Теоремы равносильности для логарифмических уравнений

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

С учетом того, что

-\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

0, \\ -x-31>0 \end\Leftrightarrow \begin -1

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Уравнение принимает вид:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

Итак, окончательный ответ:

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку

С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

Множество решений данного неравенства

Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат:

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

• Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
• Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
• В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

конспект урока «Равносильность уравнений (Логарифмические уравнения)»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

урок с использованием ИКТ, в рамках подготовки к ЕГЭ по математике

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок с использованием ИКТ в рамках подготовки к ЕГЭ по математике.

Тема: Равносильность уравнений. (Логарифмические уравнения) 11 класс.

1. продолжить изучение способов решения логарифмических уравнений, уделяя внимание этапам решения, характеристики преобразований, приводящих к нахождению корней;
2. развивать логическое мышление через приемы сравнения, умение классифицировать, акцентировать внимание на постановку вопроса в задании;
3. воспитывать ответственное отношение к учебному труду, дать рекомендации школьникам, собирающимся сдавать ЕГЭ.

компьютер, экран, обучающе — демонстрационная программа «Логарифмические уравнения».

I. Организационный момент. (перед началом урока для работы в группах разделить детей по 5-6 человек, а в начале урока учащиеся садятся за компьютеры,).

— Сегодняшний урок я хотела начать с вопроса: Бывает ли верно равенство 2=3? (заслушать высказывания учеников)

— На прошлом уроке я попросила вас написать свой вес на листочках, просмотрев их, я пришла к выводу, что в наше время 2 мальчика имеют тот же вес, что и 3 девочки…

— И в математике, оказывается можно встретить такое. Об этом вам расскажет_______________. (ученик подготовил «доказательство»).

«Доказать» это «равенство» можно следующим образом:

2 ,

(Ответ: ошибка заключается в неравносильном преобразовании при извлечении квадратного корня:

— Тема нашего урока «Равносильность уравнений» и сегодня мы рассмотрим только решение логарифмических уравнений и их преобразования, которые могут привести к неверному решению.

II. Актуализация знаний.

— Но сначала посмотрим, достаточно хорошо вы знаете определение логарифма и его свойства. Для этого предлагаю выполнить тест. (У каждого ученика бланк для ответов типа бланка для сдачи ЕГЭ, на выполнение отводится 3-5 мин. Проверку провести с помощью презентации.)

При выполнении заданий А1 – А5 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак » » в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1. Найдите значение выражения

1) 5 2) 3 7 3) 3 4)

1) 0 2) — 1 3) 1 4) 5

А3. Укажите значение выражения

1) 1 2) 3 3) 2 4) 24

А4. Найдите область определения функции .

А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

1) (0;5) 2) (5;15) 3) (15;25) 4) (25;100)

При выполнении заданий А1 – А5 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак «» в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1. Найдите значение выражения .

1) 1 2) 2 3) — 1 4) — 2

А3. Укажите значение выражения

А4. Найдите область определения функции .

А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

1) (1;30) 2) (30;50) 3) (50;100) 4) (100;200)

(после выполнения теста произвести проверку с помощью слайда презентации: вариант I: слайд 2, вариант II: слайд 3)

III. Систематизация теоретического материала.

— Итак, мы повторили определение и свойства логарифма. А теперь дайте определение равносильных уравнений, уравнения — следствия. Чем отличаются эти определения? Опишите схему решения любого уравнения. (технический этап, анализ решения, проверка) Совпадает ли множество корней последнего уравнения с множеством корней исходного уравнения?

Задание 1. ( слайд 4 )

— Можно ли сказать, что эти уравнения равносильны?

Что произошло с одним из корней первого уравнения?

Что можно сказать об области определения левой и правой частей свойств логарифмов ? ( слайд 5)

Задание 2. Решить уравнение (на сужение ОДЗ)

Задание 3. Решить уравнение

Какие преобразования в рассмотренных уравнениях приводят к потере корней?

— деление на выражение с переменной,

— формальное применение логарифмических формул.

Известны ли вам другие преобразования, приводящие к сужению ОДЗ?

— логарифмирование обеих частей уравнения,

— извлечение корня чётной степени.

Назовите преобразования, приводящие к расширению ОДЗ, появлению посторонних корней?

— освобождение от знаменателя, содержащего переменную величину,

— освобождение от знаков корней чётной степени,

Перечислите теоремы равносильности, которые гарантируют равносильность преобразований без дополнительных условий.

— перенос членов уравнения…,

— возведение в нечётную степень,

IV. Физминутка. (предложить группам сесть за столы)

Задание 4. (Работа в группах) Представьте, что решая некоторое уравнение, вы на каком-то шаге переходите от уравнения (1) к уравнению (2). Что произошло с корнями уравнения (1) при этом переходе?

Поставьте в колонке I знак «+», если при переходе от (1) к (2) ни один из корней (1) не потерялся, знак « — » — если потерялся;

в колонке II знак «+», если при переходе от (1) к (2) не появилось новых корней, знак « — » — если они появились;

в колонке III знак «+», если уравнения (1) и (2) равносильны, знак « — » — в противном случае.

IV. Решение заданий части С.

Задание 5. Решить уравнение

Решение. Можно заметить, что корень уравнения 1. Докажем, что других корней нет. Функция убывает на своей области определения, т.к. она является композицией убывающей линейной и возрастающей логарифмической функций. Функция возрастает на . Следовательно, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Абсцисса этой точки уже найдена. Получаем, что единственным корнем уравнения является х=1.

VI. Рефлексия. (Проверь своё внимание!). (слайд 10)

Логарифмическая «комедия 2>3». ( слайд 11 )

верно? (бесспорно правильно.)

— запишем в виде степени числа .

верно? (не внушает сомнения)

— прологарифмируем обе части по основанию 10:

2lg 3 lg

— сократив на lg имеем 2

— В чём ошибка этого доказательства? (при сокращении на lg необходимо изменить знак неравенства, т.к. lg

VI. Итог урока.
— Наш урок заканчивается. Что на нем было самым главным? Что узнали нового?

1. Найдите ОДЗ уравнения

Пустое множество. Т.к. система, определяющая ОДЗ, не имеет решений.

Решение. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому…

Корни первого уравнения числа -1 и 2. Решения системы содержатся среди этих чисел, поэтому достаточно проверить, являются ли они корнями второго уравнения. Подстановка показывает, что корнем второго уравнения яв. число -1.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Логарифмические уравнения МБОУ «Гимназия №1» с. Красногвардейское Равносильность уравнений.

Ответы к заданиям с выбором ответа А1. Найдите значение выражения 1) 5 2) 3 7 3) 3 4) А2. Вычислите 1) 0 2) — 1 3) 1 4) 5 А3. Укажите значение выражения 1) 1 2) 3 3) 2 4) 24 А4. Найдите область определения функции 1) 2) 3) 4) А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 1) (0;5) 2) (5;15) 3) (15;25) 4) (25;100) Вариант 1

Ответы к заданиям с выбором ответа А1. Найдите значение выражения 1) 10 2) 5 3) 4) 20 А2. Вычислите 1) 1 2) 2 3) — 1 4) — 2 А3. Укажите значение выражения 1) 2) 3) 3,5 4) 4 А4. Найдите область определения функции 1) 2) 3) 4) А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 1) (1;30) 2) (30;50) 3) (50;100) 4) (100;200) Вариант 2

Преобразование, приводящее к потере корней уравнения. Преобразование, не приводящее к потере корней уравнения. log 2 log log х=16. log 2 log log х=16 или х = — 16. Задание 1.

Решить уравнение Решение. используя свойство логарифмов получим: или Первая система решений не имеет, решение второй системы: X=1. Ответ: 1. По определению логарифма Задание 2.

Задание 3. Решит е уравнение Решение. Преобразуем уравнение с помощью свойств логарифма, учитывая, что В ответе запишите число корней уравнения. Перенесём все члены уравнения в левую часть и разложим на множители: Корнями этого уравнения являются числа 1; 0,2 и 0,04. С учётом области определения получаем ,что корнями уравнения являются числа 0,2 и 0,04. Ответ: 2.

Задание 4. Представьте, что решая некоторое уравнение, вы на каком-то шаге переходите от уравнения (1) к уравнению (2). Что произошло с корнями уравнения (1) при этом переходе? Поставьте в колонке I знак «+», если при переходе от (1) к (2) ни один из корней (1) не потерялся, знак « — » — если потерялся; в колонке II знак «+», если при переходе от (1) к (2) не появилось новых корней, знак « — » — если они появились; в колонке III знак «+», если уравнения (1) и (2) равносильны, знак « — » — в противном случае.

(1) (2) I II III 1. + + + 2. + — — 3. + + + 4. + — — 5. — + — 6. + — — 7. + + + 8. — + — Ответы

Проверь своё внимание! 1) 2 ) 4 ) 5 ) 3 )

Логарифмическая «комедия 2>3». верно ? , lg lg 2 lg 3 lg 2 > 3. 2 Мне нравится