• $p$ — объемная плотность стороннего электрозаряда;
• $j$ -плотность электрического тока (тока проводимости);
• $E$ считается напряженностью электрического поля;
• $H$ — напряженность магнитного поля;
• $D$ — будет электрической индукцией;
• $B$ — магнитной индукцией.

Почему теорию Максвелла так трудно понять?

Скромность не всегда добродетель

В 1865 году Джеймс Клерк Максвелл опубликовал свою статью “Динамическая теория электромагнитного поля» в «Философских трудах Королевского общества». Ему было тогда тридцать четыре года. Оглядываясь назад, мы можем заметить, что работа Максвелла была самым важным событием девятнадцатого века в истории физических наук. Если говорить в общем о естественных науках, то статья Максвелла была второй по значимости после «Происхождения видов» Дарвина. Но важность работ Максвелла не была очевидна для его современников. Более двадцати лет его теория электромагнетизма в основном игнорировалась. Физикам было трудно ее понять из-за обилия сложных уравнений. Математикам было трудно ее понять, потому что Максвелл использовал для объяснений физический язык. Этот труд был расценен как неясное предположение без должного количества экспериментальных доказательств. Физик Михаил Пупин в своей автобиографии «От иммигранта к изобретателю» описывает, как он путешествовал из Америки в Европу в 1883 году в поисках того, кто понимал Максвелла. Он отправился изучать теорию Максвелла, как рыцарь в поисках Святого Грааля.

Пупин сначала поступил в Кембридж с твердым намерением изучить теорию у самого Максвелла. Он не знал, что Максвелл умер четыре года назад. Узнав, что Максвелл умер, он остался в Кембридже и был назначен преподавателем колледжа. Но его наставник знал о теории Максвелла меньше, чем он сам, и был заинтересован только в том, чтобы научить Михаила решать математические задачи трипоса. Михаил Пупин был поражен, обнаружив, как он говорит, «как мало было физиков, которые уловили смысл теории, даже через двадцать лет после того, как она была сформулирована Максвеллом в 1865 году». В конце концов он бежал из Кембриджа в Берлин и поступил студентом к Герману фон Гельмгольцу. Гельмгольц понимал теорию и учил Пупина тому, что знал сам. Пупин вернулся в Нью-Йорк, стал профессором Колумбийского университета и обучал последующие поколения студентов, которые впоследствии распространили Евангелие Максвелла по всей Америке.

Открытка от Максвелла Питеру Тейту

Как случилось, что теория Максвелла была так широко проигнорирована? В конце концов, Максвелл не был похож на своего современника Грегора Менделя, монаха, работавшего в безвестном монастырском саду в Богемии. Максвелл был известным профессором, директором Кавендишской лаборатории в Кембридже, ведущей фигурой в британском научном сообществе. Свидетельством его высокого положения можно считать то, что он был президентом секции А (математические и физические науки) Британской ассоциации содействия развитию науки, когда ассоциация провела свое ежегодное собрание в Ливерпуле в 1870 году. Он выступил с президентской речью в Ливерпуле, которая была опубликована во втором томе недавно основанного журнала «Nature». Стиль его выступления показывает нам, почему его теорию не воспринимали всерьез. Можно было ожидать, что он воспользуется возможностью, предоставленной президентской платформой, чтобы объявить миру о важности открытий, которые он сделал пять лет назад. Он не сделал ничего подобного. Он был абсурдно и раздражающе скромен.

Максвелл в первую очередь объявил тему своего выступления — обзор последних достижений, которые были сделаны на границе между математикой и физикой. Затем он с большим энтузиазмом рассказал о вихревой теории молекул, недавно предложенной сэром Уильямом Томсоном (впоследствии ставшим лордом Кельвином).

Теория, которую сэр Уильям основал на великолепных гидродинамических теоремах Гельмгольца, ищет свойства молекул в кольцевых вихрях однородной несжимаемой жидкости без трения. Гельмгольц показал, что в идеальной жидкости такое кружащееся кольцо, если оно однажды возникло, будет продолжать кружиться вечно, всегда будет состоять из той же самой части жидкости, которая была сначала закручена, и никогда не может быть разрезана надвое какой-либо естественной причиной. Эти кольцевые вихри способны к таким разнообразным связям и узловатым самоинволюциям, что свойства различных узловатых вихрей должны быть столь же различны, как и свойства различных видов молекул.

И так далее. Максвелл объяснил, как древняя теория о том, что материя состоит из атомов, столкнулась с логическим парадоксом. С одной стороны, атомы должны были быть твердыми, непроницаемыми и неразрушимыми. С другой стороны, данные спектроскопии и химии показали, что атомы имеют внутреннюю структуру и находятся под влиянием внешних сил. Этот парадокс в течение многих лет блокировал прогресс в понимании природы материи. Теперь, наконец, вихревая теория молекул разрешила парадокс. Вихри в эфире мягкие и имеют внутреннюю структуру, и тем не менее, согласно Гельмгольцу, они индивидуальны и неразрушимы. Оставалось только вывести факты спектроскопии и химии из законов взаимодействия вихрей, предсказанных гидродинамикой идеальной жидкости. Максвелл считал эту вихревую теорию материи замечательным примером плодотворного взаимодействия математики и физики.

Неясно, верил ли Максвелл всерьез в то, что говорил о вихревой теории. Возможно, он хотел, чтобы его речь развлекала слушателей, а не просвещала их. У него было хитрое чувство юмора, и вполне возможно, что он хвалил теорию вихря, зная, что более проницательные члены аудитории поймут, что теория была шуткой. Только в конце своего выступления Максвелл кратко упомянул о своей теории электромагнетизма.

Другая теория электричества, которую я предпочитаю, отрицает действие на расстоянии и приписывает электрическое действие напряжениям и давлениям во всепроникающей среде, причем эти напряжения одинаковы по характеру с теми, которые известны инженерам, и среда идентична той, в которой предполагается распространение света.

Фраза «Другая теория электричества, которую я предпочитаю», кажется, намеренно скрывает тот факт, что это была его собственная теория. Неудивительно, что вихри Кельвина произвели на его слушателей большее впечатление, чем уравнения Максвелла.

Мораль этой истории заключается в том, что скромность не всегда является добродетелью. Максвелл и Мендель оба были чрезмерно скромны. Скромность Менделя задержала прогресс биологии на пятьдесят лет. Скромность Максвелла замедлила прогресс физики на двадцать лет. Для прогресса науки будет лучше, если люди, делающие великие открытия, не будут слишком скромны, чтобы трубить в свои собственные трубы. Если бы у Максвелла было такое же эго, как у Галилея или Ньютона, он бы позаботился о том, чтобы его работы не игнорировались. Максвелл был таким же великим ученым, как Ньютон, и гораздо более приятным человеком. Но, к сожалению, он не начал президентскую речь в Ливерпуле словами, подобными тем, которые Ньютон использовал, чтобы представить третий том своей Principia Mathematica: «. исходя из тех же принципов, я теперь демонстрирую структуру системы мира». Ньютон не называл свой закон всемирного тяготения «очередной теорией тяготения, которую я предпочитаю».

Теория Максвелла и квантовая механика

Помимо скромности Максвелла, были и другие причины, по которым его теорию было трудно понять. Он заменил ньютоновскую вселенную материальных объектов, взаимодействующих друг с другом на расстоянии, вселенной полей, простирающихся через пространство и взаимодействующих только локально с материальными объектами. Понятие поля было трудно понять, потому что поля неосязаемы. Ученые того времени, включая самого Максвелла, пытались представить поля как механические структуры, состоящие из множества маленьких колесиков и вихрей, простирающихся в пространстве. Эти структуры должны были переносить механические напряжения, которые электрические и магнитные поля передавали между электрическими зарядами и токами. Чтобы поля удовлетворяли уравнениям Максвелла, система колес и вихрей должна была быть чрезвычайно сложной.

Если попытаться визуализировать теорию Максвелла с помощью таких механических моделей, она выглядит как возврат к астрономии Птолемея с планетами, движущимися по циклам и эпициклам в небе. Это не похоже на изящную астрономию Ньютона. Уравнения Максвелла, записанные в неуклюжих обозначениях, которыми пользовался Максвелл, были пугающе сложными, а его механические модели — еще хуже. Для современников теория Максвелла была лишь одной из многих теорий электричества и магнетизма. Ее было трудно осмыслить, и, казалось, не было явного преимущества перед другими теориями, которые описывали электрические и магнитные силы в ньютоновском стиле как дальнодействие между зарядами и магнитами. Неудивительно, что мало кто из современников Максвелла прилагал усилия, чтобы изучить его теорию.

Теория Максвелла становится простой и понятной только тогда, когда вы отказываетесь мыслить в терминах механических моделей. Вместо того чтобы думать о механических объектах как о первичных, а об электромагнитных напряжениях как о вторичных следствиях, вы должны думать об электромагнитном поле как о первичном, а о механических силах как о вторичном конструкте. Мысль о том, что первичными составляющими Вселенной являются поля, не сразу пришла в голову физикам поколения Максвелла. Поля — это абстрактное понятие, далекое от привычного мира вещей и сил. Уравнения поля Максвелла являются уравнениями в частных производных. Они не могут быть выражены простыми словами, такими как закон движения Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение. Теория Максвелла должна была ждать следующего поколения физиков, Герца, Лоренца и Эйнштейна, чтобы раскрыть свою силу и прояснить свои концепции. Следующее поколение выросло с уравнениями Максвелла и чувствовало себя как дома во вселенной, построенной из полей. Первенство полей было так же естественно для Эйнштейна, как первенство механических структур — для Максвелла.

https://ddcolrs.wordpress.com/2018/01/17/maxwells-equations-from-20-to-4/

Современный взгляд на мир, возникший из теории Максвелла, — это мир с двумя слоями. Первый слой, слой фундаментальных составляющих мира, состоит из полей, удовлетворяющих простым линейным уравнениям. Второй слой, слой вещей, которые мы можем непосредственно потрогать и измерить, состоит из механических напряжений, энергий и сил. Эти два слоя связаны, потому что величины во втором слое являются квадратичными или билинейными комбинациями величин в первом слое. Чтобы вычислить энергии или напряжения, вы берете квадрат напряженности электрического поля или умножаете одну составляющую поля на другую. Двухслойная структура мира — основная причина, по которой теория Максвелла казалась загадочной и трудной. Объекты на первом уровне, объекты, которые действительно фундаментальны, являются абстракциями, не доступными непосредственно нашим чувствам. Объекты, которые мы можем чувствовать и осязать, находятся на втором слое, и их поведение лишь косвенно определяется уравнениями, действующими на первом слое. Двухслойная структура мира подразумевает, что основные процессы природы скрыты от нашего взгляда.

Теперь мы считаем само собой разумеющимся, что электрические и магнитные поля являются абстракциями, не сводимыми к механическим моделям. Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на единицы измерения электрического и магнитного полей. Условная единица напряженности электрического поля — квадратный корень из джоуля на кубический метр. Джоуль — это единица энергии, а метр — единица длины, но квадратный корень из джоуля — это не единица чего-то осязаемого. Мы не можем представить себе, как можно измерить непосредственно квадратный корень из джоуля. Единица измерения напряженности электрического поля — это математическая абстракция, выбранная таким образом, что квадрат напряженности поля равен плотности энергии, которую можно измерить с помощью реальных приборов. Единицей плотности энергии является джоуль на кубический метр, и поэтому мы говорим, что единицей напряженности поля является квадратный корень из джоуля на кубический метр. Это не означает, что напряженность электрического поля можно измерить с помощью квадратного корня калориметра. Это означает, что напряженность электрического поля — абстрактная величина, несоизмеримая с любыми величинами, которые мы можем измерить непосредственно.

Через шестьдесят лет после того, как Максвелл опубликовал свою теорию, Шредингер, Гейзенберг и Дирак изобрели квантовую механику. Квантовая механика была принята гораздо быстрее, чем теория Максвелла, потому что она сделала множество определенных предсказаний об атомных процессах и эксперименты показали, что все предсказания были правильными. Через год-два все поверили в квантовую механику как в практический инструмент для расчета основных процессов физики и химии. Природа, очевидно, подчинялась законам квантовой механики. Но значение квантовой механики оставалось спорным. Хотя квантовая механика была быстро принята, она не была быстро понята. Резкие расхождения во мнениях по поводу интерпретации квантовой механики сохраняются на протяжении семидесяти лет.

И почему их никто не понимал?

Прошло около тридцати лет после Максвелла, прежде чем его уравнения стали понятны всем. Для достижения согласованного понимания квантовой механики потребуется по меньшей мере вдвое больше времени. Мы все еще ведем страстные споры между сторонниками различных интерпретаций квантовой механики, Копенгагенской интерпретации, многомировой интерпретации, декогерентной интерпретации, интерпретаций скрытых переменных и многих других. Причина этих споров заключается в том, что различные интерпретаторы пытаются описать квантовый мир словами повседневного языка, а язык не подходит для этой цели. Повседневный язык описывает мир таким, каким его видят люди. Наше восприятие мира целиком связано с макроскопическими объектами, которые ведут себя в соответствии с правилами классической физики. Все понятия, которые появляются в нашем языке, являются классическими. Каждая из интерпретаций квантовой механики — это попытка описать квантовую механику на языке, в котором отсутствуют соответствующие понятия. Битвы между соперничающими интерпретациями продолжаются безостановочно, и конца им не видно.

Для понимания квантовой механики может оказаться полезным подчеркнуть сходство между квантовой механикой и теорией Максвелла. В двух отношениях теория Максвелла может дать ключ к тайнам квантовой механики.

Во-первых, попытки понять квантовую механику в терминах языка, основанного на классических понятиях, аналогичны попыткам понять теорию Максвелла в терминах механических моделей. Теория Максвелла стала изящной и понятной только после того, как были оставлены попытки представить электромагнитные поля с помощью механических моделей. Точно так же квантовая механика становится изящной и понятной только после того, как попытки описать ее словами прекращаются. Чтобы увидеть красоту теории Максвелла, необходимо отойти от механических моделей и погрузиться в абстрактный мир полей. Чтобы увидеть красоту квантовой механики, необходимо отойти от словесных описаний и погрузиться в абстрактный мир геометрии. Математика — это язык, на котором говорит природа. Язык математики делает мир максвелловских полей и мир квантовых процессов одинаково прозрачными.

Вторая связь между теорией Максвелла и квантовой механикой заключается в глубоком сходстве структуры. Подобно теории Максвелла, квантовая механика делит Вселенную на два слоя. Первый слой содержит волновые функции Шредингера, матрицы Гейзенберга и векторы состояний Дирака. Величины в первом слое подчиняются простым линейным уравнениям. Их поведение можно точно рассчитать. Но их нельзя наблюдать непосредственно. Второй слой содержит вероятности столкновений и превращений частиц, интенсивности и поляризации излучения, математические ожидания энергий и спинов частиц. Величины во втором слое могут быть непосредственно наблюдаемы, но не могут быть непосредственно вычислены. Они не подчиняются простым уравнениям. Это либо квадраты величин первого слоя, либо произведения одной величины первого слоя на другую. В квантовой механике, как и в теории Максвелла, Природа живет в абстрактном математическом мире первого слоя, но мы, люди, живем в конкретном механическом мире второго слоя. Мы можем описать Природу только абстрактным математическим языком, потому что наш вербальный язык находится дома только во втором слое.

Как и в случае с теорией Максвелла, абстрактное качество величин первого слоя проявляется в единицах, в которых они выражаются. Например, волновая функция Шредингера выражается в единице, которая является квадратным корнем из обратного кубического метра. Уже один этот факт ясно показывает, что волновая функция — это абстракция, навсегда скрытая от нашего взгляда. Никто никогда не измерит напрямую квадратный корень из кубического метра. Конечная важность теории Максвелла гораздо больше, чем ее непосредственные достижения в объяснении и объединении явлений электричества и магнетизма. Его конечная важность состоит в том, чтобы стать прототипом для всех великих триумфов физики двадцатого века. Это прототип теории относительности Эйнштейна, квантовой механики, теории обобщенной калибровочной инвариантности Янга-Миллса и единой теории полей и частиц.

Все эти теории основаны на концепции динамических полей, введенной Максвеллом в 1865 году. Все они имеют одинаковую двухслойную структуру, отделяющую мир простых динамических уравнений от мира человеческого наблюдения. Все они воплощают в себе то же качество математической абстракции, которое сделало теорию Максвелла трудной для понимания его современниками. Мы можем надеяться, что глубокое понимание теории Максвелла приведет к рассеиванию тумана непонимания, который все еще окружает интерпретацию квантовой механики. И мы можем надеяться, что глубокое понимание теории Максвелла поможет проложить путь к дальнейшим триумфам физики в XXI веке.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды: