Теорема виета уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения высших степеней — это уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трём. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.

Наиболее известными схемами для решения являются:

• Формула Кардано, он подходит только для уравнений 3-ьей степени;
• Метод Феррари для уравнений 4-ой степени;
• Теорема Виета для степени больше двух;
• Теорема Безу;
• Схема Горнера.

Ниже рассмотрены основные методы решения уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами, справедливые для разных степеней.

Теорема Виета

Рассмотрим уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Данное уравнение обладает тремя корнями и для того чтобы его решить в общем виде, необходимо решить следующую систему:

Иначе эти системы уравнений также называют формулами Виета.

Решите уравнение: $x^3+x^2-4x-4=0$.

Решение:

Составим систему уравнений:

$\begin x_1+ x_2+x_3=-\frac<1> <1>\\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_3=-\frac<4><1>=-4 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3= -\frac<4><1>\\ \end$

Решив её, получим следующие корни:

Теорема Безу

Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида $a_0x^n + a_1x^+a_2x^+. +a_x+a_n=0$ с ненулевым свободным членом имеет некий корень $α$, принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.

Алгоритм при решении уравнения с использованием теоремы Безу следующий:

1. Найти и выписать все делители свободного члена.
2. Проверять эти делители до тех пор, пока не будет найден хотя бы один, являющийся корнем уравнения.
3. Разделить всё уравнение на $(x-α)$ и записать само уравнение как произведение $(x-α)$ и результата выполненного деления.
4. Решить полученное после разложения уравнение.

Готовые работы на аналогичную тему

Решение:

Делители члена не при переменной: $±1;±2;±3;±6$

Подставим $1$ в корень уравнения и получим, что наше равенство выполняется:

Следовательно, $x_1=1$ — один из корней уравнения. Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком:

Рисунок 1. Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:

Решаем полученное квадратное уравнение и получаем ещё 2 корня: $x_<2,3>=-3;-2$.

Схема Горнера

Схема Горнера состоит в том, чтобы также сначала найти какой-либо корень уравнения вида $a_0x^n + a_1x^+a_2x^+. +a_x+a_n=0$ через делители свободного члена.

После этого составляется специальная таблица с результатами деления на $(x-α)$, в которой каждый член зависим от предыдущего. Коэффициенты из данной таблицы используются как коэффициенты в полученном от деления частного многочлене, они вычисляются по формулам:

$b_0=a_0; b_1=αb_0+a_1; b_2=αb_1+a_2. b_= αb_+a_;b_n=αb_+a_n$.

Рисунок 2. Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Делители свободного члена — $±1;±2;±3;±6$

Запишем таблицу со коэффициентами:

Рисунок 3. Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда получаем, что многочлен, полученный от деления на $(x-α)$ при $α=1$, равен $x^2+5x+6$.Получается, что исходное уравнение принимает вид:

Корни же второго многочлена будут $x_<2,3>=-2;-3$.

Метод одновременного подбора по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене

Данный метод основан на следующем условии:

Несократимая дробь $\frac

$ будет корнем уравнения, если числитель этой дроби является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.

Алгоритм этого метода:

1. Поиск делителей свободного члена.
2. Поиск делителей коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
3. Составление дробей и подбор решения.

Решение:

Делители свободного члена: $±1; ±2; ±3; ±6$.

Делители коэффициента при старшем члене: $1; 2$.

Следовательно, как корни нужно проверить следующие значения: $1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;\frac<1><2>; -\frac<1><2>; \frac<3><2>; -\frac<3><2>$.

Подставив эти числа в уравнения, получим, что корнями уравнения являются $x_1=1;x_2= \frac<1><2>$.

Это значит, что многочлен можно разделить на $2(x-1)(x-\frac<1><2>)=2x^2-3x+1$. При выполнении деления получаем частное $x^2+10x+6$.

Приравниваем этот многочлен к нулю и находим его корни через дискриминант, они равны $x_<3,4>=-5±\sqrt<19>$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 14 03 2021

Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x₁ + x₂ + … + x_n) x n -1 + ( x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x n -2 + … +(-1) n x₁x₂ … x_n

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x₁ + x₂ + … + x_n= —

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n=

x₁x₂ … x_n= (-1) n

Например, для многочленов третей степени

x₁ + x₂ + x₃ = —

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =

x₁x₂x₃ = —

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_nданного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.

Достаточно положить в этом уравнении х 2 = y, следовательно,

найдём корни полученного квадратного уравнения

y_1,2 =

Чтобы найти сразу корни х_1,x_2,x_3,x₄ , заменим y на x и получим

x² =

х_1,2,3,4 = .

Если уравнение четвёртой степени имеет х₁, то имеет и корень х₂ = -х₁,

Если имеет х₃, то х₄ = — х₃. Сумма корней такого уравнения равна нулю.

Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:

х_1,2,3,4 = ,

х_1,2 =

х_3,4 =

Ответ: х_1,2 = ±2; х_1,2 =

2.7 Исследование биквадратных уравнений

Возьмем биквадратное уравнение

ax 4 + bx 2 + c = 0,

где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)

2.8 Формула Кардано

Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:

х =

Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.

Теорема Виета, формулы Виета

В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.

В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Формулировка и доказательство теоремы Виета

Формула корней квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 вида x 1 = — b + D 2 · a , x 2 = — b — D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c , устанавливает соотношения x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a . Это подтверждает и теорема Виета.

В квадратном уравнении a · x 2 + b · x + c = 0 , где x 1 и x 2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a , которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a , т. е. x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a .

Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны — b a и c a соответственно.

Составим сумму корней x 1 + x 2 = — b + D 2 · a + — b — D 2 · a . Приведем дроби к общему знаменателю — b + D 2 · a + — b — D 2 · a = — b + D + — b — D 2 · a . Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: — b + D + — b — D 2 · a = — b + D — b — D 2 · a = — 2 · b 2 · a . Сократим дробь на: 2 — b a = — b a .

Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.

Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.

Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x 1 · x 2 = — b + D 2 · a · — b — D 2 · a .

Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: — b + D · — b — D 4 · a 2 .

Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: — b + D · — b — D 4 · a 2 = — b 2 — D 2 4 · a 2 .

Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: — b 2 — D 2 4 · a 2 = b 2 — D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 · a · c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b 2 − 4 · a · c :

b 2 — D 4 · a 2 = b 2 — ( b 2 — 4 · a · c ) 4 · a 2

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Если сократить ее на 4 · a , то остается c a . Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:

x 1 + x 2 = — b + D 2 · a + — b — D 2 · a = — b + D + — b — D 2 · a = — 2 · b 2 · a = — b a , x 1 · x 2 = — b + D 2 · a · — b — D 2 · a = — b + D · — b — D 4 · a 2 = — b 2 — D 2 4 · a 2 = b 2 — D 4 · a 2 = = D = b 2 — 4 · a · c = b 2 — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D = 0 корень квадратного уравнения равен: — b 2 · a , тогда x 1 + x 2 = — b 2 · a + — b 2 · a = — b + ( — b ) 2 · a = — 2 · b 2 · a = — b a и x 1 · x 2 = — b 2 · a · — b 2 · a = — b · — b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , а так как D = 0 , то есть, b 2 — 4 · a · c = 0 , откуда b 2 = 4 · a · c , то b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x 2 + p · x + q = 0 , где старший коэффициент a равен 1 . В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a , отличное от нуля.

Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.

Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x 2 + p · x + q = 0 будет равна коэффициенту при x , который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q .

Теорема, обратная теореме Виета

Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x 1 и x 2 приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 будут справедливы соотношения x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q . Из этих соотношений x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q следует, что x 1 и x 2 – это корни квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 . Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 + x 2 = − p и x 1 · x 2 = q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Замена коэффициентов p и q на их выражение через x 1 и x 2 позволяет преобразовать уравнение x 2 + p · x + q = 0 в равносильное ему x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 .

Если в полученное уравнение подставить число x 1 вместо x , то мы получим равенство x 1 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство при любых x 1 и x 2 превращается в верное числовое равенство 0 = 0 , так как x 1 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 1 + x 1 · x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это значит, что x 1 – корень уравнения x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 , и что x 1 также является корнем равносильного ему уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Подстановка в уравнение x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 числа x 2 вместо x позволяет получить равенство x 2 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 2 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство можно считать верным, так как x 2 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 2 + x 1 · x 2 = x 2 2 − x 1 · x 2 − x 2 2 + x 1 · x 2 = 0 . Получается, что x 2 является корнем уравнения x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 , а значит, и уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

Примеры использования теоремы Виета

Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = a c .

Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.

Какая из пар чисел 1 ) x 1 = − 5 , x 2 = 3 , или 2 ) x 1 = 1 — 3 , x 2 = 3 + 3 , или 3 ) x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 — 7 2 является парой корней квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 ?

Решение

Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 . Это a = 4 , b = − 16 , c = 9 . В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна — b a , то есть, 16 4 = 4 , а произведение корней должно быть равно c a , то есть, 9 4 .

Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.

В первом случае x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2 . Это значение отлично от 4 , следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.

Во втором случае x 1 + x 2 = 1 — 3 + 3 + 3 = 4 . Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x 1 · x 2 = 1 — 3 · 3 + 3 = 3 + 3 — 3 · 3 — 3 = — 2 · 3 . Значение, которое мы получили, отлично от 9 4 . Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 — 7 2 = 4 и x 1 · x 2 = 2 + 7 2 · 2 — 7 2 = 2 2 — 7 2 2 = 4 — 7 4 = 16 4 — 7 4 = 9 4 . Выполняются оба условия, а это значит, что x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 — 7 2

Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.

Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

В качестве примера используем квадратное уравнение x 2 − 5 · x + 6 = 0 . Числа x 1 и x 2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x 1 + x 2 = 5 и x 1 · x 2 = 6 . Подберем такие числа. Это числа 2 и 3 , так как 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6 . Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a .

Рассмотрим квадратное уравнение 512 · x 2 − 509 · x − 3 = 0 . Необходимо найти корни данного уравнения.

Решение

Первым корнем уравнения является 1 , так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x 1 = 1 .

Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение x 1 · x 2 = c a . Получается, что 1 · x 2 = − 3 512 , откуда x 2 = — 3 512 .

Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и — 3 512 .

Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x 1 и x 2 . Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа − 11 и 23 .

Решение

Примем, что x 1 = − 11 и x 2 = 23 . Сумма и произведение данных чисел будут равны: x 1 + x 2 = 12 и x 1 · x 2 = − 253 . Это значит, что второй коэффициент — 12 , свободный член − 253.

Составляем уравнение: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Ответ: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 следующим образом:

• если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак « + » или « — » ;
• если квадратное уравнение имеет корни и если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет « + » , а второй « — » .

Оба этих утверждения являются следствием формулы x 1 · x 2 = q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.

Являются ли корни квадратного уравнения x 2 − 64 · x − 21 = 0 положительными?

Решение

По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x 1 · x 2 = − 21 . Это невозможно при положительных x 1 и x 2 .

Ответ: Нет

При каких значениях параметра r квадратное уравнение x 2 + ( r + 2 ) · x + r − 1 = 0 будет иметь два действительных корня с разными знаками.

Решение

Начнем с того, что найдем значения каких r , при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D = ( r + 2 ) 2 − 4 · 1 · ( r − 1 ) = r 2 + 4 · r + 4 − 4 · r + 4 = r 2 + 8 . Значение выражения r 2 + 8 положительно при любых действительных r , следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r . Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r .

Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r , при которых свободный член r − 1 отрицателен. Решим линейное неравенство r − 1 0 , получаем r 1 .

Ответ: при r 1 .

Формулы Виета

Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

Для алгебраического уравнения степени n вида a 0 · x n + a 1 · x n — 1 + . . . + a n — 1 · x + a n = 0 считается, что уравнение имеет n действительных корней x 1 , x 2 , … , x n , среди которых могут быть совпадающие:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n — 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n — 2 · x n — 1 · x n = — a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = ( — 1 ) n · a n a 0

Получить формулы Виета нам помогают:

• теорема о разложении многочлена на линейные множители;
• определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

Так, многочлен a 0 · x n + a 1 · x n — 1 + . . . + a n — 1 · x + a n и его разложение на линейные множители вида a 0 · ( x — x 1 ) · ( x — x 2 ) · . . . · ( x — x n ) равны.

Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n = 2 , мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x 1 + x 2 = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .

Формула Виета для кубического уравнения:
x 1 + x 2 + x 3 = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + x 2 · x 3 = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 = — a 3 a 0

Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.