Типичные ошибки в решении уравнений 5 класс

«Проблематика решений уравнений в 5-7 классах»
статья по математике (5, 6, 7 класс)

Краткий очерк о проблеммах в уравнениях с которыми сталкиваются учащиеся в 5-7 классах.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ПРОБЛЕМАТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В 5-7 КЛАССАХ.

В.А. Егорова
ГБОУ СОШ №411 «Гармония» с углубленным изучением английского языка Петродворцового района Санкт-Петербурга, Санкт-Петербург
E-mail: EgorovaVika96@mail.ru

Ключевые слова: уравнение, линейное уравнение, корень, неизвестное, правила, перенос, знаки, равенство, сумма, разность, вычитаемое, уменьшаемое, делитель, делимое, множитель, произведение, частное, слагаемое.

Аннотация. В работе рассмотрены проблемы решений уравнений в пятых, шестых и седьмых классах. Описаны необходимые знания, умения, навыки. Рассказано об особенностях уравнений в каждом из классов. Описана сложность адаптации детей к уравнениям в седьмых классах. Предложен способ объяснения «переноса» через знак равенства. Решены примеры уравнений самими обучающимися. Проведен анализ системы решения уравнений по траектории пятых-седьмых классов.

Уравнения всегда занимали ведущую роль в курсе изучения математики в школе, не даром на них отводят много учебного времени. Известно всем, если ребёнка научить решать уравнения, то большинство задач для него станут по силам. Даже те задачи, которые вызывали сложности в понимании и решении, с уравнением принимают облегченное значение. Но прежде, чем переходить к задачам, необходимо сформировать навык решения линейных уравнений.

Уравнения – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Корень – число, при подстановке которого в уравнение, получаем верное равенство. Поиск корня уравнения является решением уравнения . Удивительно, но эти определения учащиеся узнают в первом классе, последующие четыре года, закрепляют полученные знания. В итоге, мы получаем, что курс математики в пятых и шестых классах вновь повторяет изученные правила для поиска корней уравнения. Единственное отличие, это сложность самих уравнений. Получается, чтобы решать уравнения необходимо и достаточно знать около шести правил для нахождения неизвестного (слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого, делителя, делимого, множителя). В помощь детям на данном этапе нам нужно предложить следующие схемы:

К сожалению, опытным путем известно, дети, которые отлично выучили правила, не могут их применять при отсутствии понимания расположения объектов в уравнении и их названиях. В целом для пятого класса достаточно знать правил и «названия» чисел в примерах.

Шестой класс добавляет сложности в решений уравнений тем, что появляются отрицательные числа. Необходимо чёткое понимание знаков перед числами. Нужно добиться запоминания, что перед числом всегда есть свой знак или Здесь сразу встает вопрос перед преподавателем, как теперь строить решение уравнений. Через уже известные правила или начинать объяснять детям перенос чисел за знак равенства. Так как появление отрицательных чисел уже само по себе является стрессом для учеников, то путь наименьшего сопротивления – вернуться к известным правилам. (Заметим, что всё зависит от способностей учеников. Нельзя предлагать другие способы решения, если дети не в силах их освоить.) Но возвращение к правилам вызовут трудности в старшем классе с пониманием «переноса числа через знак», поэтому важным является момент обсуждения другого способа решения. Возможно, уже в шестом классе ученики возьмут этот способ на вооружение!

Рассмотрим пример . Ученики пятых/шестых классов скажут:

• является неизвестным уменьшаемым;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое , надо к разности прибавить вычитаемое ;

• – неизвестный множитель ;
• Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение разделить на известный множитель ;

Ученики решают уравнения через правила, они не заметят, что у числа 25 знак при переносе через знак «равно» поменялся на противоположный. На это стоит обращать внимание уже в шестом классе, чтобы в последующем им было легче ориентироваться.

Седьмой класс несет новые усложнения материала. Самым главным является то, к примеру неизвестное ( ) уже может стоять в обеих частях уравнения и на данном этапе воспользоваться правилами у учеников нет возможности. Появляется перенос чисел через знак равенства, появляются ошибки. Чтобы ошибок было меньше необходимо работать с ними больше, если начинать говорить о переносе раньше, чем в седьмом классе, то осознание действия происходит раньше.

Рассмотрим уравнение: Как можно заметить, тут несколько неизвестных и применить правило пятого/шестого класса достаточно проблематично. Здесь, как две аксиомы даются советы учителей:

1. Неизвестные в одну сторону уравнения, известные в другую.
2. При переносе числа через знак равенства его знак меняется на противоположный.

Представим ход решения глазами учеников:

• Переношу неизвестные влево, известные вправо. необходимо перенести влево, вправо.

• неизвестный множитель , чтобы его найти надо произведение разделить на известный множитель .

Видим, что на последнем этапе ученики седьмых классов всё же используют правила, которые изучали до этого. Если они не доведены до автоматизма, то необходимо вновь их выучить.

Есть интересный способ объяснения переноса через знак равенства через «уравнивание» частей. Важным здесь является то, что надо объяснить главный смысл уравнения. Уравнение — значит равенство левой и правой части, а если мы прибавляем к левой части какое-то число, то обязаны прибавить его же и к правой! Рассмотрим уравнение, но постараемся подвести мысль к «уравниванию» частей.

У детей сформировано понятие уравнения вида: , где число. То есть, они привыкли что слева (с одной стороны) должно оставаться неизвестное. Что сейчас мешает нам? Конечно, . А что необходимо сделать, чтобы этого числа не было в левой части? Прибавить ему противоположное, а если мы прибавляем к левой части, то обязаны прибавить и к правой части уравнение тоже самое число.

Этот ход для учеников более понятен и математически обоснован. Его можно сравнить с чашами весов. Где мы добавляем гирю на одну сторону и, чтобы привести весы в равновесие, нам необходимо столько же прибавить и на вторую сторону. И когда этот механизм уже осознан, можно говорить о сокращении записи и подметить тот факт, что справа число 25 отличается тем, что имеет перед собой знак . А значит перенос через знак равенства меняет знак перед числом на противоположный.

Как мы с вами могли заметить, уравнения идут красной нитью по всем классам. С каждым годом усложняя какую-то часть. Необходимо знать о сложностях в изучении данной темы, чтобы знать обходы и способы избегания ошибок. Самое главное в любом классе — это объяснение материала, основанное уже на изученном материале или общеизвестных фактах, подкрепленных экспериментами. Всегда необходимо давать немного больше для размышления ученикам, немного больше, чем предусмотрено программой. Тогда в будущем будет легче самим детям, не говоря уже о преподавателях.

1. Петерсон Л.Г. Учебник «Математика. 1 класс» Издательство «С-инфо».
2. Программы для общеобразовательных учреждений. Алгебра 7 – 9 классы. Составитель Бурмистрова Т.А. – М: Просвещение, 2008.
3. Алгебра 7 класс. 12 сентября. Решение линейных уравнений #2. Развивающее обучение на уроках математики и во внеклассной работе. Андреев Андрей Андреевич. Режим доступа: https://www.youtube.com/watch?v=a0Yd0tejekg
4. Математика. Рабочие программы. Предметная линия учебников «Сферы». 5–6 классы : пособие для учителей общеобразоват. организаций / [Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.]. — 3-е изд. — М. : Просвещение, 2014.
5. Федеральный компонент государственного стандарта основного общего образования по математике

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентапция к уроку математики по теме «Решение уравнений»в 5, 6 классах

Презентация составлена к уроку математики в 5,6 классах (класс — комплект) малокомплектной школы по проблеме разновозрастного убучения в сельской малокомплектной школе.

Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс

Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм.

Конспект урока. Тема: «Решение уравнений высших степеней» 8 класс

Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал.

Презентация по теме «Решение уравнений. Раскрытие скобок», 6 класс

Презентация по теме «Решение уравнений. Раскрытие скобок», 6 класс.

Урок-защита проектов «Решение уравнений высших степеней» 9 класс

Конспект урока по алгебре в 9 классе «Решение уравнений высших степеней», на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, .

Элективный курс «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» 11 класс

Настоящая программа составлена для выпускников 11 класса и рассчитана на 35 часов в год (1 час в неделю). Программа состо.

Контрольная работа по теме «Решение уравнений второй степени» (9 класс)

В контрольну работу включены системы уравнений второй степени, для решения которых используются различные методы. Контольная работа составлена для базового уровня сложности. Представлены 2 варианта ра.

Типичные ошибки учащихся при решении и упрощении уравнений.

Проблемы обучения в 5-7 классах

( в помощь родителям)

1. Ребёнок плохо считает устно.

2. Не умеет решать текстовые задачи.

3. Не умеет вдумчиво читать.

4. Не умеет решать уравнения.

Как решить эти проблемы?

1.Отработать навыки устного счёта.

2. Дать алгоритм решения задач.

3.Читать задачи медленно, 2-3 раза, делая логическое ударение на разные части предложения.

Как правило, учащиеся плохо знают таблицу умножения и плохо считают при переходе через десяток. Для отработки навыков устного счёта можно применять карточки устного счёта. Хороший уровень, если ученик за минуту устно просчитывает 40 примеров по карточке.

Текстовых задач различных видов не так и много. Учим ребёнка составлять краткое условие к задачам в виде таблицы, то есть переводить условие задачи на математический язык.

1. Задачи на приведение к единице.

2. Как найти числа по их сумме и разности.

3. Как найти числа по их сумме и частному.

4. Как найти числа по их разности и частному.

5. Задачи на пропорциональное деление.

6. Задачи на покупку.

7. Задачи на работу.

8. Задачи на движение.

9. Задачи на дроби и проценты.

Как решать задачу?

1. Составить краткую запись. Для этого выяснить, что происходит в задаче? О каких величинах говорится. Сколько ситуаций (видов предметов) рассматривается? Указываем числовые характеристики величин и связи между ними.

2. Составить план решения.

3. Записать решение и ответ.

4. Проанализировать задачу, то есть убедиться, что полученное решение соответствует смыслу задачи.

Пример. Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Первый изготовлял в день на 2 детали больше второго и работал 7 дней, а второй – 8 дней. Сколько деталей в день изготовлял каждый рабочий?

Читаем медленно первое предложение и делаем логическое ударение на первую часть.

Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Значит, речь идёт о рабочих, их было 2.

Ещё раз читаем и делаем логическое ударение на другую часть предложения.

Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Значит, рабочие выполнили вместе какую -то работу. И так далее.

О каких величинах говорится в задаче?

1. Об объёме выполненной работы, которая измеряется количеством деталей.

2. О производительности (количество выполненной работы за единицу времени)

3. О времени работы.

Вводим краткие обозначения.

П – производительность. В — время. О – объём выполненной работы.

Зная две из этих величин, всегда можно найти третью. Полезно прописать формулы:

Запомнить из них только первую, а остальные выводить из первой формулы по правилу: как найти неизвестный множитель.

Как правило, меньшую неизвестную величину принимаем за Х.

Пусть второй рабочий изготовлял в день Х деталей.

Расставив данные в таблицу, и применив формулы, находим через Х третью величину, то есть объём выполненной работы каждым рабочим. Теперь устанавливаем связи между найденными величинами. В задаче сказано, что рабочие вместе изготовили 74 детали. То есть речь идёт об объёме выполненной работы. Эту связь записываем под колонкой, где обозначен объём выполненной работы в виде: 1раб+ 2 раб = 74. На основе записанной связи составляем уравнение.

Вспоминаем, что брали за Х.

Четыре детали в день изготовлял второй рабочий, тогда 4+2 = 6 деталей в день изготовлял первый рабочий.

Можно сделать проверку: всё ли соответствует условию задачи.

Ответ: 4детали, 6 деталей.

Типичные ошибки учащихся при решении и упрощении уравнений.

Чтобы избежать эту ошибку, нужно сказать ребёнку, что к числу 7 пришли гости и оно должно поздороваться с каждым.

7(х +2) = 7х + 7*2 = 7х + 14.

2. 7х + 14 + 8х = 74,

Чтобы избежать эту ошибку, нужно придумать на встречающуюся букву слово.

Например, 4k+2m+6m +21k

K – котлеты, m – мухи. Складываем котлеты с котлетами, а мух с мухами.

4k+2m+6m +21k =25k + 8m.

В некоторых задачах на работу объём выполненной работы не измеряется в конкретных единицах, например, в кубических метрах, гектарах, количестве деталей, а говорится о наполнении всего бассейна, об уборке всего поля и так далее. В таких случаях объём выполненной работы принимается за 1.

Пример( № 78 (б), математика, 7 класс, Л.Г. Петерсон, )

На заводе по производству фруктовых напитков резервуар с соком наполняется через две трубы. Через первую трубу пустой резервуар наполняется за 6 часов, а через обе трубы – за 4 часа. За сколько часов будет наполнен этот резервуар, если он будет наполняться через одну вторую трубу?

Читаем медленно каждое предложение 2 – 3 раза. Из первого предложения выясняем, что речь идёт о резервуаре, который наполняется через 2 трубы. Читая далее, выясняем, что возможны три ситуации: резервуар может наполняться только через первую трубу, только через вторую трубу и через две трубы вместе. Записываем:

1 труба + 2 труба.

Речь идёт о работе, а работа характеризуется величинами: производительность, время, объём выполненной работы.

Так как первая труба весьрезервуар заполняет за 6 часов, то объём выполненной работы принимается за 1. Аналогично, объём работы двух труб за 4 часа тоже равен 1. Зная две величины можно найти третью.

1) 1: 6 = 1/6 часть резервуара заполняет первая труба за час.

2) 1: 4 = 1/4 часть резервуара заполняется двумя трубами за час.

3) 1/4 – 1/6 = 1/12 часть резервуара заполняется второй трубой за час.

4) 1 : 1/12=12 часов.

Ответ: за 12 часов заполнит резервуар вторая труба.

Желаю родителям терпения, удачи. Если есть вопросы, то задавайте.

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения \(\left| x-1\right|\cdot \sqrt=x-1\) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-3 \right)=\left(x-1 \right)^2;\)

\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-3 \right)-\left(x-1 \right)^2=0;\)

\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-4 \right)=0;\)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение \(5 \left(x-3 \right)^<1/4>-6=\left(x-3 \right)^<1/2>.\)

L Неправильное решение.

Сделав замену \( \left(x-3 \right)^<1/2>=t\), считают, что \( \left(x-3 \right)^<1/4>=t^2\) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену \( \left(x-3 \right)^<1/4>=t\), тогда \( \left(x-3 \right)^<1/2>=t^2\) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение \(x^2-4x-\sqrt<2x^2-8x+12>=6.\)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение \(\sqrt=9.\)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение \(\sqrt<(x+3)^2>=x+3.\)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение \(\left(\log_5 +2 \right)<\log _<5>>^2 \;x=0.\)

L Неправильное решение.

\(\left(1 +2 \log _<5>x\right)\log _<5>x=0;\)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение \(20\log_<4x>\sqrt+ 7\log_<16x>x^3-3\log _x^2=0.\)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .