Термодинамика потока основные уравнения и допущения

ТЕРМОДИНАМИКА ГАЗОВОГО ПОТОКА

4.1. Уравнения и параметры движущегося газа

В рассмотренных выше процессах не учитывалась кинетическая энергия рабочего тела. Однако в теплотехнике широко распространены энергетические установки, в которых преобразование энергии осуществляется в движущемся газе. Такие процессы происходят в турбинах, реактивных двигателях, лопаточных и струйных компрессорах и т.п.

Рассмотрим уравнения термодинамики для стационарного одномерного потока идеального газа.

Для газового потока в любом сечении справедливо уравнение состояния, записанное через плотность:

где p – давление в рассматриваемом сечении;

ρ – плотность газа в этом сечении;

R – газовая постоянная;

T – термодинамическая температура (температура, которую покажет в данном сечении безинерционный термометр, перемещающийся со скоро-стью газового потока).

В термодинамике величину скорости потока газа обозначают с и измеряют в м/с. Часто с целью количественной оценки величины скорости потока ее сравнивают со скоростью распространения слабых возмущений в среде газа. При выведении газа из равновесия в каком-либо месте в нем возникает движение частиц. Эти возмущения передаются по всему газу (подвижному и неподвижному) с так называемой с к о р о с т ь ю з в у к а. Скорость звука обозначается a, измеряется в м/с и вычисляется поизвестной из физики формуле:

. (4.2)

Если c – сверхзвуковой.

4.1.1. Уравнение энергии

В движущемся газе выделим сечениями 1-1 и 2-2, Рис. 4.1, участок потока.

На основании первого закона термодинамики для энергоизолирован- ного потока (данная система не обменивается теплотой и работой с окружающей средой) можем записать Е₁ = Е₂. Отсюда для m = 1кг газа уравнение (1.7) в сечениях потока будет иметь вид:

= .

Это означает, что для любого сечения потока газа сумма энтальпии и кинетической энергии одинакова, т.е.

. (4.3)

Выражение (4.3) называют у р а в н е н и е м э н е р г и и потока газа. Из него следует, что изменить скорость газа в потоке можно лишь только за счет изменения энтальпии.

Уравнение энергии можно записать в другом виде. Продифференцируем выражение (4.3) и получим: cdc = — di. Из первого закона термодинамики, записанного в виде dq = di -vdp, при dq = 0 следует, что di = vdp. Тогда

Выражение (4.4) приписывают Д. Бернулли, поэтому в технической литературе его называют у р а в н е н и е м Б е р н у л л и.

Это уравнение устанавливает связь скорости с давлением. Из него следует, что для увеличения скорости (dc > 0) необходимо снижение давления (dp

В окончательном виде формула температуры торможения имеет вид:

. (4.5)

Используя адиабатную связь между температурой и давлением, получим формулу для давления торможения:

. (4.6)

Плотность ρ₀ определяется по p₀ и T₀ из уравнения (4.1).

4.1.3. Уравнение скорости движения газа

Уравнение скорости движения газа в произвольном сечении потока получим из уравнения энергии. Пусть газ вытекает из емкости, где его скорость была равна нулю. Тогда уравнение энергии для произвольного сечения потока газа и для сечения, где c = 0, будет иметь вид:

.

c = = .

Если отношение температур заменить отношением давлений, то

c= . (4.7)

Из выражения (4.7) следует, что величина скорости газа в рассматриваемом сечении потока зависит от природы газа, от параметров в его исходном (заторможенном) состоянии и от давления газа в рассматриваемом сечении.

4.1.4. Уравнение расхода

Термодинамика газового потока в основном рассматривает стационарное движение газа. Это означает, что через все сечения канала в любой момент времени протекает одно и то же массовое количество газа. Обозначается секундный массовый расход , который измеряется в кг/с. Уравнение для вычисления секундного массового расхода выводится в дисциплине “Газовая динамика”. Оно имеет вид:

. (4.8)

Выразим секундный массовый расход через параметры заторможенного газового потока, для чего в выражение (4.8) вместо c подставим его значение (4.7), а плотность представим в виде

.

(4.9)

4.2. Течение газа в каналах

4.2.1. Уравнение обращения воздействия

Каналы, в которых газовый поток увеличивает свою скорость, называются с о п л а м и. Каналы, скорость в которых уменьшается, именуют д и ф -ф у з о р а м и. Геометрическая форма сопел может быть различной. Это зависит от того, каково внешнее воздействие на газовый поток.

В 1948 г. А.А. Вулис получил зависимость, выражающую связь геометрии сопла с характером внешнего воздействия на поток. Для неэнергоизолированного движения газа зависимость Вулиса имеет вид:

. (4.10)

Здесь первое слагаемое правой части уравнения выражает г е о м е т-

р и ч е с к о е в о з д е й с т в и е на движущийся газ, второе – м а с с о в о е, третье – т е п л о в о е и четвертое – м е х а н и ч е с к о е. Уравнение (4.10) является математическим выражением принципа обращения воздействия, суть которого состоит в том, что характер влияния каждого воздействия на газовый поток противоположен при сверхзвуковых и дозвуковых течениях газа.

Проанализируем лишь геометрическое воздействие. В этом случае из уравнения (4.10) следует:

. (4.11)

При дозвуковом течении газа (М_a 0, а в расширяющемся, где dF > 0, – тормозиться, т.е. dc 1) знаки у величин dc/c и dF/F одинаковые. Следовательно, для увеличения скорости необходим расширяющий канал, а для торможения — сужающийся.

Таким образом, канал для разгона газового потока до сверхзвуковой скорости должен быть сужающе-расширяющимся и иметь вид, представленный на рис. 4.2. Впервые канал такой формы предложил шведский инженер Лаваль, в его честь такие каналы именуют соплами Лаваля.

4.2.2 Течение газа в соплах Лаваля

При движении газа вдоль сверхзвукового геометрического сопла своеобразно изменяются его параметры. Для выявления характера изменения давления по длине сопла из уравнений (4.4) и (4.11) можно получит выражение:

Из анализа данного уравнения следует, что давление вдоль сопла уменьшается. Кривая давления в дозвуковой части сопла имеет выпуклый вид, а в сверхзвуковой – вогнутый. Температура вдоль сопла уменьшается, так как процесс расширения газа адиабатный. С такой же закономерностью уменьшается по длине сопла и скорость звука.

Характер изменения скорости вдоль сопла устанавливается уравнением Бернулли (4.4), записанным в виде:

.

В сужающейся части сопла это вогнутая кривая. а в расширяющейся – выпуклая, асимптотически приближающаяся к максимально возможной скорости при р = 0. Качественные изменения давления, температуры, скорости звука и скорости потока по длине геометрического сопла представлены на рис.4.3 .Характерным для канала такой формы является участок перехода дозвукового течения в сверхзвуковой.

Сечение канала, в котором скорость потока достигает величины, равной местной скорости звука, называют к р и т и ч е с к и м .

Параметры газа в критическом сечении обозначают: с_кр, р_кр, Т_кр, ρ_кр, , и т.д.

Получим выражение для р_кр и Т_кр через параметры торможения. В критическом сечении , следовательно:

После незначительных преобра –

. (4.12)

,

Величина β определяется только

значением показателя адиабаты к . Рис. 4.3

Так, для воздуха при к = 1,4 значение β_кр = 0,528. Отсюда следует, что для воздуха критическое давление меньше давления торможения в 1,89 раза.

Значение критической температуры получим из выражения (4.12), заменив отношение давлений отношением температур:

Т_кр= Т₀ (4.13)

Теперь выражение для критической скорости можно представить в другом виде:

с_кр = . (4.14)

Скорость газа в каждом сечении сопла и на выходе из него вычисляется по формуле (4.7).

Если секундный массовый расход выразить через параметры торможения и площадь критического сечения, то зависимость (4.9) существенно упрощается:

. (4.15)

Если давление газа в выходном сечении сопла равно давлению окружающей среды ( ), то сопло работает на расчетном режиме; при p_a >p_h газ на выходе из сопла недорасширяется. Возможны режимы работы сопел, когда давление на выходе в потоке незначительно меньше давления окружающей среды (p_a

4.2.3. Дросселирование газа и пара

Д р о с с е л и р о в а н и е м называют процесс понижения давления в газовом потоке при преодолении местного сопротивления в канале.

При дросселировании газа или пара протекает необратимый процесс снижения давления без совершения внешней работы. Если в канале имеется местное сопротивление в виде резкого сужения вида перегородки с отверстием, задвижки, клапана и т.п., то газовый поток перестраивает свою геометрическую форму, как до сужения, так и после него. Перестройка формы потока и перетекание через само сужение связано с образованием вихревых движений газа. Часть кинетической энергии потока идет на образование вихрей, часть – на преодоление сопротивления трения. Затраченная на это энергия необратимо превращается в теплоту, которая воспринимается газом. Поэтому давление после местного сопротивления не восстанавливается до первоначального. Изменение давления, скорости и температуры по длине канала приведено на рис.4.4. Скорость газа при протекании его через сужение возрастает, что вызывает снижение давления и температуры. После сужения скорость понижается, но давление, вследствие указанных причин, не восстанавливается до первоначального.

Степень снижения давления газа при дросселировании зависит от природы газа и его состояния, относительной величины сужения, скорости газа. Обозначим степень снижения давления через ; тогда ее величина будет равна:

,

где ∆р – величина снижения давления;

р – давление на входе в сужение.

В энергетических установках дросселирование нежелательно, т.к. при падении давления снижаются энергетические возможности газа. Но иногда дросселирование является необходимым и создается искусственно, например, в редукторах, регуляторах и т.п.

При термодинамическом анализе особенностей процесса дросселирования целесообразно использовать общее уравнение энергии:

В канале можно обеспечить с₁ = с₂ , тогда i₁ =i₂. Из чего следует, что энта-

льпия газа в процессе дросселирования

остается постоянной. Рис. 4.4

Этот вывод справедлив как для идеальных, так и для реальных газов. При дросселирования идеального газа Т₁ = Т₂ , поскольку i₁ = i₂ . Это значит, что для идеального газа температура после дросселирования равна температуре на входе в дроссель.

Для реального газа изменение температуры при его дросселировании в отличие от идеального газа имеет своеобразный характер. Как показывают опыты, температура реального газа в результате дросселирования повышается, понижается или не изменяется. Это свойство впервые обнаружили ученые Д. Джоуль и У. Томсон, поэтому оно носит название э ф ф е к т а Д ж о у л я-Т о м с о н а.

Используя дифференциальные уравнения, связывающие i, s, ρ и T, можно получить для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, следующую зависимость:

(4.16)

Отношение бесконечно малого изменения температуры к бесконечно малому изменению давления при дросселировании называется д р о с с е л ь—э ф ф е к т о м и обозначается

α =

Так как при дросселировании dp 0, т.е. dT 0 ( при T > ), тогда α 0;

в) = 0 ( при T = ), тогда α = 0, т.е. dT = 0.

Изменение знака дроссель — эффекта α называется и н в е р с и е й,

а температура, при которой dT = 0, называется т е м п е р а т у о й и н в е р с и и и обозначается T_инв .

(4.17)

Понятие температуры инверсии особенно широко используется в холодильной и криогенной технике.

Каждый конкретный газ имеет индивидуальную температуру инверсии. Так, например, для воздуха Т_инв = 650 К; для водорода Т_инв = 204 К; для водяного пара Т_инв= 682 К.

Для установления температуры реального газа после дросселя необходимо сравнить T_вх с T_инв .Если температура газа на входе в дроссель равна его температуре инверсии, то после дросселя она восстановится до прежнего значения. При T_вх T_инв — она возрастет. Характер изменения температуры при дросселировании

Глава 5

Тема 5. Термодинамика потока

5.1. Первый закон термодинамики для потока

На практике при рассмотрении рабочих процессов машин, аппаратов и устройств, встречаются задачи изучении закономерностей движения рабочих тел (газов, пара и жидкостей).

Уравнение 1-го закона термодинамики для потока газа при следующих допущениях:

• движение газа по каналу установившееся и неразрывное;
• скорости по сечению, перпендикулярному оси канала, постоянны;
• пренебрегается трение частичек газа друг другу и о стенки канала;
• изменение параметров по сечению канала мало по сравнению их абсолютными значениями,

q = D u + D e + l_прот. + l_техн. , (5.1)

где D e = (w 2 ₂ – w 2 ₁)/2 + g·(z₂ –z₁) – изменение энергии системы,

состоящий из изменения кинетической и потенциальной энергий;

w₁ ,w₂ – скорости потока в начале и в конце канала;

z₁ , z₂ – высота положения начала и конца канала.

1. l_прот. = P₂· n ₂ – P₁· n ₁– работа проталкивания, затрачиваемая на движения потока;
2. l_техн. – техническая (полезная) работа (турбины, компрессора, насоса, вентилятора и т.д.).

Введем понятия энтальпии, который обозначим через величину:

Тогда уравнение 1-го закона термодинамики для потока газа будет иметь вид:

Основные уравнения газового потока

Основные уравнения газового потока

• Если движение газа по каналу стабильно, то одинаковое количество газа в единицу времени протекает по каждому участку канала. В этом случае (рис. 10.1), при определенном расходе газа в каждом участке канала расход газа равен(10.1). Где O-2-й массовый расход газа. Рх, РГ-площадь поперечного сечения канала. w и r-это скорости потока соответствующих поперечных сечений. Определенный объем одного и того же поперечного сечения; формула (10.1) называется уравнением неразрывности или непрерывности, поскольку постоянство массового расхода всех участков канала в каждый момент времени устанавливает условия неразрывности струи.

В рассматриваемом процессе первый закон термодинамики. Форма газа урав-кг газа через канал является = Фунт / + 4-С—(- (3% Си、 (10.2), где же буква «Л». Основное количество тепла, подаваемого или отводимого к газу в целевом участке движения. L / — изменение внутренней энергии газа в соответствующем сечении. го /. ’- Работа газа против внешних сил; С-приращение кинетической энергии газа при движении газа в выбранной области. С ^ а ^ — элемент Сила против работы тары 10.1 Этот компонент в олове; газ можно проигнорировать. Работа газа по противодействию внешним силам движущегося газа — это работа, которая тратится на прессование. Рассмотрим поток газа в канале рис.

За пределами пограничного слоя градиент скорости, нормальный к направлению потока, обычно настолько мал, что вязкостью можно пренебречь. Людмила Фирмаль

В 1-мерном измерении stream. In в разделах/-/и 11-11 различают газы определенной массы. Поток, поступающий в секцию 1-1, действует как поршень, отталкивая газ, заполняющий канал. сила pP действует на массу газа, выделенную в левом канале, а сила (p + Lp) (P4-LR) действует справа. Учитывая признаки работы, признанные в термодинамике, работа движения является Л ’=(П 4-С / П)(П 4-ЛХ) (Н + Ла») — ППУ>-(10 3） Если вы уменьшите небольшое количество 2 или более и отбросите его, это будет выглядеть так: Л ’ — rRLchi 4-Рих / Р 4-shRLr, (10.4） L ’= pL (Pu>) 4-PsLr.

Где N-уравнение неразрывности ТЧ = ТС. Расход потока постоянн и в непрерывной среде Если мы связываем работу против внешних сил с 1 кг газа、 L ’=(1 (ri) = Рио + ойр. (U. Seven） Количество cir, масса экстрагируемого вещества Это за гранью несжимаемости. 2-й член pc1i представляет собой основную работу, выполняемую движущимся телом продукта газа в результате деформации под действием равномерно распределенного давления. При замене работы на внешние силы в уравнениях первого закона термодинамики записывается около 1 кг газа 1е = c1u + c1G + =(1и + С1 (ПУ) 4- = я(п + Пи)+.(10.8） Потому что, как известно,+ ri = I — Си+ .

• Эта формула показывает, что тепло, подводимое к движущемуся газу, расходуется в двух направлениях: увеличение энтальпии газа и увеличение внешней кинетической энергии. То есть скорость потока газа увеличивается. Формула (10.9) является основой течения газа или пара, она эффективна как для обратимых течений без действия сил трения, так и для необратимых течений с трением.

Для потока, в котором присутствует сила трения, необходимо добавить 2 члена к формуле (10.9).1 учитывает работу, затраченную на преодоление силы трения — / тр, еще 1 представляет собой приращение теплоты газового потока за счет трения-поскольку работа над силой трения проходит полностью, в тепле эти 2 элемента имеют одинаковый размер, а так как знаки различны, то они исчезают друг от друга. Поэтому наличие сил трения не может нарушить общий энергетический баланс.

Это явление, весьма важное для гидродинамики и теории теплообмена, было впервые установлено Людвигам Прандтлем в 1904 г. Людмила Фирмаль

В изолированных потоках газа, если тепло не передается при движении газа ПО КАНАЛУ (1 / = 0）、 Из уравнения (10.10) следует, что в изолированном стационарном потоке газа через канал сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии остается постоянной. Выражение (10.9), как и в (10.10), справедливо как для обратимых, так и для необратимых flows. It следует отметить, что эти формулы эффективны только в том случае, если газ на ходу выполняет работу расширения и не производит полезной (технической) работы (например, вращение рабочего класса турбины).

Приводимый в движение потоком газа. Первый закон термодинамики (10.8). Вам нужно записать В форме че = ух + ^(Р’) + ^ МС,+ — ^ г — = а + г(ТЭН+ -^ -, (10.11） Здесь/ т» — техническая работа*. Если техническая работа осуществляется потоком, то работа деформации при расширении отдается внешнему потребителю, но в канале она воспринимается соседними элементами, изменяя его кинетическую энергию. Из сравнения формулы (10.11) и формулы первого закона термодинамики (4.9) получается интегральная форма, записанная о выделенных элементах деформированного, но не смещенного потока. ’тек = С П’ ^ + P1V!-.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института