Теорема виета вариант 1 найдите сумму корней уравнения

Проверочная работа по теореме Виета
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Данная разработка соержит проверочную работу по алгебре для 8 класса по теореме Виета

Скачать:

Предварительный просмотр:

Проверочная работа для 8 класса по теме: Теорема Виета.

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения: а) х 2 — 16х +28 =0; б) х 2 — 12х – 45 = 0; в) 3х 2 — 6х -7 = 0; г) 8х – 2х 2 +3 =0.
2. Запишите квадратное уравнение, корни которого равны: х 1 = 2, х 2 = 5.
3. Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения х 2 +17х – 38 = 0.
4. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения: а) х 2 +10х +17 = 0; б) 3у 2 – 23у + 21 = 0; в) х 2 + х +8 = 0.
5. Найдите подбором корни уравнения: а) у 2 + 8у +15 = 0; б) с 2 – 3с – 10 =0.
6. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого.

Проверочная работа для 8 класса по теме: Теорема Виета.

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения: а) х 2 — 17х +60 =0; б) х 2 + 3х – 40 = 0; в) 5х 2 +х -3 = 0; г) 4х 2 — 5х =0.
2. Запишите квадратное уравнение, корни которого равны: х 1 = — 1, х 2 = 3.
3. Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения 7х 2 — 11х – 6 = 0.
4. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения: а) х 2 -13х -11 = 0; б) 5у 2 + 17у — 93 = 0; в) 3х 2 — х – 3 = 0.
5. Найдите подбором корни уравнения: а) у 2 — 5у +6 = 0; б) с 2 – 8с – 9 =0.
6. Площадь прямоугольника 480дм 2 . Найдите его стороны, если периметр прямоугольника равен 94дм.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Сценарий урока по алгебре «Теорема Виета»

Данный урок является первым по теме “Теорема Виета”.Он проводится по методике развивающего обучения, основным требованием которой является то, что знания не предоставляются учителем в готовом ви.

Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о решении уравнений, организовать поисковую деятельно.

Квадратные уравнения. Теорема Виета

Обобщающий урок в форме игры «Звездный час».

Тема урока: Теорема Виета

Презентация к уроку.

Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме Виета

В данной публикации рассматривается метод быстрого решения квадратных уравнений общего вида. Дан алгоритм решения и метод краткости рассуждений. — Наличие своих технологических «находок».

Устная работа по теме:»Теорема Виета» в 8 классе.

Данная презентация предназначена для отработки навыков в быстром нахождении корней квадратного уравнения.

Самостоятельная работа по теме «Теорема Виета»

Самостоятельная работа составлена в двух вариантах. Задания ориентированы на учебник «Алгебра 8»,автор Ю.Н. Макарычев и др. Самостоятельная работа выполнена в виде карточек, удобных .

Тест по алгебре для 8 класса » Теорема Виета»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений:

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 110х + 216 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 12. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +5 x +2.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений: х 2 – 5х + 4= 0

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 106х + 693 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 7. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +10 x +8.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений:

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 110х + 216 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 12. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +5 x +2.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений: х 2 – 5х + 4= 0

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 106х + 693 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 7. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +10 x +8.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений:

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 110х + 216 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 12. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +5 x +2.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений: х 2 – 5х + 4= 0

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 106х + 693 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 7. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +10 x +8.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений:

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 110х + 216 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 12. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +5 x +2.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений: х 2 – 5х + 4= 0

3 . Решите уравнение, используя формулы половинного аргумента: х 2 + 106х + 693 = 0.

4. В уравнении х ₁ = 7. Найдите х ₂ и коэффициент p .

5 . Разложите на множители: 2 x 2 +10 x +8.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 395 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Алимов Ш.А. и др.

§ 29. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 10.02.2019
• 324
• 1

• 31.01.2019
• 363
• 0

• 30.01.2019
• 172
• 0

• 30.01.2019
• 178
• 3

• 30.01.2019
• 165
• 0

• 30.01.2019
• 213
• 0

• 30.01.2019
• 192
• 1

• 30.01.2019
• 141
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.02.2019 1183
• DOCX 69 кбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Колесникова Елена Андреевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 42743
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

• если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.