Тест тригонометрические формулы и уравнения

Сборник тестовых заданий по математике. Раздел: Тригонометрия.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя общеобразовательная школа №2 с. Буздяк

муниципального района Буздякский район Республики Башкортостан

Сборник тестовых заданий по математике

Волкова Любовь Михайловна – заместитель директора по учебно – производственной работе ГАОУ СПО «Чистопольский политехнический колледж», кандидат педагогических наук, Заслуженный учитель Республики Татарстан.

Албутова Татьяна Фёдоровна — у читель высшей категории

МБОУ «Гимназия № 1» Чистопольского муниципального района.

Предлагаемое учебное пособие предназначено для учащихся 10-11 классов, а также для преподавателей математики.

В пособие включены тестовые задания разных уровней сложности по основным темам раздела: Тригонометрия. Каждая тема пособия снабжена кратким теоретическим введением и иллюстрациями решения типовых задач, рассматриваемых в проверочных и итоговых тестах. Учебное пособие содержит ключи к решениям тестов, что позволяет студентам самостоятельно проверить свои знания.

Тема 1. Радианная и градусная мера угла………………………………………… .5

Тест 1. Радианная и градусная мера угла…………………………………………. .6

Тема 2. Тригонометрические функции числового аргумента…………………… 8

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента……………………. 9

Тема 3. Формулы приведения……………………………………………. … . … 11

Тест 3. Формулы приведения……………………………………………………. 13

Тема 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………. 15

Тест 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………. 17

Тест 5. Итоговый тест по теме: Основы тригонометрии………………………. 19

Тема 6. Свойства тригонометрических функций………………………………. 21

Тест 6. Свойства тригонометрических функций………………………………… 23

Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс……………………… 25

Тест 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс………………………. 27

Тема 8. Решение простейших тригонометрических уравнений………………. 29

Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений………………… 33

Тема 9. Тригонометрические уравнения…………………………………………. 35

Тест 9. Тригонометрические уравнения………………………………………….. 46

Тема 10. Простейшие тригонометрические неравенства………………………. 48

Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств………………. 50

Тест 11. Итоговый тест по теме: Решение тригонометрических

уравнений и неравенств…. . . 52

Предлагаемый сборник тестовых задач предназначен для использования в качестве учебного пособия по предмету: Математика, соответствующего требованиям образовательного стандарта для учащихся 10-11 классов.

Сборник содержит задания для проведения текущего и итогового контроля знаний обучающихся по разделу: Тригонометрия. Тесты и итоговые тесты тематически сгруппированы, что даёт возможность целенаправленно изучить материал.

В пособии представлены тесты, по своей структуре напоминающие тесты

ЕГЭ, что пригодится для выпускников при поступлении в ВУЗы. Все вопросы

тестов разделены на три уровня сложности. Задания части А – базового уровня,

части В – повышенного, части С – высокого уровня. При оценивании

результатов тестирования это необходимо учитывать. Каждое верно-

выполненное задание уровня А оценивается в 1 балл, уровня В – в 2 балла,

уровня С – в 3 балла. Следовательно, при оценивании ответов, можно

использовать следующую шкалу:

80-100% от максимальной суммы баллов – оценка «5»;

60 -80% — оценка «4»;

40 — 60% — оценка «3»;

0 — 40% — оценка «2».

На выполнение тематических тестов рекомендуется выделять 20-30 минут, на выполнение итоговых тестов – 45-50минут. Тематические тесты могут быть включены в урок на любом этапе: актуализации знаний, закрепления изученного материала, повторения. Они внесут разнообразие в контроль и коррекцию знаний, умений и навыков, и не отнимут много времени. И в то же время анализ выполнения тестов поможет выделить повторяющиеся ошибки, как индивидуально у каждого студента, так и в целом по группе. В приложении к сборнику приведены ключи к тестам, что позволит преподавателю быстро проверить ответы, выполнить коррекцию знаний учащихся.

Тест 1. Радианная и градусная мера угла

А1. Что такое угол в 1 радиан?

1) Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

2) Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна диаметру окружности.

3) Угол в 1 радиан – это такой тупой угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

А2. По какой формуле можно выразить градусную меру угла в радианную?

А3. Выразите в радианной мере величины углов: 36º, 270º, 60º.

А4. Выразите в градусной мере величины углов: .

1) 30º; 180º; 120º ; 2) 120º; 180º; 30º; 3) 30º; 180º; 110º

В1. Отметьте на единичной окружности точку если:

В2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка

С1. Выразите в радианной мере величины углов и определите, в какой

четверти расположены точки , если равно: -150º, 216º, -310º.

Тест 1. Радианная и градусная мера угла

А1. По какой формуле можно найти длину дуги l для окружности

А2. Какой зависимостью связаны радианная и градусная меры?

А3. Выразите в радианной мере величины углов: 45º, 270º, 216º.

А4. Выразите в градусной мере величины углов: .

1) 45º; 360º; 36º; 2) 40º; 180º; 36º; 3) 45º; 180º; 360º

В1. Отметьте на единичной окружности точку если:

В2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка

С1. Выразите в радианной мере величины углов и определите, в какой четверти расположены точки , если равно: -215º, -40º, 240º.

Тема 2. Тригонометрические функции числового аргумента

Тригонометрические функции числового аргумента t – это функции

В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом. С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси O x .

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая

сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом

данного угла. Синус и косинус принимают любые значения от -1 до 1, т.е.

область значений этих функций:

Например: нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x , а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности)

под углом 30º (см. рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует . Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они

же являются косинусом и синусом нашего угла. А зная синус и косинус угла,

можно найти его тангенс и котангенс по формулам:

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат,

является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента

А1. Отношение абсциссы точки на окружности к её ординате называется…..

1) синусом угла; 2) котангенсом угла; 3) тангенсом угла

А2. В какой четверти расположен угол 250º?

1) В I ; 2) Во II ; 3) В III

А3. Существуют ли углы, для которых: ?

1) нет, да, нет; 2) да, нет, да; 3) да, да, нет

А4. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: и ?

В1. Определите знак: и .

В2. Найдите значения синуса и косинуса =.

С1. Запишите следующие числа в порядке убывания:

Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента

А1. Отношение ординаты точки на окружности к её абсциссе называется…..

1) синусом угла; 2) котангенсом угла; 3) тангенсом угла

А2. В какой четверти расположен угол 320º?

1) В IY ; 2) Во II ; 3) В III

А3. Существуют ли углы, для которых: ?

1) нет, да, да; 2) да, нет, да; 3) да, да, нет

А4. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: и ?

В1. Определите знак: и .

В2. Найдите значения синуса и косинуса =-5,5.

С1. Запишите следующие числа в порядке возрастания:

Тема 3. Формулы приведения

При решении тригонометрических уравнений или совершении

тригонометрических преобразований первым делом нужно минимизировать

количество различных аргументов тригонометрических функций. Для этого

нужно все углы привести к углам первой четверти, воспользовавшись

формулами приведения. А также, необходимо знать знаки

тригонометрических функций.

Мнемоническое правило, которое позволяет не заучивать формулы приведения .

Если мы откладываем угол от вертикальной оси, то приводимая функция

меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на

котангенс, котангенс на тангенс. Если мы откладываем угол от горизонтальной

оси, то приводимая функция не меняет свое название. Перед приведённой

функцией ставится тот знак, который имеет функция в данной четверти.

Пример 1. Найдите значение

1. Запишем аргумент функции в виде суммы двух углов, один из которых меньше , т.е. .

2. Совершаем поворот на , а потом, от полученной точки откладываем

угол . Мы отложили этот угол от горизонтальной оси, поэтому функция не

меняется, угол расположен в третьей четверти, в которой тангенс

имеет положительный знак, следовательно, приводимая функция

Пример 2. Найти значение выражения:

1. Выделим целую часть в дроби

2. Так как период функции равен , запишем:

Теперь наш аргумент находится в пределах от нуля до, следовательно:

Чтобы попасть в точку, соответствующую углу поворота на , мы сначала совершаем поворот на радиан, а потом из этой точки откладываем угол радиан.

Т.к. мы отложили угол от горизонтальной оси — косинус не меняет своего названия, угол расположен в третьей четверти, в которой косинус отрицателен, следовательно, приводимая функция отрицательна.

Тест 3. Формулы приведения

А1. Замените тригонометрической функцией угла выражение

А2. Замените тригонометрической функцией угла выражение

А3. Найдите значение

А4. Найдите значение

В1. Найдите значение выражения:

В2. Расположите выражения в порядке возрастания:

С1. Упростите выражение:

Тест 3. Формулы приведения

А1. Замените тригонометрической функцией угла выражение

А2. Замените тригонометрической функцией угла выражение

А3. Найдите значение

А4. Найдите значение

В1. Найдите значение выражения:

В2. Расположите выражения в порядке возрастания:

С1. Упростите выражение:

Тема 4. Основные формулы тригонометрии

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

, ,

,

,

,

Тригонометрические функции суммы и разности углов

,

,

Тригонометрические функции двойного, тройного и половинного аргумента

,

,

Формулы преобразования произведения тригонометрических

,

,

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

,

, ,

Пример 1. Какие значения может принимать , если

Из формулы , выразим В последнюю формулу подставим данное значение синуса:

Пример №2. Могут ли одновременно выполняться равенства: и ?

Из формулы , выразим Подставим данные значения синуса и тангенса в последнее равенство: , т.к. значение косинуса больше 1, данные равенства выполняться не могут.

Пример 4. Вычислите: , если

Раскроем скобки по формуле и в полученное выражение подставим значения синуса.

Тест 4. Основные формулы тригонометрии

А1. Какие значения может принимать , если

А2. Могут ли синус и косинус одного и того же угла быть равными соответственно: и

А3. Могут ли одновременно выполняться равенства: и ?

А4. Вычислите: , если

В1 . Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:

В2 . Вычислите , если: и

С1. Докажите тождество:

Тест 4. Основные формулы тригонометрии

А1. Какие значения может принимать , если

А2. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: и

А3. Могут ли одновременно выполняться равенства: и ?

А4. Вычислите: , если

В1. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:

В2. Вычислите , если: и

С1. Докажите тождество: .

Тест 5. Итоговый тест по теме:

А1. Выразите в радианной мере величины углов: 180º, 216º, 150º.

А2. Определите, в какой четверти расположены точки , если равно: -110º, 306º, 280º.

1) III, YI, YI; 2) I, II, I; 3) III, YI; II

А3. Существуют ли углы, для которых: ?

1) нет, да, нет; 2) нет, нет, да; 3) да, да, нет

А4. Используя формулы приведения, вычислить:

В1. Упростите выражение:

В2. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: .

С1. Докажите тождество:

Тест 5. Итоговый тест по теме:

А1. Выразите в радианной мере величины углов: 360º, 116º, 95º.

А2. Определите, в какой четверти расположены точки , если равно: -100º, 206º, -310º.

1) II, III, I; 2) I, III, I; 3) II, II, I

А3. Существуют ли углы, для которых: ?

1) нет, да, нет; 2) нет, нет, да; 3) да, да, нет

А4. Используя формулы приведения, вычислить:

В1. Упростите выражение:

В2. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: .

С1. Докажите тождество:

Тема 6. Свойства тригонометрических функций

Соотношения сторон и их связь с функциями:

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Область определения функции — множество всех действительных чисел,

Множество значений: E(y) = [−1;1]. Функция y=sin(α) – нечетная, т.к.

Функция оказывается периодической, наименьший положительный период

соответствует 2π, т.е. sin(α+2π)=sin(α).

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n ∈ Z и y при

Функция y=sin α возрастает при α ∈ (−π/2+2πn;π/2+2πn,) n ∈ Z , и убывает при

Минимум функции при α=−π/2+2πn, n ∈ Z , а максимум при α=π/2+2πn, n ∈ Z.

Свойства косинуса

Область определения функции : D(y)=R.

Множество значений : E(y) = [−1;1].

Функция y=cos(α) — четная: cos(−α)=cosα .

Функция периодическая, наименьший

положительный период соответствует 2π : cos(α+2π)=cos(α).

График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn, n ∈ Z .

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n ∈ Z и

Функция y=cos α возрастает при α ∈ (−π+2πn;2πn),n ∈ Z , и убывает

У функции есть минимум при α=π+2πn, n ∈ Z , а максимум при α=2πn, n ∈ Z .

Область определения функции: D(y)=R , исключая числа α=π/2+πn .

Множество значений: E(y)=R .

Функция y=tg(α) – нечётная, т.к. tg(−α)=−tg α.

Функция периодическая, наименьший

положительный период соответствует π, т.е. tg(α+π)=tg(α).

График функции пересекает ось Ох при α=πn, n ∈ Z .

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n ∈ Z и y при

Область определения функции: D(y)=R , исключая числа α=πn.

Множество значений: E(y)=R.

Функция y=ctg(α) — нечетная: ctg(−α)=−ctg α.

Функция периодическая, наименьший

положительный период равен π, т.е.

График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn, n ∈ Z.

Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn), n ∈ Z и y при

Утверждение 1. Если функция f периодическая и имеет период Т , то

Пример 1. Найдите наименьший положительный период функции y =

Т.к. наименьший положительный период функции y = sint , а k =5 ,

периодом функции y = является число

Тест 6. Свойства тригонометрических функций

А1. Какая из функций: является чётной?

А2. У каких функций наименьший положительный период Т = 2π?

А3. Какое из выражений не имеет смысла?

А4. Какое из чисел меньше нуля?

В1. Углом какой четверти является угол α, если α

В2. Найдите наименьший положительный период функции

C 1. Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции

Тест 6. Свойства тригонометрических функций

А1. Какие из функций являются нечётными?

А2. У каких функций наименьший положительный период Т = π?

А3. Какое из выражений не имеет смысла?

А4. Какое из чисел больше нуля?

В1. Углом какой четверти является угол α, если α > 0, α > 0?

В2. Найдите наименьший положительный период функции

C 1. Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции

Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x= sin y ), имеющая

область определения: , множество значений:

Арккосинус ( y= arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x= cos y ),

имеющая область определения , множество

Арктангенс ( y= arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x= tg y ), имеющая

область определения: и множество

Арккотангенс ( y= arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x= ctg y ),

имеющая область определения: ,

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков

тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой

y= arctg x y= arcctg x

Пример 1. Найдите значение t , принадлежащее промежутку если

тест по теме «Тригонометрические формулы», 10 класс
тест по алгебре (10 класс) на тему

Тест с выбором варианта ответов. Соответствует изучению курса алгебры и начал анализа по учебнику Алимова.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тест «Тригонометрические формулы»

1. Установите соответствие между элементами левого и правого столбиков :

Ж.. 0 7. -угол II коорд. четверти

З. 8. -угол III коорд. четверти

И. 9. -угол I коорд. четверти

К. 10. -угол IVкоорд.четверти

2. Если тригонометрическая функция угла имеет

следующие знаки в координатных четвертях:

I-«+»; II-«-»; III-«-»; IV-«+», то эта функция

3. Установите соответствие между элементами левого и правого столбиков:

4 . Выберите верное утверждение:

5. Закончите предложения, чтобы получились верные равенства:

6. Какое значение не может принимать ?

А. Б. 0,1 В. 1,1 Г. 0

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Тест по теме «Формулы сокращенного умножения» в 7 классе

Данный тест с выбором ответа, по результатам которого нужно составить фоторобот, а кого- решайте сами. Это может быть похититель пакета с контрольными работами или инопланетянин.

тест по теме: «Формулы сокращённого умножения»

Тест по теме: «Формулы сокращённого умножения» составлен для отработки навыка по применению формул. Можно применять при повторении и обобщении материала по данной теме.

Тест по теме «Формулы тригонометрии «10 класс

Тест предназначен для проверки формул тригонометрии .Может использоваться при подготовке к ЕГЭ.

Тест по алгебре 7 класс: «Формулы сокращенного умножения»

Данный материал подготовлен для проверки знаний по теме: Формулы сокращенного умножения».

Тесты на тему: «Формулы сокращенного умножения»

Итоговый тест по теме: «Формулы сокращенного умножения».

Тест по теме «Формулы приведения»

Тест для учащихся 10 класса.

Тест по алгебре 7 класс по теме:» Формулы сокращенного умножения.»

Тест по алгебре 7 класс по теме:» Формулы сокращенного умножения.».

Тест тригонометрические формулы и уравнения

Тесты по алгебре 10 класс. Тема: «Тригонометрические уравнения»

Правильный вариант ответа отмечен знаком +

1. Какое решение имеет тригонометрическое уравнение sin(x) = a, если |a| ⩽ 1?

a. x = (-1) n arcsin(a) + πn +

b. x = arccos(-a) — 2πn —

c. x = arcsin(a)n + πn —

2. tg3x = √3

b. x = π/9 + πn/3, n ∈ ℤ +

c. x = π/3 — πn, n ∈ ℤ —

d. x = -π + √3πn, n ∈ ℤ —

3. Что является целым числом в x = 2πk?

4. Как выглядит формула сложения?

a. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y +

b. sin(x + y) = tg x sin y + sin x tg y —

c. sin(x + y) = sin x ctg y — ctg x sin y —

d. sin(x + y) = sin x + cos y / cos x — sin y —

5. Какой из вариантов является однородным тригонометрическим уравнением?

b. √3sin5x — cos5x = -√3 —

c. 4tg 2 x + 5tg x — 9 = 0 +

6. Сколько степеней имеет однородное тригонометрическое уравнение?

7. Какой способ решения как основной можно применить для уравнения 6sin2x + 5 cos x — 2 = 0?

a. способ разложения на множители —

b. способ однородных уравнений —

c. способ замены переменной +

d. способ с применением ограниченности суммы —

8. Как называется уравнение вида sin x + b cos x = 0?

a. нестандартное тригонометрическое уравнение —

b. однородное тригонометрическое уравнение +

c. простейшее тригонометрическое уравнение —

d. квадратное тригонометрическое уравнение —

9. Какой математик использовал тригонометрию для решения кубических уравнений?

b. Леонард Эйлер —

тест 10. Для какого выражения подходит область значений [-π/2; π/2]?

11. Чему равен x в примере 2sin x — 3cos x = 0?

a. arcctg 3/2 + πn, n ∈ ℤ +

b. arcsin ⅔ — πn, n ∈ ℤ —

c. arccos2 + 3πn, n ∈ ℤ —

d. arctg3 — 2πn, n ∈ ℤ —

12. sin(π/2 + 2πn) = …

13. Каким знаком обозначается принадлежность?

14. Чему равен x в уравнении tg2x + 1 = 0?

15. На какие множители можно разложить тригонометрическое уравнение 2sin x cos5x — cos5x?

a. cos5x и 2sin x — 1 +

b. sin x и cos5x —

c. 2 — sin x и cos — 5x —

d. cos5x и 2sin x + 1 —

16. Какое значение имеет x в уравнении на картинке cos x = -1?

17. Как выглядит формула двойного аргумента ctg2x?

b. ctg2x — 1 / ctg x —

c. 2ctg x / 1 — ctg x —

d. ctg2x — 1 / 2ctg x +

18. Чему равен результат выражения sin 2 x — 1 + cos 2 x после упрощения?

19. tg x = 1

a. x = π/6 — 2πn, n ∈ ℤ —

b. x = -3π + πn, n ∈ ℤ —

c. x = π/4 + πn, n ∈ ℤ +

тест-20. Какой знаменитый ученый сказал, что уравнения будут жить вечно?

a. Софья Ковалевская —

b. Альберт Эйнштейн +

d. Николай Лобачевский —

21. Чему равен arcctg(-1)?

22. При каких значениях x можно использовать выражение arccos x?

23. Какое уравнение не имеет корней?

24. sin2(-π/8 + πn/2) + cos2(-π/8 + πn/2) = …

25. Как называется формула sin 2x = 2sinx cosx?

a. формула сложения —

b. формула двойного аргумента +

c. формула приведения —

d. формула понижения степени —

26. arcsin x = …, при x = ½

27. Чему равна область определения выражения 2arccos x?

28. Какая функция изображена на картинке?

29. Из какой страны математик Карл Шерфер, который обозначил обратные тригонометрические функции, используя приставку arc?

тест_30. Чему равен x в уравнении 2cos x — √2 = 0?