Типовые линейные звенья основные уравнения переходные характеристики

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.2 Простейшие типовые звенья

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

Тема сегодняшней статьи:
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.

Хочешь вкусить плодов познания? — Грызи гранит науки!

Понятие “типовые звенья” в теории управления техническими системами, в основном, связано с описанием САУ (САР) в переменных “вход – выход”, т.е. описание систем в передаточных функциях. Любую линейную САУ (САР) или линеаризованную САР можно структурно расчленить на простейшие элементы (звенья), соединенные между собой соответствующими последовательными, параллельными связями, местными и локальными обратными связями, сумматорами, сравнивающими устройствами и т.д.

Достигнуто общепринятое соглашение, что наиболее удобно расчленять структурную схему САР на звенья 1-го и 2-го порядков. Принято называть такие простейшие звенья типовыми.

С другой стороны, реальная линеаризованная (линейная) система состоит из набора отдельных узлов и агрегатов, соединенных соответствующими связями, причем порядок уравнений динамики вышеуказанных узлов и агрегатов может быть и выше второго. В этом случае звенья (узлы и агрегаты) САР можно классифицировать по их свойствам.

Различают 3 типа звеньев:

Существуют также особые звенья, которые будут рассмотрены позднее.

Учитывая, что передаточная функция линейного (линеаризованного) звена может быть записана как:

где: и — полиномы по степеням s, причем коэффициенты при низшей степени s в полиномах , равны 1, классификацию на типы звеньев можно объяснить видом полиномов или (что эквивалентно) видом коэффициентов в соответствующих уравнениях динамики звена.
Подробнее о передаточной функции см. здесь.

Позиционным звеном считают звено, в котором полиномы N(s) и L(s) содержат свободные члены (равные 1). Например:

или в уравнении динамики (x(t) – входной сигнал, y(t) – выходной):

Из типовых звеньев (1-го и 2-го порядка) к позиционным звеньям относятся: идеальное усилительное звено, апериодические звенья 1-го и 2-го порядка, колебательное звено и форсирующее звено.

Дифференцирующим звеном считается звено, в котором полином L(s) содержит свободный член (равный 1), а полином N(s) не содержит свободного члена ().
Например:

или в уравнении динамики:

Из типовых звеньев к дифференцирующим звеньям относятся идеальное дифференцирующее звено, инерционно-дифференцирующее звено.

Интегрирующим звеном считается звено, в котором полином N(s) содержит свободный член (), а полином L(s), не содержит свободного члена (). Например:

или в уравнении динамики:

Из типовых звеньев к интегрирующим звеньям относятся идеальное интегрирующее звено, инерционно–интегрирующее звено.

Пример переходного процесса при единичном ступенчатом воздействии на три разных звена, приведенных выше:

3.2.1. Идеальное усилительное звено

Уравнение динамики каждого звена имеет вид: , т.е. уравнение не является дифференциальным, следовательно, данное звено является безынерционным.

Переходя к изображениям , получаем:
– уравнение динамики звена в изображениях.
Передаточная функция идеального усилительного звена:

АФЧХ не зависит от ω, поскольку:

Рисунок 3.2.1 АФЧХ идеального усилительного звена

Годограф АФЧХ “вырождается” в точку: U(ω) =K; V(ω) =0;
A(ω) ≡modW(iω) =│W(iω)│=K =>
Lm(ω)=20lgA(ω) =20lgK; =>
φ(ω) = const = 0 т.е. фазового сдвига нет. Следовательно, данное звено является безынерционным, чисто усилительным звеном.

Рисунок 3.2.4 ЛАХ идеального усилительного звена

Найдем весовую w(t) и переходную h(t) функции звена (подробнее см. здесь).
Весовая функция:

3.2.2. Идеальное дифференцирующее звено

Уравнение динамики звена имеет вид:

где: – постоянная времени.

Переходя к изображениям:

Уравнение динамики звена в изображениях:

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена:

Графики годографа АФЧХ, A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ::

Из рисунка 3.2.9 видно, что данное звено обеспечивает опережение по фазе на /2 (при любой частоте входного сигнала).

Чем выше частота единичного гармонического сигнала на входе в звено, тем выше амплитуда выходного сигнала в установившемся режиме.

Найдем весовую функцию звена:

Учитывая, что δ(t) имеет вид как на рис.3.2.11 (зависимость показана утрированно), а весовая функция пропорциональна производной от δ(t):

Найдем переходную функцию звена:

Иногда идеальное дифференцирующее звено представляется в виде или . В последнем варианте коэффициент К имеет смысл постоянной времени.

3.2.3. Идеальное интегрирующее звено

Уравнение динамики такого звена имеет вид:

или в изображениях:

Передаточная функция идеального интегрирующего звена:

Умножая числитель и знаменатель на i, получаем:

Годограф АФЧХ имеет вид:

Данное звено всегда дает отставание по фазе на угол .

Найдем весовую функцию звена:

Найдем переходную функцию звена:

Примерами устройств, близких к идеальному усилительному звену, можно считать: широкополосный электронный усилитель (приближенно), механический редуктор без учета инерционности и нелинейных эффектов, жесткую механическую муфту и т.д.

Примером идеального дифференцирующего звена можно считать тахогенератор:

где u(t) – напряжение на клеммах тахогенератора, φ(t) – угол поворота якоря (ротора) тахогенератора.

Примером идеального интегрирующего звена можно считать большинство электродвигателей (без учета инерционности якоря), где входным воздействием считать напряжение в обмотке возбудителя (двигателем постоянного тока), а выходным воздействием – угол поворота выходного вала.

Пример интегрирующего и дифференцирующего звена на основе конденсатора

Один и тот же технический элемент, с точки зрения теории автоматического управления, может выступать как в качестве интегрирующего, так и в качестве дифференцирующего звена.

В качестве примера интегрирующего звена можно рассмотреть конденсатор, где входным воздействием является ток, а выходным результатом является напряжение на клеммах конденсатора. Действительно, при малом токе и большой емкости конденсатора, в случае ступенчатого изменения тока с 0, мы получаем график напряжения, совпадающий по форме с переходной функцией интегрирующего звена. На рисунке 3.2.20 представлена такая модель, где ток ступенькой меняется на пятой секунде расчета.

Если построить с помощью гармонического анализатора ЛАХ и ФЧХ, мы увидим, что угол наклона ЛАХ составляет -20 dB/dec, а угол сдвига фазы равен — или -90 градусов на графике (см. рис. 3.2.21).

Тот же самый конденсатор, при определенных параметрах сети, может выступать в качестве идеального дифференцирующего звена, если в качестве входного воздействия подавать напряжение, а в качестве результирующей величины использовать ток в цепи.

Электрическая схема использования конденсатора в качестве дифференцирующего звена с гармоническим анализатором приведена на рисунке 3.2.22. На графиках гармонического анализатора видно, что угол наклона ЛАХ составляет 20 dB/dec, а угол сдвига фазы равен или 90 градусов на графике.

Примеры моделей, использованные в данной лекции, можно взять в этом архиве.

Типовые динамические звенья

Типовые звенья САУ и их характеристики

Типовые динамические звенья

Типовым динамическим звеном САУ является составная часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звено, как правило, имеет один вход и один выход. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.
Позиционными звеньями являются такие звенья, у которых в установившемся режиме наблюдается линейная зависимость между входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала сигнал на выходе также стремится к постоянному значению.
Дифференцирующими являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производной по времени от входного сигнала.
Интегрирующими являются такие звенья, у которых выходной сигнал пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его передаточная функция или дифференциальное уравнение. Кроме того, звенья имеют временные и частотные характеристики.
Наличие нулевых корней в числителе или знаменателе ПФ типовых звеньев — это признак для разбиения последних на три группы:

Позиционные звенья: 1, 2, 3, 4, 5, — не имеют нулевых корней, и, следовательно, в области низких частот (т.е. в установившемся режиме), имеют коэффициент передачи равный k.
Интегрирующие звенья: 6, 7, 8, — имеют нулевой корень-полюс, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к бесконечности.
Дифференцирующие звенья: 9, 10 — имеют нулевой корень-ноль, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к нулю.

6.2. Типы объектов и законы регулирования

В зависимости от величины самовыравнивания различают три типа объектов управления: устойчивый (с положительным самовыравниванием); нейтральный (с нулевым самовыравниванием); неустойчивый (с отрицательным самовыравниванием). Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак перед самой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателя передаточной функции (наличие положительного полюса).

Под законом регулирования (управления) понимается алгоритм или функциональная зависимость, определяющая управляющее воздействие u(t) на объект:
u(t) = F(Δ) , где Δ — ошибка регулирования.
Законы регулирования бывают:
— линейные:
или (3.1)
— нелинейные: .
Кроме того, законы регулирования могут быть реализованы в непрерывном виде или в цифровом. Цифровые законы регулирования реализуются путем построения регуляторов с помощью средств вычислительной техники (микро ЭВМ или микропроцессорных систем).
Наличие в (3.1) чувствительности регулятора к пропорциональной, к интегральным или к дифференциальным составляющим в первичной информации x(t), определяет тип регулятора:
1. P — пропорциональный;
2. I — интегральный;
3. PI — пропорционально интегральный (изодромный);
4. PD — пропорционально дифференциальный;
5. и более сложные варианты — PID, PIID, PIDD, .
Нелинейные законы регулирования подразделяются на:
1. функциональные;
2. логические;
3. оптимизирующие;
4. параметрические.
В составе структуры САУ содержится управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления, путем выработки управляющего воздействия U в зависимости от ошибки (отклонения), т.е. U = f(Δ). Закон регулирования определяет вид этой зависимости без учёта инерционности элементов регулятора. Закон регулирования определяет основные качественные и количественные характеристики систем.

6.4. Временные характеристики звеньев САУ

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции.
Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или отдельного звена W(р) и известен входной сигнал X(t), то выходной сигнал Y(t) определяется следующим соотношением:

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t). Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно. В данном разделе представлена таблица 3.1 переходов для наиболее распространенных случаев.
Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно 1/p, то изображение переходной функции определяется соотношением:

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнять переход от изображения к оригиналу.
Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.
Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

Таблица 3.1

Изображение по Лапласу и оригиналы

Изображение	Оригинал f(t)

Передаточные функции и временные характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Временные характеристики типовых звеньев

Тип звена

Передаточные функции

Временные функции

Позиционные звенья

Усилительное

Апериодическое 1-го порядка

Апериодическое 2-го порядка T₁≥2T₂

Колебательное 0 jφ(ω) (3.2)

, где — модуль; — аргумент частотной передаточной функции.

Функция A(ω), представленная при изменении частоты от 0 до получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).
Функция Φ(ω), представленная при изменении частоты от 0 до называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Таким образом, дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.
Частотная передаточная функция W(jω) может быть представлена на комплексной плоскости. Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САУ к входному, представленных в комплексной форме будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или годограф Найквиста. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного — АЧХ, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка — ФЧХ. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.
Для упрощения графического представления частотных характеристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.ч.х.) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (л.ф.ч.х.). При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо ω откладывается lg(ω) и единицей измерения является декада. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз. При построений л.а.ч.х. на оси ординат единицей измерения является децибел [дБ], который представляет собой соотношение L=20 lg А( ω). Один децибел представляет собой увеличение амплитуды выхода в раз. Верхняя полуплоскость л.а.х. соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость — значениям А 0, r>0, T>0, 0

\|	следующая лекция ==>
Статические и динамические характеристики САУ. Уравнения динамики САУ в векторно-матричной форме	\|	Устойчивость работы линейных САУ

Дата добавления: 2016-06-02 ; просмотров: 5261 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Типовые звенья линейных САУ

СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ САУ

Типовые звенья линейных САУ

Любые сложные САУ могут быть представлены как совокупность более простых элементов (вспомним функциональные и структурные схемы). Поэтому для упрощения исследования процессов в реальных системах они представляются в виде совокупности идеализированных схем, которые точно описываются математически и приближенно характеризуют реальные звенья систем в определенном диапазоне частот сигналов.

При составлении структурных схем вводятся некие типовые элементарные звенья (простые, далее не делимые), характеризующиеся только своими передаточными функциями, вне зависимости от их конструктивного исполнения, назначения и принципа действия. Классифицируют их по видам уравнений описывающих их работу. В случае линейных САУ различают следующие типы звеньев:

1.Описываемые линейными алгебраическими уравнениями относительно выходного сигнала:

а) пропорциональное (статическое, безынерционное);

2.Описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами:

б) инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее);

в) инерционное (апериодическое);

г) интегрирующее (астатическое);

д) интегро-дифференцирующее (упругое).

3.Описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами:

а) инерционное звено второго порядка (апериодическое звено второго порядка, колебательное).

Используя математический аппарат, изложенный выше, рассмотрим передаточные функции, переходные и импульсные переходные (весовые) характеристики, а также частотные характеристики этих звеньев.

Приведем формулы, которые будут использованы для этой цели.

1. Передаточная функция: .

2. Переходная характеристика: .

3. Импульсная переходная характеристика : или .

4. КЧХ: .

5. Амплитудная частотная характеристика: ,

где , .

6. Фазовая частотная характеристика: .

По этой схеме и исследуем типовые звенья.

Заметим, что хотя для некоторых типовых звеньев n (порядок производной выходного параметра в левой части уравнения) равняется m (порядок производной входного параметра в правой части уравнения), а не больше m, как говорилось ранее, однако при конструировании реальных САУ из этих звеньев условие m

(3.1)

где k — коэффициент пропорциональности или передачи звена.

Примерами такого звена являются: а) клапаны с линеаризованными характеристиками (когда изменение расхода жидкости пропорционально степени изменения положения штока) в рассмотренных выше примерах систем регулирования; б) делитель напряжения; в) рычажная передача и др.

Переходя в (3.1) к изображениям, имеем:

1. Передаточная функция: .

2. Переходная характеристика: , следовательно .

3. Импульсная переходная характеристика: .

4. КЧХ: .

5. АЧХ: .

6. ФЧХ: .

Принятое описание связи между входом и выходом справедливо только для идеального звена и соответствует реальным звеньям лишь при низких частотах, . При в реальных звеньях коэффициент передачи k начинает зависеть от частоты и при высоких частотах падает до нуля.

Запаздывающее звено. Это звено описывается уравнением

, (3.2)

где – время запаздывания.

Примером запаздывающего звена служат: а) длинные электрические линии без потерь; б) длинный трубопровод и др.

Передаточная функция, переходная и импульсная переходная характеристика, КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ этого звена:

1. .

2. , значит: .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.1 изображены: а) годограф КЧХ запаздывающего звена; б) АЧХ и ФЧХ запаздывающего звена. Заметим, что при увеличении конец вектора описывает по часовой стрелке все возрастающий угол.

Рис.3.1. Годограф (а) и АЧХ, ФЧХ (б) запаздывающего звена.

Интегрирующее звено. Это звено описывается уравнением

где — коэффициент передачи звена.

Примерами реальных элементов, эквивалентные схемы которых сводятся к интегрирующему звену, являются: а) электрический конденсатор, если считать входным сигналом ток, а выходным – напряжение на конденсаторе: ; б) вращающийся вал, если считать входным сигналом угловую скорость вращения, а выходным – угол поворота вала: ; и т.д.

Определим характеристики данного звена:

1. .

2. .

Воспользуемся таблицей преобразования Лапласа 3.1, получаем:

Умножаем на так как функция при .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.2 показаны: а) годограф КЧХ интегрирующего звена; б) АЧХ и ФЧХ звена; в) переходная характеристика звена.

Рис.3.2. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б), переходная характеристика (в) интегрирующего звена.

Дифференцирующее звено. Это звено описывается уравнением

, (3.4)

где – коэффициент передачи звена.

Найдем характеристики звена:

1. .

2. , учитывая, что , находим: .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.3 показаны: а) годограф звена; б) АЧХ и ФЧХ звена.

Рис. 3.3. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б) дифференцирующего звена.

Примером дифференцирующего звена являются идеальный конденсатор и индуктивность. Это следует из того, что напряжение u и ток i связаны для конденсатора С и индуктивности L соответственно следующими соотношениями:

, .

Отметим, что реальная емкость обладает небольшой емкостной индуктивностью, реальная индуктивность имеет межвитковую емкость (которые особенно сильно проявляются на больших частотах), что приводит указанные выше формулы к следующему виду:

, .

Таким образом, дифференцирующее звено не может быть технически реализовано, так как порядок правой части его уравнения (3.4) больше порядка левой части. А нам известно, что должно выполняться условие n > m или, в крайнем случае, n = m.

Однако можно приблизиться к этому уравнению данного звена, использовав инерционно-дифференцирующее(реальное дифференцирующее)звено.

Инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее) звено описывается уравнением:

, (3.5)

где k — коэффициент передачи звена, Т — постоянная времени.

Передаточная функция, переходная и импульсная переходная характеристики, КЧХ, АЧХ и ФЧХ этого звена определяются формулами:

1. .

2. .

Используем свойство преобразования Лапласа – смещение изображения (3.20), согласно которому: если , то .

Отсюда: .

3. .

4. .

5. .

6. .

На рис.3.4 приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

Рис.3.4. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена.

Для того чтобы свойства реального дифференцирующего звена приближались к свойствам идеального, необходимо одновременно увеличивать коэффициент передачи k и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение оставалось постоянным:

где k_д – коэффициент передачи дифференцирующего звена.

Отсюда видно, что в размерность коэффициента передачи k_д дифференцирующего звена входит время.

Инерционное звено первого порядка (апериодическое звено) одно из самых распространенных звеньев САУ. Оно описывается уравнением:

, (3.6)

где k – коэффициент передачи звена, Т – постоянная времени.

Характеристики данного звена определяются формулами:

1. .

2. .

Пользуясь свойствами интегрирования оригинала и смещением изображения имеем:

3. , т.к. при , то на всей временной оси данная функция равна 0 ( при ).

4. .

5. .

6. .

На рис.3.5 показаны: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

Рис.3.5. Годограф (а), АЧХ и ФЧХ инерционного звена первого порядка.

Интегро-дифференцирующее звено. Это звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде:

, (3.7)

где k — коэффициент передачи звена, Т₁ и Т₂ — постоянные времени.

В зависимости от значения t звено будет обладать различными свойствами. Если , то звено по своим свойствам будет приближаться к интегрирующему и инерционному звеньям. Если , то данное звено по свойствам будет ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему.

Определим характеристики интегродифференцирующего звена:

1. .

2. , отсюда следует:

, т.к. при t ® 0, то:

4. .

5. .

6. .

На рис.3.6. приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ; в) ФЧХ; г) переходная характеристика звена.

Рис.3.6. Годограф (а), АЧХ (б), ФЧХ (в), переходная характеристика (г) интегродифференцирующего звена.

Инерционное звено второго порядка. Это звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

, (3.8)

где (капа) – постоянная затухания; Т — постоянная времени, k — коэффициент передачи звена.

Реакция системы, описываемой уравнением (3.8), на единичное ступенчатое воздействие при представляет собой затухающие гармонические колебания, в этом случае звено еще называется колебательным. При колебания не возникнут, и звено, описываемое уравнением (3.8) называется апериодическим звеном второго порядка. Если , то колебания будут незатухающими с частотой .

Примером конструктивного выполнения данного звена могут служить: а) электрический колебательный контур, содержащий емкость, индуктивность и омическое сопротивление; б) масса, подвешенная на пружине и имеющая демпфирующее устройство, и т.д.

Определим характеристики инерционного звена второго порядка:

1. .

2. .

Корни характеристического уравнения стоящего в знаменателе определяются:

Очевидно, что здесь возможно три случая:

1) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные разные и , тогда переходная характеристика определяется:

;

2) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные одинаковые :

;

3) при корни характеристического уравнения звена являются комплексно—сопряженными , причем

, , (3.9)

переходная характеристика определяется формулой:

т.е., как отмечалось выше, она приобретает колебательный характер.

3. Также имеем три случая:

1) ,

т.к. при ;

2) , т.к. при ;

3) , т.к. при .

4. .

5. .

6. ,

где а = 0 при и а = 1 при (см. формулу (3.77)).

Рис.3.7. График КЧХ (а) и переходная характеристика (б) звена.

На рис.3.7, а, б показан типичный вид КЧХ и переходных характеристик для случаев и . Согласно рисунку уменьшение значения приводит к тому, что петля, очерченная концом вектора , увеличивается. При , т.е. при наличии в системе незатухающих колебаний, петля вырождается в две полупрямые: первая от =k при до при (приближаемся слева, т.е. и ) и вторая от при (приближаемся справа, т.е. и ) до при .

На рис.3.8 показаны соответствующие АЧХ и ФЧХ. Здесь – безразмерная частота.

Рис.3.8. АЧХ (а) и ФЧХ (б) звена.

Как видим, колебательному характеру переходной характеристики соответствует наличие в графике АЧХ резонансного пика при частоте резонанса . Отношение максимального (пикового) значения АЧХ к ее значению при нулевой частоте получило название частотного показателя колебательности:

. (3.10)

Продифференцируем выражение для АЧХ этого звена по , и приравняем производную к нулю. В результате получим выражение для резонансной частоты системы

при условии , (3.11)

Из (3.11) следует, что при резонансная частота , а, согласно формуле для АЧХ, при этом .

Подстановка (3.11) и выражения для АЧХ в (3.10) приводит к следующей формуле для определения частотного показателя колебательности:

при условии . (3.12)

Об интенсивности затухания колебаний можно судить также и по корневому показателю колебательности, который равен отношению абсолютного значения вещественной части корней к их мнимой части:

С учетом (3.9) корневой показатель колебательности т рассматриваемого звена можно выразить через коэффициенты его уравнения:

. (3.13)

Приняв во внимание (3.12), можно установить связь т с частотным показателем колебательности M:

. (3.14)

На практике интенсивность затухания колебаний в колебательном звене удобно характеризовать относительным уменьшением соседних амплитуд и переходной характеристики (рис.3.7, б):

. (3.15)

Этот показатель получил название степени затуханияколебаний.

Поскольку переходная характеристика колебательного звена определяется формулой:

то можно записать:

, (3.16)

где — период собственных колебаний звена.

С учетом этого формулу (3.15) можно представить следующим образом:

. (3.17)

Таким образом, степень затухания однозначно связана с корневым показателем колебательности т,а, следовательно, и с частотным показателем колебательности М.

источники:

http://helpiks.org/8-26327.html

http://lektsii.org/14-69681.html