Теория рядов и дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятности

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

506.

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

527.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим — расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

558.

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

571.

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Коэффициент а0:

Определим коэффициенты аn:

Интегрируя по частям, получаем

Определим коэффициенты bn:

Интегрируя по частям, получаем

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

590.

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

611.

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид

Тогда при — решение данного уравнения.

При — уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

622.

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 4r = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 0, r2 = -4.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-4x, y2 = e0x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.

Следовательно, число α+βi=0+1i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

. Тогда

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

662.

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

691. На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.

Используем формулу Бернулли

Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле

где есть число сочетаний из п элементов по т.

По условию задачи возникновения пожара в каждом из складов в течение года равна р=0,03; тогда q=0,97; в данном случае п=5 и. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

При m=0

При m=1

При m=2

При m=3

При m=4

При m=5

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

716.

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: n=192, p=0,75, m=150.

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим

Ответ:

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение — s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=30 и b=40. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=36 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 34 до 38 см, составляет 0,383

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 18·0,2+22·0,3+23·0,4+26·0,1=3,6+6,6+9,2+2,6=22

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

507.

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

528.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд Примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

559.

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

572.

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Определим коэффициенты аn:

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

581.

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (первого) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Тогда

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

612.

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид — уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

623.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 –r-2 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -1, r2 = 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-1x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

663.

(1)

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.

Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,5. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,06; Р(А/Н2)=0,07. Полная вероятность попадания в цель Р(А)= 0,5*0,06+0,5*0,07=0,065

Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна

;

Ответ:

717.

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: n=225, p=0.8, m=165.

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(2,5)=0,0175. Подставив это значение в получим

Ответ:

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=54 и b=70. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=60 и d=8. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 52 до 68 см, составляет

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 78·0,2+80·0,3+84·0,1+85·0,4=15,6+24+8,4+34=82.

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 511-520 исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.

516.

Применяем интегральный признак Коши, для этого посчитаем соответствующий несобственный интеграл:

Следовательно, исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

537.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

548.

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь , тогда ,

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

561.

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Определим коэффициенты аn:

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 591-600 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

600.

Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию У и ее производную У’ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку У=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Если У=Uv, то Y’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид Или (1)

Так как искомая функция У представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию U так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию U так, чтобы имело место равенство (2)

При таком выборе функции U уравнение (1) примет вид (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно U и Х. Решим это уравнение:

(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для U, получим:. Тогда — общее решение данного уравнения.

Используем условие

Окончательно

601.

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию У. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция аргумента Х. Если У’=Р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных Р и Х. Решим это уравнение.

Применяем подстановку Р=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Р’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид

Подставив в уравнение получим

Тогда . Обратная подстановка

Определим численное значение С При указанных начальных условиях. Имеем . Теперь решаем уравнение первого порядка :

Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях. Имеем .

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

639.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 6r +9= 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3, r2 = -3.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

Окончательно,

Ответ:

672.

(1)

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

В соответствии с формулой Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.

Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,05; Р(Н2)=1-Р(Н1)=1-0,05=0,95. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,85; Р(А/Н2)=0,012. Полная вероятность попадания в цель

Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна

;

Ответ:

705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

Используем формулу Бернулли

Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность того, что при этом событие осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле где есть число сочетаний из n элементов по m.

По условию задачи вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, тогда р=0,5; тогда q=0,5;Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим

Б) не более двух девочек.

Ответ: а) 4 мальчика б) не более двух девочек

В задачах 721-730 дана вероятность Р появления события А в каждом из П независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее M1 раз и не более M2 раза.

724.

Так как вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна р=0,4, а число n=600 достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле

, где

Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу можно записать так:

По таблице находим Ф(1)=0,3413; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения, получим искомую вероятность:

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 24·0,2+26·0,2+28·0,5+30·0,1=4,8+5,2+14+3=27

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

510.

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

521.

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

552.

Тогда ,

575. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов.

Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-1;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

584.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

615.

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

626.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2–4=0

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = -2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

666.

(1)

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

695. На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.

Вероятность того, что в течение года не будет инцидентов, связанных с пожарами , с выходом из строя электрооборудования ; прорывом трубопроводов .

По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам:

Ответ:

720.

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: .

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим

Ответ:

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=27 и b=37. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=35 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 33 до 37 см, составляет

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Основные понятия

Определение.Уравнение вида

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у’, у»,…, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y’+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y»+ρy’+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:

у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.

называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.

Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (2) следующим образом:

1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1≠К2), и общее решение имеет вид .

2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1=К2=К), и общее решение имеет вид:

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

5) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Определение числового ряда.

Сходимость ряда.

Бесконечным числовым рядом называется выражение u1+u2+. +un+. , (1)

содержащее неограниченное число членов, где

u1 , u2 , u3 , . , un , .

— бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.

Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда.

9,10) Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Особенно часто и эффективно степенные ряды используются для точного и приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя

x2y» + xy’ + (x2 — n2)y = 0,

где n — постоянная (необязательно целая), x — независимая переменная, а y = y(x) — искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.

Будем искать y в виде обобщенного степенного ряда

где p, ak — неизвестные постоянные, причем a0 ? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y’, y» в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений

ak[(p + k)2 — n2] + ak — 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,

p = ? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,

В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие значениям p = n и p = — n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1 , c2 — постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.

14)

Дискретной случайной величинойназывается такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:

— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

источники:

http://poisk-ru.ru/s28705t9.html

http://natalibrilenova.ru/obyiknovennyie-differentsialnyie-uravneniya/