Теории вероятностей и дифференциальным уравнениям

Теория вероятностей, формулы и примеры

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;

Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B₁,2 = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃. и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 -го, 2 -го и 5 -го порядков:

1 ) y ‘ + 1 = 0 ; 2 ) d 2 y d x 2 + y = x · sin x ; 3 ) y ( 5 ) + y ( 3 ) = a · y , α ∈ R

Уравнения в частных производных 2 -го порядка:

1 ) ∂ 2 u ∂ t 2 = v 2 · ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 , u = u ( x , y , z , t ) , v ∈ R ; 2 ) ∂ 2 u ∂ x 2 — ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , u = u ( x , y )

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n -ого порядка вида F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 или F x , y , d y d x , d 2 y d x 2 , . . . , d n y d x n = 0 , в которых Ф ( x , y ) = 0 — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f ( x ) .

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф ( x , y ) = 0 , которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х , который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) для всех х , при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Функции y = ∫ x d x или y = x 2 2 + 1 можно назвать решением дифференциального уравнения y ‘ = x .

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Функция y = x 3 3 является решением ДУ y ‘ = x 2 . Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y ‘ = x 3 3 = 1 3 · 3 x 2 = x 2 .

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y = x 3 3 + 1 . Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Общее решение дифференциального уравнения y ‘ = x 2 имеет вид y = ∫ x 2 d x или y = x 3 3 + C , где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y = x 3 3 + C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С = 0 и C = 1 .

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Для ДУ y ‘ = x 2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y ( 1 ) = 1 , будет y = x 3 3 + 2 3 . Действительно, y ‘ = x 3 3 + 2 3 ‘ = x 2 и y ( 1 ) = 1 3 3 + 2 3 = 1 .

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

задачи Коши;
задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х ;
краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f ( x 0 ) = f 0 ; f ‘ ( x 0 ) = f 1 ; f ‘ ‘ ( x 0 ) = f 2 ; . . . ; f ( n — 1 ) ( x 0 ) = f n — 1

где f 0 ; f 1 ; f 2 ; . . . ; f n — 1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x 0 и x 1 , которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f ( x 0 ) = f 0 , f ( x 1 ) = f 1 , где f 0 и f 1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n -ого порядка имеет вид:

f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

При этом коэффициенты f 0 ( x ) ; f 1 ( x ) ; f 2 ( x ) ; . . . ; f n ( x ) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x ) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f ( x ) ≡ 0 . Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f 0 ( x ) = f 0 ; f 1 ( x ) = f 1 ; f 2 ( x ) = f 2 ; . . . ; f n ( x ) = f n могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ≡ 0 , в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n -ой степени вида f n · k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 .

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятности

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

506.

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

527.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим — расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

558.

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

571.

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Коэффициент а0:

Определим коэффициенты аn:

Интегрируя по частям, получаем

Определим коэффициенты bn:

Интегрируя по частям, получаем

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

590.

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

611.

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид

Тогда при — решение данного уравнения.

При — уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

622.

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 4r = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 0, r2 = -4.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-4x, y2 = e0x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.

Следовательно, число α+βi=0+1i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

. Тогда

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

662.

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

691. На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.

Используем формулу Бернулли

Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле

где есть число сочетаний из п элементов по т.

По условию задачи возникновения пожара в каждом из складов в течение года равна р=0,03; тогда q=0,97; в данном случае п=5 и. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

При m=0

При m=1

При m=2

При m=3

При m=4

При m=5

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

716.

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: n=192, p=0,75, m=150.

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим

Ответ:

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение — s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=30 и b=40. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=36 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 34 до 38 см, составляет 0,383

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 18·0,2+22·0,3+23·0,4+26·0,1=3,6+6,6+9,2+2,6=22

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

507.

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

528.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд Примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

559.

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

572.

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Определим коэффициенты аn:

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

581.

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (первого) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Тогда

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

612.

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид — уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

623.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 –r-2 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -1, r2 = 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-1x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

663.

(1)

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.

Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,5. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,06; Р(А/Н2)=0,07. Полная вероятность попадания в цель Р(А)= 0,5*0,06+0,5*0,07=0,065

Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна

;

Ответ:

717.

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: n=225, p=0.8, m=165.

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(2,5)=0,0175. Подставив это значение в получим

Ответ:

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=54 и b=70. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=60 и d=8. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 52 до 68 см, составляет

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 78·0,2+80·0,3+84·0,1+85·0,4=15,6+24+8,4+34=82.

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 511-520 исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.

516.

Применяем интегральный признак Коши, для этого посчитаем соответствующий несобственный интеграл:

Следовательно, исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

537.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

548.

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь , тогда ,

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

561.

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Определим коэффициенты аn:

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 591-600 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

600.

Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию У и ее производную У’ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку У=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Если У=Uv, то Y’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид Или (1)

Так как искомая функция У представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию U так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию U так, чтобы имело место равенство (2)

При таком выборе функции U уравнение (1) примет вид (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно U и Х. Решим это уравнение:

(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для U, получим:. Тогда — общее решение данного уравнения.

Используем условие

Окончательно

601.

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию У. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция аргумента Х. Если У’=Р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных Р и Х. Решим это уравнение.

Применяем подстановку Р=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Р’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид

Подставив в уравнение получим

Тогда . Обратная подстановка

Определим численное значение С При указанных начальных условиях. Имеем . Теперь решаем уравнение первого порядка :

Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях. Имеем .

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

639.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 6r +9= 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3, r2 = -3.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

Окончательно,

Ответ:

672.

(1)

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

В соответствии с формулой Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.

Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,05; Р(Н2)=1-Р(Н1)=1-0,05=0,95. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,85; Р(А/Н2)=0,012. Полная вероятность попадания в цель

Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна

;

Ответ:

705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

Используем формулу Бернулли

Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность того, что при этом событие осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле где есть число сочетаний из n элементов по m.

По условию задачи вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, тогда р=0,5; тогда q=0,5;Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим

Б) не более двух девочек.

Ответ: а) 4 мальчика б) не более двух девочек

В задачах 721-730 дана вероятность Р появления события А в каждом из П независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее M1 раз и не более M2 раза.

724.

Так как вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна р=0,4, а число n=600 достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле

, где

Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу можно записать так:

По таблице находим Ф(1)=0,3413; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения, получим искомую вероятность:

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 24·0,2+26·0,2+28·0,5+30·0,1=4,8+5,2+14+3=27

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

510.

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

521.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

552.

Тогда ,

575. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов.

Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-1;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

584.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

615.

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

626.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2–4=0

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = -2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

666.

(1)

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

695. На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.

Вероятность того, что в течение года не будет инцидентов, связанных с пожарами , с выходом из строя электрооборудования ; прорывом трубопроводов .

По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам:

Ответ:

720.

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: .

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим

Ответ:

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=27 и b=37. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=35 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 33 до 37 см, составляет

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/teorija-differentsialnyh-uravnenij/

http://matica.org.ua/primery/primery/differentcialnye-uravneniia-riady-teoriia-veroiatnosti