Теорему штейнера можно записать в виде уравнение

Теорема Штейнера или теорема параллельных осей для вычисления момента инерции

При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.

Что такое момент инерции?

До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:

Вам будет интересно: Анализ занятия воспитателя детского сада: пример, схема

Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними — I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:

Здесь r — это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.

Момент инерции и теорема Штейнера

Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:

IZ и IO — моменты инерции относительно оси Z и параллельной ей оси O, которая проходит через центр масс тела, l — расстояние между прямыми Z и O.

Теорема позволяет, зная величину IO, рассчитать любой другой момент IZ относительно оси, которая параллельна O.

Доказательство теоремы

Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции IO которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x2 + y2), тогда получаем интеграл:

IO = ∫m (r2*dm) = ∫m ( (x2+y2) *dm)

Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:

Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:

IZ = ∫m ( (x2+l2+2*x*l+y2)*dm) = ∫m ( (x2+y2)*dm) + 2*l*∫m (x*dm) + l2*∫mdm

Первое из этих слагаемых является величиной IO, третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l2*m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.

Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.

Проверка формулы Штейнера на примере стержня

Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.

Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции IO (ось проходит через центр масс) равен m*L2/12, а момент IZ (ось проходит через конец стержня) равен m*L2/3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент IZ:

IZ = IO + m*(L/2)2 = m*L2/12 + m*L2/4 = 4*m*L2/12 = m*L2/3

То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для IZ, что и в источнике.

Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.

Момент инерции и перпендикулярные оси

Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:

Здесь z, x, y — три взаимно перпендикулярные оси вращения.

Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.

Теорема Штейнера: объяснение, приложения, упражнения

Теорема Штейнера: объяснение, приложения, упражнения — Наука

Содержание:

В Теорема Штейнера, также известный как теорема о параллельных осях, позволяет оценить момент инерции вытянутого тела вокруг оси, параллельной другой оси, проходящей через центр масс объекта.

Он был открыт швейцарским математиком Якобом Штайнером (1796–1863) и утверждает следующее: пусть я_СМ момент инерции объекта относительно оси, проходящей через его центр масс CM и I_z момент инерции относительно другой параллельной ей оси.

Зная расстояние D, разделяющее обе оси, и массу M рассматриваемого тела, момент инерции относительно неизвестной оси равен:

Момент инерции показывает, насколько легко объект вращается вокруг определенной оси. Это зависит не только от массы тела, но и от того, как она распределена. По этой причине он также известен как инерция вращения, являясь его единицами в Международной системе Kg. м 2 .

Теорема показывает, что момент инерции я_z всегда больше момента инерции я_СМ в сумме, предоставленной Доктор медицины 2 .

Приложения

Поскольку объект способен вращаться вокруг множества осей, а в таблицах обычно указывается только момент инерции относительно оси, проходящей через центроид, теорема Штейнера упрощает расчет, когда необходимо вращать тела по осям. которые не соответствуют этому.

Например, дверь обычно вращается не вокруг оси, проходящей через ее центр масс, а вокруг боковой оси, к которой примыкают петли.

Зная момент инерции, можно вычислить кинетическую энергию, связанную с вращением вокруг указанной оси. да K кинетическая энергия, я момент инерции вокруг рассматриваемой оси и ω угловой скорости, выполняется следующее:

Это уравнение очень похоже на очень знакомую формулу кинетической энергии для объекта массы. M движется со скоростью v: K = ½ M.v 2 . И это то, что момент инерции или инерции вращения я играет во вращении ту же роль, что и масса M в переводе.

Доказательство теоремы Штейнера

Момент инерции протяженного объекта определяется как:

кудадм бесконечно малая часть массы и р это расстояние между дм и ось вращения z. На рисунке 2 эта ось проходит через центр масс CM, но он может быть любым.

Вокруг другой осиz ’, момент инерции равен:

Теперь согласно треугольнику, образованному векторами D, р Y р ‘ (см. рисунок 2 справа) есть векторная сумма:

р + р ‘ = D → р ‘ = D – р

Три вектора лежат в плоскости объекта, который может бытьху. Начало системы координат (0,0) выбирается в CM, чтобы облегчить последующие вычисления.

Таким образом, квадрат модуля вектора р ‘ это:

Теперь эта развертка подставляется в интеграл момента инерции I_zа также используется определение плотности dm = ρ.dV:

Термин M. D 2 которое появляется в теореме Штейнера, происходит от первого интеграла, второй — это момент инерции относительно оси, проходящей через CM.

С другой стороны, третий и четвертый интегралы имеют значение 0, так как по определению они составляют позицию CM, которая была выбрана в качестве начала системы координат (0,0).

Решенные упражнения

-Решенное упражнение 1

Прямоугольная дверь на рисунке 1 имеет массу 23 кг, ширину 1,30 и высоту 2,10 м. Определите момент инерции двери по отношению к оси, проходящей через петли, при условии, что дверь тонкая и однородная.

Решение

Из таблицы моментов инерции для прямоугольной пластины массы M и размеров к Y б, момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс, равен: I_СМ = (1/ 12)M(к 2 + б 2 ).

Предполагается однородный вентиль (приблизительное значение, поскольку вентиль на рисунке, вероятно, не является таким). В таком случае центр масс проходит через его геометрический центр. На рисунке 3 проведена ось, проходящая через центр масс и параллельная оси, проходящей через шарниры.

я_СМ = (1/12) x 23 кг x (1,30 2 +2.10 2 ) м 2 = 11,7 кг / м 2

Применяя теорему Штейнера для зеленой оси вращения:

Я = Я_СМ + MD 2 = 11,7 кг / м 2 + 23 кг x 0,652 м 2 = 21,4 кг.

-Решенное упражнение 2

Найдите момент инерции однородного тонкого стержня при его вращении вокруг оси, проходящей через один из его концов, см. Рисунок. Он больше или меньше момента инерции при вращении вокруг своего центра? Зачем?

Решение

Согласно таблице моментов инерции момент инерции я_СМ тонкого тестового прутка M и длина L это:я_СМ = (1/12) мл 2

И теорема Штейнера утверждает, что когда он вращается вокруг оси, проходящей через один конец D = L / 2, он остается:

Я = Я_СМ + MD 2 = (1/12) мл 2 + M (L / 2) 2 = (1/3) мл 2

Он больше, но не просто вдвое, а в 4 раза больше, так как другая половина стержня (не заштрихованная на рисунке) вращается, описывая больший радиус.

Влияние расстояния до оси вращения не линейное, а квадратичное. Масса, которая вдвое больше, чем другая, будет иметь момент инерции, пропорциональный (2D) 2 = 4D 2 .

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл. 313-340.
2. Государственный университет Джорджии. Вращательное движение. Получено с: Phys.nthu.edu.tw.
3. Теорема о параллельной оси. Получено с: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Рекс, А. 2011. Основы физики. Пирсон. 190-200.
5. Википедия. Теорема о параллельной оси. Получено с: en.wikipedia.org

Американский флаг: история и значение

Шизоаффективное расстройство: симптомы, причины, лечение

Теорема Штейнера — формулировка

Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле (1):

J= J₀ + md 2 (1)

Где в формуле принимаем соответственно величины: d – расстояние между осями ОО₁║О’O₁’;
J₀ – момент инерции тела, рассчитанный относительно оси, что проходит сквозь центр масс и будет определяться соотношением (2):

Вопрос	Какой формулировке отвечает теорема Штейнера?
Ответ	момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела IС относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями . Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O’O’, равен Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.

Дата добавления: 2016-01-30 ; просмотров: 7584 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ