Теорема руше число корней уравнения

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Теория функций комплексного переменного (практика)

Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов

Интегралы вида $\int\limits_0^<2\pi>R(\cos,\sin)\,dx$

I. Интеграл вида \begin I=\int\limits_0^<2\pi>R(\cos,\sin)\,dx, \end где $R(u,v)$ — рациональная функция двух переменных, вычисляется с помощью подстановки $$z=e^<\mathbf i x>.$$ Тогда $$ \cos=\frac12\left(e^<\mathbf i x>+e^<-\mathbf i x>\right)=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right), $$ $$ \sin= \frac<1><2\mathbf i>\left(e^<\mathbf i x>-e^<-\mathbf i x>\right)=\dfrac<1><2\mathbf i>\left(z-\dfrac1z\right), $$ $$ dz=\mathbf ie^<\mathbf i x>dx=\mathbf i z dx,\quad\hbox<откуда>\quad dx=\dfrac<\mathbf i z>. $$ и вещественный интеграл переходит в комплексный. При изменении $x$ от $0$ до $2\pi$ комплексная переменная пробегает замкнутый контур — окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Окончательно интеграл принимает вид $$ I=\frac<1><\mathbf i>\oint\limits_<|z|=1>F\left(z+\frac1z,z-\frac1z\right) \frac\,. $$

Пример 1

Р е ш е н и е.
Положим $e^<\mathbf i x>=z$. При изменении $x$ от 0 до $2\pi$ переменная $z$ пробегает окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Выразим $$ \cos x=\frac<2z>, \quad \sin x=\frac<2\mathbf i z>, \quad dx=\frac<\mathbf i z>. $$ Тогда $$ I=\oint\limits_<|z|=1>\frac dz. $$

Корни знаменателя $$ z_1=(-2+\sqrt<3>)\mathbf i, \,\, z_2=(-2-\sqrt<3>)\mathbf i, \,\, z_3=0 $$ являются простыми полюсами. При этом $z_1$ и $z_3$ лежат внутри круга $|z| 0$.

Пример 2

Вычислить интеграл $ I=\int\limits_<-\infty>^\infty\frac.$

Р е ш е н и е.
Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю полуплоскость, а именно функция $$ f(z)=\frac1, $$ удовлетворяет всем условиям, относящимся к вычислению интегралов с помощью вычетов. Особыми точками функции в верхней полуплоскости являются точки $$ z_1=e^<\tfrac<\pi>4\mathbf i>,\quad z_2=e^<\tfrac<3\pi>4\mathbf i >, $$ причем обе эти точки

— полюсы 1-го порядка. Здесь вычеты в простых полюсах удобно найти по формуле: $$ \mboxf(z_0)=\frac<\varphi'(z_0)>. $$ $$ \mboxf(e^<\tfrac<\pi>4\mathbf i>)=\frac<1><4e^<\tfrac<3\pi>4\mathbf i>>= \frac<\sqrt<2>(-1-\mathbf i)><8>. $$ $$ \mboxf(e^<\tfrac<3\pi>4\mathbf i>)=\frac<1><4e^<\tfrac<9\pi>4\mathbf i>>= \frac<\sqrt<2>(1-\mathbf i)><8>. $$ Поэтому $$ I=2\pi \mathbf i\sum\limits_^2 \mboxf(z_k)=\frac<\pi\sqrt2>2. $$

Интегралы вида $\int\limits_<-\infty>^ <+\infty>R(x)\cos<\lambda x>\, dx,\,\, \int\limits_<-\infty>^ <+\infty>R(x)\sin<\lambda x>\, dx$

III. Несобственные интегралы вида \begin I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx, \,\, I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx, \end где $R(x)=P_m(x)/Q_n(x)$ — правильная рациональная дробь, не имеющая особых точек на действительной оси, вычисляются с помощью леммы Жордана.

Используя лемму Жордана, получим формулу для вычисления интегралов третьего вида: \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mbox R(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mboxR(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end где вычеты берутся во всех полюсах $z_k$ функции $R(z)e^<\mathbf i\lambda z>$, расположенных в верхней полуплоскости $\mboxz_k>0$.

Пример

Р е ш е н и е.
Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой Жордана, заметим, что в силу формулы Эйлера $$ I=\mboxI_1 =\mbox\int\limits_<-\infty>^\infty \frac> \,dx. $$

Аналитическое продолжение подынтегральной функции интеграла $I_1$ — функция $\dfrac>$ имеет в верхней полуплоскости единственную особую точку $z_1=\mathbf i a$, являющуюся простым полюсом. Поэтому по основной теореме о вычетах $$ I_1=2\pi \mathbf i \, \mbox\left(\frac>\Big|_ \right)=\frac\pie^ <-\alpha a>$$ и $$ I=\mboxI_1=\frac\pie^<-\alpha a>. $$

Теорема Руше

Пусть функции $f(z)$ и $\varphi(z)$ являются аналитическими в замкнутой области $D$, причем на границе $L$ этой области имеет место неравенство: $$|f(z)|>|\varphi(z)|, \,\, z\in L.$$ Тогда полное число нулей (с учетом их кратности) в $D$ функции $F(z)=f(z)+\varphi(z)$ равно полному числу нулей (с учетом их кратности) функции $f(z)$.

Пример 1

Найти число нулей функции $F(z)=z^8-4z^5+z^2-1$ в единичном круге.

Теорема руше число корней уравнения

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.