Термические параметры состояния уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа — основные понятия, формулы и определение с примерами

Содержание:

Уравнение состояния идеального газа:

Уравнения Клапейрона и Менделеева — клапейрона; законы Шарля, Гей-Люссака, Бойля — Мариотта, Авогадро, Дальтона, — пожалуй, такого количества «именных» законов нет ни в одном разделе физики. за каждым из них — кропотливая работа в лабораториях, тщательные измерения, длительные аналитические размышления и точные расчеты. нам намного проще. Мы уже знаем основные положения теории, и «открыть» все вышеупомянутые законы нам не составит труда.

Уравнение состояния идеального газа

Давление газа полностью определяется его температурой и концентрацией молекул: p=nkT. Запишем данное уравнение в виде: pV = NkT. Если состав и масса газа известны, число молекул газа можно найти из соотношения

Произведение числа Авогадро на постоянную Больцмана k называют универсальной газовой постоянной (R): R=k 8,31 Дж/ (моль⋅К). Заменив в уравнении (*) k на R, получим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона):

Обратите внимание! Состояние данного газа некоторой массы однозначно определяется двумя его макроскопическими параметрами; третий параметр можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона.

Уравнение Клапейрона

С помощью уравнения Менделеева — Клапейрона можно установить связь между макроскопическими параметрами газа при его переходе из одного состояния в другое. Пусть газ, имеющий массу m и молярную массу М, переходит из состояния () в состояние () (рис. 30.1).

Для каждого состояния запишем уравнение Менделеева — Клапейрона: Разделив обе части первого уравнения на , а второго — на , получим: . Правые части этих уравнений равны; приравняв левые части, получим уравнение Клапейрона:

Для данного газа некоторой массы отношение произведения давления на объем к температуре газа является неизменным.

Изопроцессы

Процесс, при котором один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным, называют изопроцессом. Поскольку состояние газа характеризуется тремя макроскопическими параметрами, возможных изопроцессов тоже три: происходящий при неизменной температуре; происходящий при неизменном давлении; происходящий при неизменном объеме. Рассмотрим их.

Какой процесс называют изотермическим. Закон Бойля — Мариотта

Пузырек воздуха, поднимаясь со дна глубокого водоема, может увеличиться в объеме в несколько раз, при этом давление внутри пузырька падает, поскольку вследствие дополнительного гидростатического давления воды () давление на глубине больше атмосферного. Температура же внутри пузырька практически не изменяется. В данном случае имеем дело с процессом изотермического расширения.

Рис. 30.2. Изотермическое сжатие газа. Если медленно опускать поршень, температура газа под поршнем будет оставаться неизменной и равной температуре окружающей среды. Давление газа при этом будет увеличиваться

Изотермический процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменной температуре.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (T), то есть температура газа остается неизменной (рис. 30.2). Тогда согласно уравнению Клапейрона имеет место равенство p. После сокращения на T получим: .

Закон Бойля — Мариотта:

Для данного газа некоторой массы произведение давления газа на его объем остается постоянным, если температура газа не изменяется:

Графики изотермических процессов называют изотермами. Как следует из закона Бойля — Мариотта, при неизменной температуре давление газа данной массы обратно пропорционально его объему: . Эту зависимость в координатах p, V можно представить в виде гиперболы (рис. 30.3, а). Поскольку при изотермическом процессе температура газа не изменяется, в координатах p, T и V, T изотермы перпендикулярны оси температур (рис. 30.3, б, в).

Какой процесс называют изобарным. Закон Гей-Люссака

Изобарный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном давлении.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (), то есть давление газа остается неизменным (рис. 30.4). Тогда имеет место равенство . После сокращения на p получим:

Рис. 30.4. Изобарное расширение газа. Если газ находится под тяжелым поршнем массой M и площадью S, который может перемещаться практически без трения, то при увеличении температуры объем газа будет увеличиваться, а давление газа будет оставаться неизменным и равным p

Закон Гей-Люссака

Для данного газа некоторой массы отношение объема газа к температуре остается постоянным, если давление газа не изменяется:

Графики изобарных процессов называют изобарами. Как следует из закона Гей-Люссака, при неизменном давлении объем газа данной массы прямо пропорционален его температуре: V = const⋅T. График данной зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.5, а). По графику видно, что с приближением к абсолютному нулю объем идеального газа должен уменьшиться до нуля. Понятно, что это невозможно, поскольку реальные газы при низких температурах превращаются в жидкости. В координатах p, V и p, T изобары перпендикулярны оси давления (рис. 30.5, б, в).

Изохорный процесс. Закон Шарля

Если газовый баллон сильно нагреется на солнце, давление в нем повысится настолько, что баллон может взорваться. В данном случае имеем дело с изохорным нагреванием.

Изохорный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном объеме.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (), то есть объем газа не изменяется (рис. 30.6). В этом случае имеет место равенство . После сокращения на V получим:

Рис. 30.6. Изохорное нагревание газа. Если газ находится в цилиндре под закрепленным поршнем, то с увеличением температуры давление газа тоже будет увеличиваться. Опыт показывает, что в любой момент времени отношение давления газа к его температуре неизменно:

Закон Шарля

Для данного газа некоторой массы отношение давления газа к его температуре остается постоянным, если объем газа не изменяется:

Графики изохорных процессов называют изохорами. Из закона Шарля следует, что при неизменном объеме давление газа данной массы прямо пропорционально его температуре: p T = ⋅ const . График этой зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.7, а). В координатах p, V и V, T изохоры перпендикулярны оси объема (рис. 30.7, б, в).

Пример №1

В вертикальной цилиндрической емкости под легкоподвижным поршнем находится 2 моль гелия и 1 моль молекулярного водорода. Температуру смеси увеличили в 2 раза, и весь водород распался на атомы. Во сколько раз увеличился объем смеси газов?

Анализ физической проблемы. Смесь газов находится под легкоподвижным поршнем, поэтому давление смеси не изменяется:, но использовать закон Бойля — Мариотта нельзя, так как вследствие диссоциации (распада) молярная масса и число молей водорода увеличились в 2 раза:

Решение:

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа: pV = νRT. Запишем это уравнение для состояний смеси газов до и после распада: Разделив уравнение (2) на уравнение (1) и учитывая, что получим: где Найдем значение искомой величины:

Ответ: примерно в 2,7 раза.

Пример №2

На рис. 1 представлен график изменения состояния идеального газа неизменной массы в координатах V, T. Представьте график данного процесса в координатах p, V и p, T.

Решение:

1. Выясним, какой изопроцесс соответствует каждому участку графика (рис. 1).

Зная законы, которым подчиняются эти изопроцессы, определим, как изменяются макроскопические параметры газа. Участок 1–2: изотермическое расширение; T = const, V ↑, следовательно, по закону Бойля — Мариотта p ↓. Участок 2–3: изохорное нагревание; V = const, T ↑, следовательно, по закону Шарля p ↑ . Участок 3–1: изобарное охлаждение; p = const , T ↓, следовательно, по закону Гей-Люссака V ↓ .

2. Учитывая, что точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, точки 1 и 3 — на одной изобаре, а точки 2 и 3 на одной изохоре, и используя результаты анализа, построим график процесса в координатах p, V и p, T (рис. 2)

1. Из соотношения p=nkT можно получить ряд важных законов, большинство из которых установлены экспериментально.
2. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона): — универсальная газовая постоянная.
3. Уравнение Клапейрона:
4. Законы, которым подчиняются изопроцессы, то есть процессы, при которых один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным:

• Температура в физике
• Парообразование и конденсация
• Тепловое равновесие в физике
• Изопроцессы в физике
• Абсолютно упругие и неупругие столкновения тел
• Механизмы, работающие на основе правила моментов
• Идеальный газ в физике
• Уравнение МКТ идеального газа

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнение состояния идеального газа

Содержание:

Уравнение состояния идеального газа получило название «уравнение Менделеева-Клапейрона». Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений: закон Дальтона.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа — это p = nkT называется уравнением Менделеева Клапейрона и оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа давления, объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева Клапейрона называется ещё уравнением состояния идеального газа.

Термодинамические параметры газа

В предыдущих главах было показано, что при описании свойств газа можно пользоваться величинами, характеризующими молекулярный мир (микромир), например энергией молекулы, скоростью ее движения, массой и т. п. Числовые значения таких величин мы можем определять только с помощью расчета. Все такие величины принято называть микроскопическими (от греческого «микрос» — малый).

Однако для описания свойств газов можно пользоваться и такими величинами, числовые значения которых находят простым измерением с помощью приборов, например давлением, температурой и объемом газа. Значения таких величин определяются совместным действием огромного числа молекул, поэтому они называются макроскопическими (от греческого «макрос» — большой).

Соотношение (4.1): устанавливает связь между микроскопическими и макроскопическими величинами для газов. Поэтому формулу (4.1) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Макроскопические величины, однозначно характеризующие состояние газа, называют термодинамическими параметрами газа. Важнейшими термодинамическими параметрами газа являются его объем V, давление р и температура Т.

Если взять определенную массу газа т, то при постоянных р, V и Т газ будет находиться в равновесном состоянии. Когда происходят изменения этих параметров, то в газе протекает тот или иной процесс. Если этот процесс состоит из ряда непрерывно следующих друг за другом равновесных состояний газа, то он называется равновесным процессом. Равновесный процесс должен протекать достаточно медленно, так как при быстром изменении параметров давление и температура не могут иметь соответственно одинаковые значения во всем объеме газа. В этой главе рассматриваются только равновесные процессы в газах, при которых масса газа остается постоянной.

Когда процесс в газе заканчивается, то газ переходит в новое состояние, а его параметры приобретают новые постоянные числовые значения, вообще говоря, отличные от их значений в начале процесса. Если же при постоянной массе газа значения всех его параметров в начале и в конце процесса окажутся одинаковыми, то процесс называется круговым или замкнутым.

Соотношение между значениями тех или иных параметров в начале и конце процесса называется газовым законом. Газовый закон, выражающий связь между всеми тремя параметрами газа, называется объединенным газовым законом.

Отметим еще, что такого процесса в газе, при котором изменялся бы только один параметр газа, не существует, так как значения этих параметров взаимосвязаны. Примером сказанного является закон Шарля, выражающий связь между р и Т.

Объединенный газовый закон. Приведение объема газа к нормальным условиям

Связь между давлением, объемом и температурой определенной массы газа устанавливается с помощью соотношения (4.9):

Поскольку обозначает число молекул в единице объема газа, то , где N — общее число молекул, V — объем газа. Тогда получим

Так как при постоянной массе газа N остается неизменным, — постоянное число, т. е.

Поскольку значения р, V и Т в (5.2) относятся к одному и тому же состоянию газа, можно следующим образом сформулировать объединенный газовый закон: при постоянной массе газа произведение объема на давление, деленное на абсолютную температуру газа, есть величина одинаковая для всех состояний этой массы газа.

Следовательно, если числовые значения параметров в начале процесса, происходящего с какой-либо определенной массой газа, обозначить через р₁ , V₁ и Т₁, а их значения в конце процесса соответственно через р₂ , V₂ и Т₂, то

Формулы (5.2) и (5.3) представляют собой математическое выражение объединенного газового закона.

На практике иногда нужно установить, какой объем V₀ займет имеющаяся масса газа при нормальных условиях, т. е. при Т₀=273 К и при р₀=1,013 . 10 5 Па. Если значения параметров для этой массы газа в каком-либо произвольном состоянии, отличном от нормального, обозначить через р, V и Т, то на основании (5.3) получаем , или

Формула (5.4) позволяет приводить объем заданной массы газа к нормальным условиям.

Молярная газовая постоянная. Определение числового значения постоянной Больцмана

Формула (5.1) справедлива для любой массы газа, в которой содержится N молекул. Если применить эту формулу к одному молю какого-либо газа, то N нужно заменить постоянной Авогадро N_A, а V — объемом одного моля V_моль

Так как в одном моле любого газа содержится одно и то же число молекул N_A, то произведение имеет одинаковое значение для всех газов, т. е. не зависит от природы газа. Произведение обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Таким образом,

Числовое значение R можно найти, если применить (5.5) к состоянию одного моля газа при нормальных условиях, так как при этом м 3 /моль (§ 3.6). Действительно,

Это числовое значение R в СИ необходимо запомнить, так как им часто пользуются при расчетах и при решении задач.

Теперь легко найти числовое значение постоянной Больнмана . Из (5.6) получаем . Подставляя сюда числовые значения R и , вычисляем :

Уравнение Клапейрона — Менделеева. Плотность газа

Выясним, как будет выглядеть соотношение (5.1), если в него ввести молярную газовую постоянную R. Так как N — полное число молекул в массе газа т, а — число молекул в одном моле, то

где — число молей в массе газа /т. Поэтому

Поскольку , а равно массе газа т, деленной на массу одного моля газа , то получаем

Соотношение (5.7) называется уравнением Клапейрона — Менделеева или уравнением состояния для произвольной массы идеального газа. Для одного моля идеального газа уравнение Клапейрона — Менделеева принимает вид

С помощью формулы (5.7) легко выяснить, какими величинами определяется плотность газа. Так как , то из (5.7) имеем

Зависимость средней квадратичной скорости молекул газа от температуры

Выясним теперь, как можно с помощью вычислений находить среднюю квадратичную скорость движения молекул газа . Поскольку средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна (3/2) , то можно написать , откуда

Отметим, что под т в формуле (5.10) подразумевается масса одной молекулы в кг. Так как , получим . Поскольку а есть масса одного моля газа (§ 3.6), имеем

Наконец, из (5.9) следует, что , поэтому

Среднюю квадратичную скорость можно находить по любой из формул (5.10)—(5.12). Из функции Максвелла можно получить формулы для средней арифметической скорости и наивероятнейшей скорости. Средняя арифметическая скорость

Наконец, наивероятнейшую скорость вычисляют так:

(Используя график функции Максвелла (рис. 3.3), поясните, почему меньше , а меньше

Изохорический процесс

Процессы, при которых масса газа и один из его параметров остаются постоянными, называются изопроцессами (от греческого «изос» — равный, одинаковый). Поскольку имеется три параметра газа, существует три различных изопроцесса. Первый из них (изохорический) рассмотрен выше (§ 4.3). Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном объеме, называется изохорическим (от греческого «хора» — пространство). Графики для этого процесса называются изохорами (рис. 4.3).

Отметим, что к любому изопроцессу применим объединенный газовый закон и формулы (5.3), (5.7) и (5.8) с учетом того, что один из параметров остается постоянным. При изохорическом процессе постоянным остается объем V, поэтому формула (5.3) после сокращения на V принимает вид

Итак, изохорический процесс подчиняется закону Шарля: при постоянной-массе газа и неизменном объеме давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре. Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7):

Так как V, т, и R остаются постоянными, то из (5.7) следует, что р пропорционально Т. Отметим, что закон Шарля можно формулировать и так, как это было сделано в § 4.3.

Изобарический- процесс

Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном давлении, называется изобарическим (от греческого «барос» — тяжесть). Этот процесс был изучен французским физиком Л. Гей-Люссаком в 1802 г.

Поскольку при изобарическом процессе р постоянно, то после сокращения на р формула (5.3) принимает вид

Формула (5.16) является математическим выражением закона Гей-Люссака: при постоянной массе газа и неизменном давлении объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. (Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7): так как р, т, и R постоянны, то объем V пропорционален Т.)

На рис. 5.1 схематически изображен опыт Гей-Люссака. Колба с газом помещается в сосуд с водой и льдом.

В пробку вставлена трубка, изогнутая таким образом, что свободный конец ее горизонтален. Газ в колбе отделен от окружающего воздуха небольшим столбиком ртути в трубке. Температуру газа определяют по термометру, а объем — по положению столбика ртути. Для этого на трубке нанесены деления, соответствующие определенному внутреннему объему трубки (при градуировке трубки можно учесть и расширение сосуда при нагревании, но оно сравнительно мало’).

Сначала по положению столбика ртути 1 определяют — объем газа при 0°С. Затем газ нагревают (столбик ртути перемещается в положение 2), в процессе нагревания записывают значения объема и температуры и строят график, который называется изобарой.

Оказывается, что изобара представляет собой прямую линию (рис. 5.2, а), которая пересекается с осью абсцисс в точке А.

Из подобия треугольников на рис. 5.2, а следует

Обозначив через , получим

Здесь — коэффициент объемного расширения газа (гл. 13).

Если повторять этот опыт для разных газов или для разных масс газа, то все графики будут пересекаться в точке А, соответствующей t=—273°С (рис. 5.2, б), т. е. коэффициент одинаков для всех газов. Это означает, что расширение газа при изобарическом процессе не зависит от его природы.

Отметим, что для газов коэффициенты и в формулах (4.2а) и (5.17) численно одинаковы, поэтому обычно пользуются одним .

Изотермический процесс

Процесс в газе, который происходит при постоянной температуре, называется изотермическим.

Изотермический процесс в газе был изучен английским ученым Р. Бойлем и французским ученым Э. Мариоттом. Установленная ими опытным путем связь получается непосредственно из формулы (5.3) после сокращения на Т:

Формула (5.18) является математическим выражением закона Бойля — Мариотта: при постоянной массе газа и неизменной температуре давление газа обратно пропорционально его объему. Иначе говоря, в этих условиях произведение объема газа на соответствующее давление есть величина постоянная:

Соотношение (5.19) можно получить и из (5.7) или (5.8), так как при постоянном Г справа в формулах (5.7) и (5.8) стоит постоянная величина. График зависимости р от V при изотермическом процессе в газе представляет собой гиперболу и называется изотермой. На рис. 5.3 изображены три изотермы для одной и той же массы газа, но при разных температурах Т.

Отметим еще, что из формулы (5.9) непосредственно вытекает, что при изотермическом процессе плотность газа изменяется прямо пропорционально давлению:

(Подумайте, как проверить закон Бойля — Мариотта на опыте.)

Внутренняя энергия идеального газа

Как отмечалось, силы взаимодействия молекул в идеальном газе отсутствуют. Это означает, что молекулярно-потенциальной энергии у идеального газа нет. Кроме того, атомы идеального газа представляют собой материальные точки, т. е. не имеют внутренней структуры, а значит, не имеют и энергии, связанной с движением и взаимодействием частиц внутри атома. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа представляет собой только сумму знамений кинетической энергии хаотического движения всех его молекул:

Поскольку у материальной точки вращательного движения быть не может, то у одноатомных газов (молекула состоит из одного атома) молекулы обладают только поступательным движением. Так как среднее значение энергии поступательного движения молекул определяется соотношением(4.8): , то внутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа выразится формулой , где — постоянная Авогадро. Если учесть, что , то получим:

Для произвольной массы одноатомного идеального газа имеем

Если молекула газа состоит из двух жестко связанных атомов (двухатомный газ), то молекулы при хаотическом движении приобретают еще и вращательное движение, которое происходит вокруг двух взаимно перпендикулярных осей. Поэтому при одинаковой температуре внутренняя энергия двухатомного газа больше, чем одноатомного, и выражается формулой

Наконец, внутренняя энергия многоатомного газа (молекула содержит три или больше атомов) в два раза больше, чем у одно-атомного при той же температуре:

поскольку вращение молекулы вокруг трех взаимно перпендикулярных осей вносит в энергию теплового движения такой же вклад, как поступательное движение молекулы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Отметим, что формулы (5.23) и (5.24) теряют силу для реальных газов при высоких температурах, так как при этом в молекулах возникают еще колебания атомов, что ведет к увеличению внутренней энергии газа. (Почему это не относится к формуле (5.22)?)

Работа газа при изменении его объема

Физический смысл молярной газовой постоянной. Опыт показывает, что сжатый газ в процессе своего расширения может выполнять работу. Приборы и агрегаты, действия которых основаны на этом свойстве газа, называют пневматическими. На этом принципе действуют пневматические молотки, механизмы для закрывания и открывания дверей на транспорте и т. д.

Представим себе цилиндр с подвижным поршнем, заполненный газом (рис. 5.4).

Пока давление газа внутри цилиндра и окружающего наружного воздуха одинаковы, поршень неподвижен. Пусть при этом температура газа и окружающей среды равна а давление равно р.

Будем теперь медленно нагревать газ в цилиндре до температуры . Газ при этом начинает изобарически расширяться (внешнее давление р остается постоянным), и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние . При этом газ совершит работу против внешней силы. Сила F, совершающая эту работу, будет равна рS, где S — площадь сечения цилиндра. Из механики известно, что работа выражается формулой , или . Так как есть приращение объема газа в процессе его изобарического нагревания от до , имеем

Нетрудно сообразить, что при изохорическом процессе работа газа равна нулю, так как никакого изменения объема, занятого газом, в этом случае не происходит. Вообще следует помнить, что газ выполняет работу только в процессе изменения своего объема, т. е. при . Отметим, что при расширении газа работа газа положительна; при сжатии газа положительную работу выполняют внешние силы, а работа газа в этом случае отрицательна.

Выясним, как можно определить работу газа по графику зависимости р от V в том или ином газовом процессе. При изобарическом процессе график зависимости р от V представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, так как р постоянно. Из рис. 5.5 видно, что работа газа в этом случае численно равна заштрихованной площади.

Выясним, как найти работу газа при изотермическом процессе. На рис. 5.6 изображена изотерма идеального газа. При таком процессе газ выполняет работу, так как в этом случае отлично от нуля. Формулу (5.25) здесь применять нельзя, так как она верна при постоянном давлении р, а в изотермической процессе р изменяется. Однако можно взять такое малое приращение объема , при котором изменением давления можно пренебречь. Тогда приближенно можно считать, что при увеличении объема газа на давление остается постоянным. Работу при этом можно вычислять по формуле . На рис. 5.6 она выражается заштрихованной площадью.

Разбивая интервал на множество интервалов , настолько малых, что работу на каждом из них можно вычислять по формуле , полную работу газа найдем как сумму элементарных работ . Это означает, что работа газа будет равна сумме площадей, подобных заштрихованной площади на рис. 5.6. Следовательно, работа газа при изотермическом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами и , отрезком оси абсцисс и графиком зависимости р от V.

Можно строго доказать, что работа газа при любом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами, отрезком оси абсцисс и графиком того процесса в координатах V и р.

Выясним теперь физический смысл молярной газовой постоянной R. Применяя формулу (5.25) к одному молю идеального газа, получим

Но из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.8) для одного моля можно записать для двух состояний газа:

Подставляя это выражение в (5.26), будем иметь , или

Из (5.27) следует, что молярная газовая постоянная численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при его изобарическом нагревании на один кельвин.

Из соотношения видно, что постоянная Больцмана показывает, сколько работы в среднем приходится на одну молекулу идеального газа при изобарическом нагревании на один кельвин.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Основные уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Ideaalse gaasi molekulaar-kineetilise teooria põhivõrandid

1-5. Основные уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Ideaalse gaasi molekulaar-kineetilise teooria põhivõrandid

Под идеальным газом понимают газ, который состоит из эластичных молекул, между которыми отсутствуют силы притяжения и отталкивания. Объем самих молекул считается пренебрежительно малым и молекулы рассматриваются как материальные точки.

В идеальном газе каждая газовая молекула движется прямолинейно до тех пор, пока ни сталкивается с соседней молекулой или поверхностью, ограничивающей газ. Столкновения молекул с поверхностью, ограничивающей объем газа ( или стенкой сосуда, куда заключен газ), являются причиной возниковения давления. По закону Паскаля обусловленное непрерывным тепловым движением молекул количество столкновений в единицу времени и обусловленное этими столкновениями давление распределяются по поверхности равномерно.

В сверхразряженном состоянии ((p→ 0 или v →∞) любой газ соответствует модели идеального газа. В этом случае влияние межмолекулярных сил и размеры молекул в сравненни с расстоянием между ними (молекулами) становятся изчезающе малыми.

Из молекулярно-кинетической теории идеальных газов вытекает, что давление газа на стенки сосуда ( или поверхности, ограничивающие газ) равно 2/3 средней кинетической энергии молекулы и количеству молекул в единице объема.

В соответствии с этим

где n – количество молекул в единице объема

m – масса молекулы газа

w2 – среднеквадратичная скорость молекулы газа.

mw2/2 — средняя кинетическая энергия газовой молекулы.

Это выражение связывает между собой молекулярные величины ( массу и скорость) с давлением газа как со статистической величиной и является основным выражением молеклярно-кинетической теории идеальных газов.

Второе выражение молекулярно-кинетической теории

k – постоянная Больцмана k= 1,38 ∙10-23 J/K, устанавливает соотношение между средней киинетической энергией и температурой молекулы.

Решая выражения (1-6) и (1-8) совместно и умножая на объем газа V получим

В объеме V общее количество молекул газа составляет N= nV

Выражение на основе молекулярно-кинетической теории газов, которое соединяет между собой термические параметры состояния:

Из этого соотношения видно, что равные объемы любых идеальных газов при одинаковых давлении и температуре содержат равное количество молекул.

µ — молярная масса газа (moolmass) , kg/kmol

ρ – плотность (tihedus), kg/m3

В соответствии с законом Авогадро :

µ/ ρ = v µ = const — из этой формулы следует, что при равных давлении p и температуры Т мольные объемы газов равны.

v µ = Vµ ; m3/ kmol — Мольный объем

Мольный объём при нормальных условиях ( давлении 760 mm Hg или 101325 Pa и температуре 0оС) :

Из закона Авогадро следует, что в одном моле любого идеального газа содержится одинаковое количество молекул:

Число Авогадро NA = 6,0228 ∙10 23 molekuli /mool

n = NA/ Vµ = NA/ v µ ( 1-12)

1-6. Ideaalse gaasi termiline olekuvõrrand

Термическое уравнение состояния идеального газа

Термическим уравнением состояния термодинамического тела называется уравнение, которое связывает между собой термические параметры состояния системы, находящейся в термодинамическом равновесии. В общем случае это

Из выражения pV=kNT (закон Авогадро) и формулы n = NA/ Vµ = NA/ v∙ µ следует, что

pVµ = µR0T или pVμ = RT Уравнение Менделеева или универсальное термическое уравнение для идеального газа.

µR0 = R — универсальная газовая постоянная, J/ mol∙K ( величина, имеющая одно и то же значение для всех идеальных газов, т. к. в соответствии с законом Авогадро объем любого идеального газа при одинаковом давлении и температуре один и тот же).

µR0 = R = pVμ/T = (101325 Pa ∙ 22,4136∙10-3 m3/mol) /273,15 K = 8,314 J/mol∙K

Разделив выражение pVµ = 8314 T (Уравнение Менделеева) на молярную массу µ, получим уравнение состояния идеального газа на 1 кг газа или

Уравнение Клапейрона ( термическое уравнение состояния идеального газа), которое связывает термические параметры состояния следующим образом:

R – универсальная (молярная) газовая постоянная R= 8, 314 J/ (mol∙K) = 8314 J/ (kmol∙K)

Vμ — мольный объем газа, m3

Умножая уравнение Клапейрона (1-19) pv = R0T на массу газа М, получим термическое уравнение на килограмм массы газа:

Основные термодинамические процессы (Termodünaamilised põhiprotsessid )

Соотношение параметров состояния

l = RT ln v2/v1 = RT ln p1/p2

l= (p1v1 – p2v2)/ (k -1) = R (T1 –T2) / (k-1)

l= (p1v1 – p2v2)/ (n -1) = R (T1 –T2) / (n-1)

Изменение удельной внутренней энергии и уделной энтальпии идеального газа, которое происходит в термодинамическом процессе при постоянной удельной теплоёмкости в kJ/kg:

и ∆h = cp ( T2 — T1

Показатель политропы определяется:

n = ln (p2/p1) / ln (v1/v2) или (n -1)/n = ln (T2/T1) / ln (p2/p1)

или n -1 = ln (v1/v2) / ln (T2/T1) (3.3)

Смеси идеальных газов. Ideaalgaaside segud.

Зачастую в теплотехнике имеют дело со смесями различных газов (воздух, газы горения, газообразное топливо). Для характеристики газовых смесей используют два вида величин:

1. величины, которые характеризуют отдельные компоненты газовой смеси;

2. величины, которые харктеризуют газовую смесь в целом.

Допустим, что в объеме V находится смесь идеальных газов в состоянии термического равновесия. Обозначим количество молекул компонентов газовой смеси соответственно N1, N2, . Nn. Тогда на основании закона Авогадро можно записать:

pV = ( N1 +N2+. + Nn) kT = NkT ( 1 – 23)

Следовательно, давление газа (общее давление) будет:

p = N1kT /V + N2kT/ V + . + NnkT/ V

Из последнего выражения следует, что молекулы каждого газового компонента в газовой смеси имеют свое давление, которое не зависит от давления, создаваемого другой группой молекул (другого газового компонента). Это обусловлено отсутствием межмолекулярных сил в идеальном газе, и по этой причине каждый газовый компонент ведёт себя независимо от других газовых компонентов.

Члены уравнения (1-24) [(N1kT)/V, (N2kT)/V, . ] представляют собой давление каждого газового компонента или парциальное давление, которое имел бы данный газовый компонент при температуре смеси во всем объеме смеси.

Обозначив парциальные давления газовых компонентов соотвественно:

Следовательно: сумма парциальных давлений отдельных газовых компонентов равна общему давлению газовой смеси ( Закон Дальтона).

Для характеристики состава газовой смеси по газовым компонентам используют понятия массовой доли (osamass) и объемной доли (osamaht) .

Удельная массовая доля какого-либо газового компонента в газовой смеси:

где Mi — масса газового компонента в смеси (удельная масса газового компонента)

M – общая масса смеси, которая состоит из суммы масс газовых компонентов

и сумма удельных массовых долей газовых компонентов смеси равна:

m1 +m2 + . + mn = Σ mi =1

Удельная объемная доля газового компонента соответственно:

где Vi — приведенный(удельный) объем отдельного газового компонента при температуре и давлении газовой смеси.

V — полный объем газовой смеси

V = V1 + V2+ . + Vn = Σ Vi (1 – 30)

и сумма удельных объемных долей газовых компонентов смеси равна:

ri + r2 + . + rn = Σri =

Удельные массовые доли и удельные объемные доли связаны между собой следующим образом:

где ρi — плотность газового компонента в газовой смеси, kg/m3

Поскольку при равных условиях молярные объемы газов равны ( из закона Авогадро µ/ ρ = v µ = const — из этой формулы следует, что молярные объемы всех идеальных газов при одинаковом давлении и температуре равны.), то отсюда следует что

где Mi ja M обозначены соответственно число молей газовых компонентов и газовой смеси.

Mi = (Mi/µi) ja M = (M/µ), получим

На основе формулы (1-32) mi = Mi/M = ρiVi/ρV = ρiri/ρ и (1-34) выразим

массовую долю через объемную долю и плотность газовых компонентов и плотность смеси, а также – через объемную долю и молярные массы газовых компонентов и смеси:

mi = ρiri/ρ = ri µi/µ

Из соотношения ( 1 – 35) следует, что

µi/µ = ρi/ρ ( 1 – 36)

Поскольку в смеси идеальных газов отдельные компоненты газов ведут себя по отношению к другим компонентам независимо, то тогда выражение термического состояния идеальных газов действительно как для смеси газов, так и для отдельных компонентов газовой смеси.

Таким образом можно записать формулу R0 = 8314 /µ J/ kg∙K как

Для вычисления газовой постоянной запишем объемную долю, исходя из выражения (1-38):

ri = miRi /R0 ( 1 – 39)

На основании формулы ri + r2 + . + rn = Σri = 1 запишем

Σ ri = [Σ mi Ri] /R0 = 1 ( 1 – 40)

Откуда следует, что удельная газовая постоянная смеси равна:

R0 = Σ miRi = 8314 / Σriµi = 1 / Σ ri / Ri ( 1 – 41)

Кажущаяся молярная масса смеси:

µ = 8314/ R0 = 8314 / ΣmiRi = 1 / Σ mi/µi = Σri µi = 8314 Σ ri/Ri

Молярную массу называют кажущейся, так как в действительности для газовой смеси понятия киломоля и молярной массы условны. Фактически имеется в виду некоторый однородный газ, схожий массой и числом киломолей с газовой смесью.

В соответствии с формулой (1-28) m1 +m2 + . + mn = Σ mi =1

из формулы (1-32) mi = Mi/M = ρiVi/ρV = ρiri/ ρ следует, что

Σ mi = [ Σ ρiri ] /ρ = 1 ( 1 – 43)

а также, что плотность газовой смеси равна

ρ = Σ riρi = 1 / Σ mi /ρi ( 1 – 44 )

Термическое уравнение состояния идеальных газов для газовой смеси выражается через формулы Pv =R0T и pVμ = MR0T . При этом все величины даются на газовую смесь.

Применительно к газовому компоненту смеси уравнение Клапейрона записывается следующим образом:

или на газовый компонент в 1 kg газовой смеси:

где vi – удельный объем газового компонента при температуре и давлении смеси.

Из сравнения формул piv = R0iT и pvi = R0iT следует, что

Из выражения (1-49) следует, что парциальное давление газового компонента смеси можно вычислять:

pi = p Vi/V = pri = pmi µ/µi = pmi Ri/ R 0 ( 1 – 50)

При смешивании идеальных газов задачей является определение температуры и давления газовой смеси при том, что давление и температура отдельных компонентов газовой смеси разные. При этом принимают, что теплообмен между системой и окружающей средой отсутствует.

Температура смеси в К, когда смешивание идеальных газов происходит при постоянном объеме :

где pi, Ti,Vi — соответственно парциальное давление газового компонента в Pa, температура в К и объем в m3 до смешивания, а также показатель адиабаты ki= cp/cv.

Давление газовой смеси, Pa

p = T/V ΣpiVi/Ti (3.5)

Объем смеси, m3 V = Σ Vi ( 3.6)

Если у газов молярные теплоемкости равны, то равны и k (показатели адиабаты), следовательно температура смеси:

T = [ Σ piVi / Σ piVi/Ti ] ; K ( 3.7)

давление смеси p = Σ piVi/ V ; Pa

При смешивании газовых потоков температура смеси, К:

T = Σ ( ki / (ki -1)) piVi / Σ( ki / (ki -1)) piViTi (3.9)

где ki = cp/ cv; pi, Vi, Ti – парциальное давление газа в Pa, объем в m3 и температура в K до смешивания.

Объемный расход смеси при температуре Т и давлениии p :

V = T/p Σ pivi/Ti m3/s ( 3.10)

Если у газов равен показатель k , а также равны давления, то температуру и объемный расход газовой смеси можно расчитать по формулам:

T = Σ Vi / Σ Vi/Ti ( 3.11)

и V = T Σ Vi/Ti ( 3.12)

Основные свойства реальных газов

Reaalsete gaaside põhiomadused

Свойства различных газов в природе, т. н. реальных газов отличаются от ранее рассмотренной модели идеальных газов. Выражение pv=R0Т получено исходя из того, что

между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия, а также что объем молекул в сравнении с объемом самого газа пренебрежительно мал. Поэтому свойства реальных газов приближаются к свойствам идеальных газов при сравнительно низких давлениях (до 1. 3 МРа, ок.bar) и высоких температурах. Реальный газ абсолютно соответствует уравнению Клапейрона только тогда, когда p→0.

Каждое вещество, в зависимости от параметров состояния, может быть как в газообразном (пар), так в жидком и твердом состоянии, и при изменении параметров переходить из одного агрегатного состояния в другое. Также возможно, чтобы вещество находилось в нескольких фазах одновременно. В данном случае рассмотрим взаимосвязи только между газообразной и жидкой фазами.

Одно из основных свойств реальных газов — это возможность сконденсировать (сжижить) их при определенных условиях. Для выяснения свойств реальных газов рассмотрим pv – диаграмму реальных газов:

При изотермическом (Т= const) компримировании (сжатии) реальных газов при температуре Т1 давление увеличивается до удельного объема v1″ (обозначим точкой 1″) . При дальнейшем уменьшении удельного объема давление остается постоянным до тех пор, пока удельный объем не достигнет значения v1´(обозначим точкой 1′), и при этом давление резко возрастает. Горизонтальная линия 1″ — 1‘ представляет из себя процесс конденсации реального газа. Вправо от точки 1″ вещество находится в газообразной фазе, между точками 1″ — 1′ вещество находится одновременно в газообразном и жидком состоянии, и влево от точки 1′ вещество находится только в жидком состоянии.

Если повторить описанный процесс изотермического компримирования реального газа при других значениях температур Т2, Т3 газа до некоторой температуры Tk (T1 Tk реальные газы нельзя сконденсировать, т. е. сжижить ( на изотермах выше критической отсутствует горизонтальная часть). Резкий подъем линий изотерм от точек 1′, 2′, 3′ обусловлен малой сжимаемостью жидкости.

Состояние вещества в критической точке характеризуется критическими параметрами состояния : pk, vk (или ρk) ja Tk. Зная критические термические параметры состояния вещества, можно определить условия конденсации этого вещества.

Критические параметры состояния некоторых веществ приведены в таб.1-1.

Критическая изотерма в точке К имеет изгиб, и проходящая через эту точку касательная горизонтальна. Поэтому в критической точке:

Первое – уравнение горизонтальной касательной критической изотермы.

Второе – уравнение точки изгиба в критической точке К.

Оба эти уравнения называются уравнениями критической точки.

Чем выше температура газа критической температуры, тем больше изотермы реального газа на pv – диаграммах схожи с изотермами идеального газа.