Теорема руше найти корней уравнения

Теорема руше найти корней уравнения

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Теорема руше найти корней уравнения

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Глава 6. Вычеты функций и их применение

Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах

Вычетом функции $f(z)$ относительно изолированной особой точки $z_0$ называется коэффициент $c_<-1>$ при $(z-z_0)^<-1>$ в разложении в ряд Лорана функции $f(z)$ в окрестности $z_0$. $$ \mboxf(z_0) = c_<-1>. $$

Вычетом функции $f(z)$ относительно изолированной особой точки $z_0$ называется интеграл $$ \mboxf(z_0) =\frac1<2\pi i>\oint\limits_L f(z)\,dz, $$ где $L$ — произвольный контур в кольце $0 r$, которое иногда называют окрестностью бесконечно удаленной точки, $$ f(z)=\sum\limits_<-\infty>^\infty c_kz^k=F_1(z)+F_2(z) =\sum\limits_^\infty c_kz^k +\sum\limits_^\infty\frac>. $$ В этом случае $F_1(z)$ называют главной частью, а $F_2(z)$ — правильной частью.

В зависимости от поведения функции $f(z)$ в окрестности $z=\infty$ введена следующая классификация:

— Особенность в точке $z=\infty$ устранимая, если все $c_k=0$, $k=1,2,\ldots$, т.е. если $f(z)=F_2(z)$ для $|z|>r$. В этом случае $$ \lim\limits_f(z)=c_0. $$ Очевидно, что $$ \frac1<2\pi \mathbf i >\oint\limits_f(z)\,dz=-c_<-1>, $$ где $L^-$ — произвольный контур, ориентированный по часовой стрелке, содержащий внутри себя окружность $|z|=r$.

Можно считать, что точка $z=\infty$ находится внутри контура $L^-$. Если двигаться по контуру $L^-$ по часовой стрелке, то точка $z=\infty$ остается слева.

Видим, что в случае, когда $z=\infty$ — устранимая особая точка, то вычет не обязательно равен нулю!

— Точка $z=\infty$ есть полюс порядка $m$, если $f(z)=\sum\limits_^m c_k z^k+F_2(z)$ и $c_m\ne0$. В этом случае, очевидно, $$ \lim\limits_f(z)=\infty. $$

$$ \oint\limits_f(z)\,dz=\sum\limits_^\infty c_ <-k>\oint\limits_\frac+\sum\limits_^m c_k \oint\limits_z^k\,dz= $$ $$ =-c_<-1>\int\limits_L\fracz=-2\pi\mathbf i c_<-1>, $$ потому, что $\displaystyle\oint\limits_z^k\,dz=-\oint\limits_L z^k\,dz=0$, когда $k\ne-1$;

— Точка $z=\infty$ является существенно особой точкой, если $f(z)=\sum\limits_^\infty c_kz^k+F_2(z)$ и имеется бесконечное число чисел $c_k$, не равных нулю. В данном случае функция из-за первого слагаемого не имеет предела при $z\to\infty$. $$ \oint\limits_f(z)\,dz=\sum\limits_^\infty c_k \oint\limits_z^k\,dz=-2\pi \mathbf i c_<-1>. $$

Вычетом функции $f(z)$ в бесконечно удаленной точке называется $$ \mboxf(\infty)=\frac1<2\pi \mathbf i >\oint\limits_f(z)\,dz, $$ где $L^-$ — произвольный замкнутый контур, ориентированный по часовой стрелке, принадлежащий множеству $|z|>r$ (где функция $f(z)$ аналитична).

Кроме того, если $f(z)=\sum\limits_^\infty c_kz^k$ — ряд Лорана функции во внешности окружности $|z|=r$, то $$ \mboxf(\infty)=-c_<-1>. $$

Теорема о сумме вычетов Пусть функция $f(z)$ аналитична на всей плоскости $z$ за исключением конечного числа изолированных особых точек $z_1,z_2,\dots,z_N$. Тогда сумма всех вычетов этой функции, включая вычет в бесконечно удаленной точке, равна нулю: $$ \sum\limits_^N\mboxf(z_k)+\mboxf(\infty)=0. $$

Р е ш е н и е.
Все особые точки $z_k=\sqrt[4]<1>$, $\sqrt[3]<-0,5>$ лежат в круге $|z|=2$. Вычисление вычетов в этих точках довольно затруднительно, поэтому воспользуемся формулой $$ I=2\pi i\sum\limits_^\infty \mboxf(z_k)=-2\pi i\mboxf(\infty). $$ Представим функцию в виде $$ \frac><4z^6\left(1+\cfrac1<2z^3>\right)^2z^ <12>\left(1-\cfrac1\right)^3>= $$ $$ =\frac4\left(1-\frac1<2z^3>+\frac1<4z^6>-\dots\right)^2 \left(1+\frac1+\frac1\right)^3=\frac4-\frac1 <4z>+\dots\ . $$

Тогда $\mboxf(\infty)=\dfrac14$ и интеграл равен $-2\pi i\mboxf(\infty)=-\dfrac<\pi i>2$.

О т в е т: $-\dfrac<\pi i>2$.

Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов

Некоторые определенные интегралы от функций вещественного переменного удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного переменного, что позволяет применить для вычисления этих интегралов основную теорему о вычетах. Часто удается достаточно просто получить ответ и в тех случаях, когда применение других методов анализа оказывается затруднительным.

I. Интеграл вида $I=\int\limits_0^<2\pi>R(\cos,\sin)\,dx,$

где $R(u,v)$ — рациональная функция двух переменных.

Подстановка $z=e^$ даст для $$ \begin \cos\theta=\dfrac12\left(e^+e^<-i\theta>\right) =\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right), \\ \sin\theta=\dfrac1<2i>\left(e^-e^<-i\theta>\right) =\dfrac<-i>2\left(z-\dfrac1z\right), \\ d\theta=\dfrac \end $$ и превратит вещественный интеграл в комплексный. При изменении $\theta$ от $0$ до $2\pi$ комплексная переменная пробегает замкнутый контур — окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Окончательно интеграл примет вид $$ I=\frac1i\oint\limits_<|z|=1>F\left(z+\frac1z,z-\frac1z\right) \frac\,. $$

Пример. Вычислить интеграл $$ \int\limits_0^<2\pi>\frac,\quad a>1. $$

Р е ш е н и е.
Положим $e^=z$. При изменении $x$ от 0 до $2\pi$ переменная $z$ пробегает окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Выразим $$ \cos x=\frac12\left(e^+e^<-ix>\right)=\frac<2z>, $$ и $$ dz=ie^dx=izdx,\quad\hbox<откуда>\quad dx=\frac. $$ Тогда $$ I=\oint\limits_<|z|=1>\frac<2z>+a\right)> =\frac2i\oint\limits_<|z|=1>\frac. $$

Корни знаменателя $z_1=-a+\sqrt$, $z_2=-a-\sqrt$ — простые полюсы, $|z_1| 0$.

Вычислить интеграл $ I=\int\limits_<-\infty>^\infty\frac.$

Р е ш е н и е.
Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю полуплоскость, а именно функция $$ f(z)=\frac1, $$ удовлетворяет всем условиям, относящимся к вычислению интегралов с помощью вычетов. Особыми точками функции в верхней полуплоскости являются точки $$ z_k=e^<\tfrac4(2k+1)>,\quad k=0,1, $$ причем обе эти точки — полюсы 1-го порядка. Поэтому $$ I=2\pi i\sum\limits_^1 \mboxf(z_k)=\frac<\pi\sqrt2>2. $$

III. Несобственные интегралы вида $I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx, \,\, I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx$,

где $R(x)=P_m(x)/Q_n(x)$ — правильная рациональная дробь, не имеющая особых точек на действительной оси. Тогда \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mboxR(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mboxR(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end где вычеты берутся во всех полюсах $z_k$ функции $R(z)$, расположенных в верхней полуплоскости $\mboxz>0$.

Интегралы вычисляются с помощью леммы Жордана:

Лемма Жордана

Пусть функция $f(z)$ аналитична в полуплоскости $\mboxz>0$, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и пусть $M(R)$ есть максимум модуля $f(z)$ на полуокружности $\gamma_=\: |z|=R, \mbox z >0 \>$.
Если $M(R)\to0$ при $R\to\infty$, то для любого действительного числа $\lambda>0$, то $$ \int\limits_<\gamma_R>f(z)e^<\mathbf i \lambda z>\,dz\to0\quad\hbox<при>\quad R\to\infty, $$

Для $\lambda 0,\ \alpha>0$.

Р е ш е н и е.
Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой Жордана, заметим, что в силу формулы Эйлера $$ I=\mboxI_1 =\mbox\int\limits_<-\infty>^\infty \frac> \,dx. $$

Аналитическое продолжение подынтегральной функции интеграла $I_1$ — функция $\dfrac>$ имеет в верхней полуплоскости единственную особую точку $z_1=ia$, являющуюся простым полюсом. Поэтому по основной теореме о вычетах $$ I_1=2\pi \mathbf i \mbox\left(\frac>\Big|_ \right)=\frac\pie^<-\alpha a>\quad\hbox<и>\quad I=\frac\pie^<-\alpha a>. $$

Логарифмический вычет. Принцип аргумента

Логарифмической производной функции $f(z)$ называется производная ее логарифма $\left(\ln \right)’= \frac$.

Пусть $z_0$ — нуль порядка $n$, $z_1$ — полюс порядка $p$. Запишем разложения в ряд Лорана логарифмической производной в окрестности нуля и полюса функции $f(z)$. $$ \left(\ln \right)’= \frac+b_1+b_2(z-z_0)+\dots \quad \Rightarrow $$ $n$-кратный нуль функции $f(z)$ является для логарифмической производной простым полюсом, причем вычет логарифмической производной в этой точке равен кратности нуля, то есть $n$. $$ \left(\ln \right)’= \frac<-p>+c_1+c_2(z-z_1)+\dots \quad \Rightarrow $$ $p$-кратный полюс функции $f(z)$ является для логарифмической производной простым полюсом, причем вычет логарифмической производной в этой точке равен порядку полюса, взятому с обратным знаком, то есть $-p$.

Логарифмическим вычетом функции $f(z)$ в точке $z=a$ называется вычет ее логарифмической производной $ \frac$ в этой точке, т.е. значение $$ \mbox\frac=\frac<1><2\pi \mathbf i>\oint\limits_ \fracdz, $$ где в качестве контура $L$ интегрирования можно взять любую окружность с центром в точке $z=a$, целиком лежащую в указанной проколотой окрестности этой точки.

Если $f(z)$ является аналитической функцией на замкнутом контуре $L$ и не имеет нулей на этом контуре, то значение $$ \mbox \frac=\frac<1><2\pi \mathbf i>\oint\limits_ \fracdz $$ называют логарифмическим вычетом функции $f(z)$ относительно контура $L$.

Теорема о логарифмическом вычете

Пусть непостоянная функция $f(z)$ аналитична всюду в односвязной области $D$ и на ее границе — кусочно-гладком контуре $L$, кроме, возможно, некоторого конечного числа полюсов. Пусть также функция имеет конечное число нулей, причем на контуре $L$ нет ни нулей, ни полюсов функции. Тогда $$ \mbox \frac=N-P, $$ где $N$ и $P$ — общее количество нулей и полюсов функции $f(z)$ в $D$, причем каждый нуль следует считать сколько раз, какова его кратность, а каждый полюс — каков его порядок.

Логарифмический вычет многочлена $P_n(z)$ степени $n$ относительно контура $L$, на котором нет нулей $P_n(z)$, равен числу нулей многочлена (с учетом их кратности) внутри контура.

Пусть непостоянная функция $f(z)$ аналитична всюду в односвязной области $D$ и на ее границе — кусочно-гладком контуре $L$, кроме, возможно, некоторого конечного числа полюсов. Пусть также функция имеет конечное число нулей, причем на контуре $L$ нет ни нулей, ни полюсов функции. Тогда приращение аргумента функции $f(z)$ при обходе в положительном направлении контура $L$ равно произведению $2\pi$ на разность числа нулей и полюсов функции $f(z)$, расположенных в области $D$, причем каждый нуль следует считать сколько раз, какова его кратность, а каждый полюс — каков его порядок. $$ \Delta_L\arg f(z)=2\pi(N-P), $$ $$ N=q_1+q_2+\ldots+q_m, \quad P=p_1+p_2+\ldots+p_k, $$ $q_i$ — кратность нуля $a_i$, $i=1,\ldots,m$, $p_j$ — кратность полюса $b_j$, $j=1,\ldots,k$.

Теорема Руше

Пусть функции $f(z)$ и $\varphi(z)$ являются аналитическими в замкнутой области $D$, причем на границе $C$ этой области имеет место неравенство: $|f(z)|_>|\varphi(z)|_$. Тогда полное число нулей (с учетом их кратности) в $D$ функции $F(z)=f(z)+\varphi(z)$ равно полному числу нулей (с учетом их кратности) функции $f(z)$.

Найти число нулей функции $F(z)=z^8-4z^5+z^2-1$ в единичном круге.

Пусть $f(z)=-4z^5$, $\varphi(z)=z^8+z^2-1$. Граница $C$ заданной области — единичный круг $|z|=1$.

Выполнены все условия теоремы Руше. Функция $f(z)$ имеет корень $z=0$ кратности $5$, лежащий в $|z| |\varphi(z)|. $$ Выполнены все условия теоремы Руше. Функция $f(z)$ в области $|z| tfkp/chapter6.txt · Последние изменения: 2021/05/04 15:25 — nvr