс, учебник А.В.Погорелов.

Презентация к уроку «Теорема Пифагора»

Презентация к уроку по теме «Теорема Пифагора», разработанному с применением технологии развития критического мышления через чтение и письмо.

Презентация к уроку «Теорема Пифагора» с использованием интерактивной доски

презентация — сопровождение к уроку геометрии в 8 классе «Теорема Пифагора» с использованием возможностей иентерактивной доски при доказательстве теоремы, проверке обучающей самостоятельной рабо.

Презентация к уроку «Теорема Пифагора»

Урок по теме «Теорема Пифагора» 8 класс.

8 класс. Алгебра и геометрия. Презентация к уроку: «Теорема Пифагора и квадратные уравнения»

Данная презентация к уроку: «Теорема Пифагора и квадратные уравнения» в 8 классе. Данный урок имеет цель связать между собой две центральные и самые важные темы по алгебре и геометрии «Квадратные урав.

Презентация к уроку «Теорема Пифагора»

Презентация к уроку геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора».

Презентация к уроку «Теорема Пифагора»

Исторические факты, формулировка теоремы, доказательство, примеры решенных задач, вопросы для закрепления изученного.

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c 2 − b 2
• b = √c 2 − a 2
• c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

• если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
• если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
• если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

• Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

• Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Проведём отрезок A₁B₁.
• Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

• В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
• Таким образом получится:

• Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
• Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Вы узнаете, как доказать теорему, формула Пифагора и как решать задачи.

История теоремы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Теорема Пифагора, формула

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов () равна квадрату гипотенузы (). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула:

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

Построим на треугольнике квадраты ( синий , зеленый , красный )

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны – . Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Докажем, что .

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

1. Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия).
2. Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия).
3. Два катета соединяем гипотенузой “с”.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно, . А площадь квадрата в центре = , так как все 4 гипотенузы со стороной . Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Так как острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной . Мы знаем, что площадь квадрата со стороной – это будет квадрат его стороны. То есть . Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

1. Запишем: .
2. Далее смотрим, что площадь прямоугольного треугольника – это половина произведения его катетов. Поэтому дальше записываем:т
3. Также надо прибавить площадь квадрата, который находится в центре между треугольниками со стороной “с”. И теперь получим:

1. Раскрываем скобки и получаем:
2. Сокращаем . Получается:

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

ВАЖНО. Если находим гипотенузу, тогда складываем два катета, а затем ответ выводим из корня. При нахождении одного из катетов: из квадрата длины второго катета вычитаем квадрат длины гипотенузы и находим квадратный корень.

Примеры решения задач

Дано: прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5.

Найдите гипотенузу. Пока её обозначим “с”

Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы. В нашем случае – .

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Итак, , а . Катеты в сумме получают 41.

Тогда . То есть квадрат гипотенузы равен 41.

Квадрат числа 41 = 6,4.

Мы нашли гипотенузу.

Дано: прямоугольный треугольник, где гипотенуза = 12, один катет = 10

Найдите второй катет.

Обозначим неизвестный катет – b.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

, а

Находим

Если , тогда просто

Второй катет (b) равен 6,6.

Заключение

Итак, мы рассмотрели теорему Пифагора, смогли привести ее доказательство и привели несколько примеров задач и их решений.

Запомните раз и навсегда: квадраты гипотенузы равен суммы квадратов катетов: (это вся теорема Пифагора).

Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 3

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Комментарии

Спасибо большое за объяснение. В учебнике и учитель объясняет очень мало. Но требуют на оценку полное докозательство. Хоть и понимаю геометрию, но ваша статья только помогла.

Рады были помочь)

Даже теорему Пифагора не сумели доказать внятно и понятно. Галиматья, а не доказательство. Впрочем, такая же галиматья, как и все в интернете

Признаем, идеально не получилось. Мы старались, честно) Раз 5 переписывали статью. Видимо, нужно ещё раз