Типы особых точек системы уравнений

Классификация фазовых портретов

В первую очередь выделяются точки равновесного состояния системы, в которых в (2.11) и которые определяются из решения системы нелинейных уравнений

(2.15)

В этих точках правая часть уравнения (2.13) является неопределенностью вида . Поэтому точки равновесного состояния еще называют особыми точками на фазовой плоскости. Особые точки классифицируются по их типу для линейных систем. В линейном случае в (2.10) , , где – постоянные коэффициенты, и особая точка будет единственной , , т.е. начало координат на фазовой плоскости. Тип особой точки определяют корнями характеристического уравнения линейной системы

. (2.16)

Различают восемь типов особых точек:

1. устойчивый узел – два различных действительных отрицательных корня;

2. вырожденный устойчивый узел – два равных действительных отрицательных корня;

3. устойчивый фокус – два комплексно-сопряженных корня с отрицательными действительными частями;

4. центр – два чисто мнимых корня;

5. неустойчивы узел – два различных действительных положительных корня;

6. вырожденный неустойчивый узел – два равных действительных положительных корня;

7. неустойчивый фокус – два комплексно-сопряженных корня с положительными действительными частями;

8. седло – два различных действительных корня с разными знаками.

Фазовые портреты линейных систем с соответствующим типом особой точки приводятся в [4, 6, 7]. Например, для точки типа центр фазовые траектории – это симметричные эллипсы на плоскости , охватывающие начало координат. Для точек типа устойчивый и неустойчивый фокус – это логарифмические спирали, соответственно скручивающиеся к началу координат и раскручивающиеся.

Отметим, что первые три типа точек соответствуют устойчивой линейной системе, четвертый тип – нейтральной или находящейся на границе устойчивости системе, а все точки, начиная с четвертого типа и далее, относятся к неустойчивой линейной системе.

Классификацию особых точек нелинейных систем производят по линеаризованной модели нелинейной системы вблизи исследуемой особой точки. Из уравнений (2.15) после их решения находим координаты особой точки , (таких точек может быть несколько и даже бесчисленное множество).

Исходное уравнение (2.11) подвергаем линеаризации относительно найденных координат , путем разложения функций , в ряд Тейлора [1]. В результате будем иметь уравнения первого приближения

где , , а коэффициенты определяются следующим образом

. (2.17)

Подставляем найденные в (2.16), определяем вид корней уравнения (2.16) и тип особой точки нелинейной системы. Если особых точек несколько, процедуру проделываем для каждой особой точки.

Кроме особых точек фазовые портреты нелинейных систем могут иметь еще особые кривые (траектории), что не характерно для линейных систем. Из особых кривых выделим в первую очередь два типа: сепаратрисы и предельные циклы. Сепаратриса – это особая кривая, которая разделяет на фазовой плоскости области с разными типами фазовых траекторий. Предельные циклы – это замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам.

Предельный цикл называется устойчивым предельным циклом, если все фазовые траектории, начинающиеся внутри и за пределами предельного цикла с течением времени стремятся к нему (навиваются на него изнутри и снаружи). Если фазовые траектории снаружи либо изнутри с течением времени удаляются от него, то будем иметь неустойчивый предельный цикл.

Устойчивый предельный цикл (устойчивый периодический процесс) физически соответствует возникновению в системе автоколебаний, которые могут возникать при отсутствии внешнего воздействия, причем их амплитуда и частота не зависит от начальных условий, а определяются внутренними свойствами.

Например, в линейной системе возможен периодический (гармонический) режим рис. 2.3, 2.4 (кривые 1), однако он не является автоколебанием, т.к. его амплитуда зависит от начальных условий.

На рис. 2.5 представлены примеры фазовых портретов нелинейной системы, где жирными линиями выделены предельные циклы. На рис. 2.5 а предельный цикл является устойчивым (автоколебание), а положение равновесия (начало координат) неустойчиво. Вариант рис. 2.5 б дает неустойчивый предельный цикл, а положение равновесия устойчиво. Наконец, в варианте рис. 2.5 в внешний предельный цикл устойчивый (автоколебание), внутренний неустойчив, а положение равновесия устойчиво.

Пример 2.2. Рассмотрим нелинейную систему [7], описываемую уравнениями

Уравнения фазовых траекторий будут

Особые точки найдем из решения системы уравнений

Это особые точки с координатами (0, 0), (1, -1), (-1, 1).

Исследуем первую особую точку (начало координат) , , для которой нетрудно найти (2.17) , , , , а уравнение (2.16) соответственно будет .

Корни этого уравнения будут чисто мнимые , . В соответствии с классификацией особая точка – начало координат будет типа центр. Аналогично, можно показать, что две другие особые точки (1,-1), (-1,1) будут типа седло. На рис. 2.6 дан общий фазовый портрет системы, где жирным выделены кривые, которые являются сепаратрисами.

ЛЕКЦИЯ 4

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.

Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример: химические реакции первого порядка.

Наиболее интересные результаты по качественному моделированию свойств биологических систем получены на моделях из двух дифференциальных уравнений, которые допускают качественное исследование с помощью метода фазовой плоскости. Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида

(4.1)

P(x,y), Q(x,y) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости ( x,y ‑ декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные x, y имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов) чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или площадью ареала обитания. Тогда область значений переменных имеет вид:

Переменные x, y во времени изменяются в соответствии с системой уравнений (4.1), так что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных ( x, y) .

Изображающая точка на фазовой плоскости

Обратно, каждой паре переменных ( x, y) соответствует определенное состояние системы.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x,y. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(x,y) называется изображающей или представляющей точкой.

Пусть в начальный момент времени t=t₀ координаты изображающей точки М₀( x( t₀) , y( t₀)) . В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x( t) , y( t) . Совокупность точек М( x( t) , y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям (4.1), называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый «портрет» системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x, y без знания аналитических решений исходной системы уравнений (4.1).

Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение D t>0, получим соответствующие приращения D x и D y из выражений:

Направление вектора dy/dx в точке ( x, y) зависит от знака функций P(x, y), Q(x, y) и может быть задано таблицей:

Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе из уравнений системы (4.1) на первое:

. (4.2)

Решение этого уравнения y = y( x, c) , или в неявном виде F( x,y) =c, где с – постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (4.2) ‑ фазовых траекторий системы (4.1) на плоскости x, y.

Для построения фазового портрета пользуются методом изоклин – на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Уравнение изоклин легко получить из (4.2). Положим

где А – определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории и может принимать значения от – ¥ до + ¥ . Подставляя вместо dy/dx в (4.2) величину А получим уравнение изоклин:

. (4.3)

Уравнение (4.3) определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой за исключением точки, где P (x,y) = 0, Q ( x,y) = 0, в которой направление касательной становится неопределенным, так как при этом становится неопределенным значение производной:

.

Эта точка является точкой пересечения всех изоклин – особой точкой. В ней одновременно обращаются в нуль производные по времени переменных x и y.

Таким образом, в особой точке скорости изменения переменных равны нулю. Следовательно, особая точка дифференциальных уравнений фазовых траекторий (4.2) соответствует стационарному состоянию системы (4.1), а ее координаты – суть стационарные значения переменных x, y.

Особый интерес представляют главные изоклины:

dy/dx=0, P ( x,y) =0 – изоклина горизонтальных касательных и

dy/dx= ¥ , Q ( x,y) =0 – изоклина вертикальных касательных.

Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (x,y), координаты которой удовлетворяют условиям:

мы найдем тем самым точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым траекториям неопределенно. Это – особая точка, которая соответствует стационарному состоянию системы (рис. 4.2).

Система (4.1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости.

Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга только началом отсчета времени.

Рис. 4.2. Пересечение главных изоклин на фазовой плоскости.

Таким образом, фазовые траектории системы – это проекции интегральных кривых в пространстве всех трех измерений x, y, t на плоскость x, y (рис.4.3).

Рис. 4.3. Траектории системы в пространстве ( x, y, t).

Если условия теоремы Коши выполнены, то через каждую точку пространства x, y, t проходит единственная интегральная кривая. То же справедливо, благодаря автономности, для фазовых траекторий: через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория.

Устойчивость стационарного состояния

Пусть система находится в состоянии равновесия.

Тогда изображающая точка находится в одной из особых точек системы, в которых по определению:

.

Устойчива или нет особая точка, определяется тем, уйдет или нет изображающая точка при малом отклонении от стационарного состояния. Применительно к системе из двух уравнений определение устойчивости на языке e , d выглядит следующим образом.

Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений от состояния равновесия ( e ) можно указать область d ( e ) , окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория, которая начинается внутри области d , никогда не достигнет границы e . (рис. 4.4)

Иллюстрация к определению устойчивости области e и d на плоскости ( x,y)

Для большого класса систем – грубых систем – характер поведения которых не меняется при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведения в окрестности стационарного состояния можно получить, исследуя не исходную, а упрощенную линеаризованную систему.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений:

. (4.4)

Здесь a, b, c, d — константы, x, y ‑ декартовы координаты на фазовой плоскости.

Общее решение будем искать в виде:

. (4.5)

Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на e l t :

(4.6)

Алгебраическая система уравнений (4.6) с неизвестными A, B имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:

.

Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы:

. (4.7)

Решение этого уравнения дает значения показателя l _1,2 , при которых возможны ненулевые для A и B решения уравнения (4.6). Эти значения суть

. (4.8)

Если подкоренное выражение отрицательно, то l _1,2 комплексно сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (4.7) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (4.4) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями l ₁ , l ₂ :

_(4.9)

Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат, которое позволит привести систему к каноническому виду:

, (4.10)

допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (4.4). Введем новые координаты ξ , η по формулам:

(4.1)

Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительных частей l ₁ , l ₂ исходную систему (4.4) при помощи преобразований (4.11) всегда можно преобразовать к каноническому виду (4.10) и изучать ее поведение на фазовой плоскости ξ , η . Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.

Корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и одного знака

В этом случае коэффициенты преобразования действительны, мы переходим от действительной плоскости x,y к действительной плоскости ξ, η. Разделив второе из уравнений (4.10) на первое, получим :

. (4.12)

Интегрируя это уравнение, находим :

, где . (4.13)

Условимся понимать под λ ₂ корень характеристического уравнения с большим модулем, что не нарушает общности нашего рассуждения. Тогда, поскольку в рассматриваемом случае корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и одного знака, a >1 , и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа.

Все интегральные кривые (кроме оси η, которой соответствует ) касаются в начале координат оси ξ, которая также является интегральной кривой уравнения (4.11). Начало координат является особой точкой.

Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовых траекторий. Если λ ₁ , λ ₂ – отрицательны, то, как видно из уравнений (4.10), |ξ|, |η| убывают с течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его. В противном случае это противоречило бы теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория.

Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол проходит через начало координат, носит название узла (рис. 4.5)

Рис. 4.5. Особая точка типа узел на плоскости канонических координат ξ, η

Состояние равновесия типа узел при λ ₁ , λ ₂ 0 устойчиво по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Это устойчивый узел. Если же λ ₁ , λ ₂ > 0, то |ξ|, |η| возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случае особая точка – неустойчивый узел .

На фазовой плоскости x, y общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится, но касательные к интегральным кривым не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных будет определяться соотношением коэффициентов α , β , γ , δ в уравнениях (4.11).

Корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и разных знаков.

Преобразование от координат x,y к координатам ξ, η опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (4.10), но теперь знаки λ ₁ , λ ₂ различны. Уравнение фазовых траекторий имеет вид :

где , (4.14)

Интегрируя (4.14), находим

(4.15)

Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе оси координат – асимптоты (при a=1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол) . Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми – это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Каждая из них состоит из трех фазовых траекторий : из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые – суть гиперболы, не проходящие через начало координат (рис. 4.6) Такая особая точка носит название «седло ». Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым траекториям в окрестности седла.

Рис. 4.6. Особая точка типа седло на плоскости канонических координат ξ , η

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, λ ₁ >0 , λ ₂ . Тогда изображающая точка, помещенная на оси ξ, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси η – будет неограниченно приближаться к началу координат , не достигая его за конечное время . Где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте η =0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке .

Очевидно, что особая точка типа седла всегда неустойчива . Только при специально выбранных начальных условиях на асимптоте η =0 система будет приближаться к состоянию равновесия. Однако это не противоречит утверждению о неустойчивости системы. Если считать , что все начальные состояния системы на фазовой плоскости равновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствует движению по направлению к особой точке, равна нулю. Поэтому всякое реальное движение будет удалять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам x,y, мы получим ту же качественную картину характера движения траекторий вокруг начала координат.

Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характеристических показателей, например λ ₁ , обращается в нуль, что имеет место, когда определитель системы – выражение ad-bc=0 (см. формулу 4.8 ). В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (4.4) пропорциональны друг другу :

и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой :

Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом , по которым изображающие точки либо приближаются к состоянию равновесия, либо удаляются от него в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения λ ₂ = a+d. (Рис.4. 7 ) В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начального значения переменных.

Рис. 4.7. Фазовый портрет системы, один из характеристических корней которой равен нулю, а второй отрицателен.

В этом случае при действительных x и y мы будем иметь комплексные сопряженные ξ , η ( 4.10) . Однако , вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим :

(4.16)

где a,b, и u,v – действительные величины. Можно показать, что преобразование от x,y к u,v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (4.10, 4.16) имеем :

(4.17)

Разделив второе из уравнений на первое , получим :

которое легче интегрируется , если перейти к полярной системе координат ( r, φ ) . После подстановки получим , откуда :

. (4.18)

Таким образом, на фазовой плоскости u, v мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей , вложенных друг в друга, называется фокусом ( рис.4.8 ) .

Рис. 4.8. Фазовый портрет системы в окрестности особой точки типа фокус на плоскости координат u, v .

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (4.17) на u , а второе на v и складывая , получаем :

где

Пусть a ₁ 0 ( a ₁ = Re λ ) . Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его в конечное время. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это – устойчивый фокус .

В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено не только условие Ляпунова, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такая устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но затухают, стремясь к нулю, называют абсолютной устойчивостью .

Если в формуле (4.18) a₁ >0 , то изображающая точка удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчивым фокусом . При переходе от плоскости u,v к фазовой плоскости x , y спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы.

Рассмотрим теперь случай, когда a ₁ =0 . Фазовыми траекториями на плоскости u, v будут окружности которым на плоскости x,y соответствуют эллипсы :

Таким образом, при a₁ =0 через особую точку x= 0 , y=0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности, эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром.

Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4.7). Вид фазовых траекторий на плоскости x, y для этих шести случаев изображен на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейных уравнений (4.4).

Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (4.4). При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновесия – центр – негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.

Бифуркационная диаграмма

. (4.11)

Тогда характеристическое уравнение запишется в виде:

. (4.12)

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами s , D и отметим на ней области, соответствующие тому или иному типу состояния равновесия, который определяется характером корней характеристического уравнения

. (4.13)

Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у l ₁ и l ₂ . Необходимое и достаточное условие этого – выполнение неравенств s > 0, D > 0 . На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом, если l ₁ и l ₂ комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости, для которых , т.е. точки между двумя ветвями параболы s 2 = 4 D . Точки полуоси s = 0, D >0, соответствуют состояниям равновесия типа центр. Аналогично, l ₁ и l ₂ — действительны, но разных знаков, т.е. особая точка будет седлом, если D , и т.д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров s , D , на области, соответствующие различным типам состояния равновесия.

Рис. 4.10. Бифуркационная диаграмма

для системы линейных уравнений 4.4

Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины s , D . При переходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными – по разные стороны от границы система имеет два топологически различных фазовых портрета и, соответственно два разных типа поведения.

На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключить особые случаи – начало координат, – то легко видеть, что седло может переходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечении оси ординат. Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т.д. Отметим, что переходы устойчивый узел – устойчивый фокус и неустойчивый узел – неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топология фазового пространства при этом не меняется. Более подробно мы поговорим о топологии фазового пространства и бифуркационных переходах в лекции 6.

При бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особой точки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Эта бифуркация называется бифуркацией Андронова-Хопфа по именам исследовавших ее ученых. При этой бифуркации в нелинейных системах происходит рождение предельного цикла, и система становится автоколебательной (см. лекцию 8).

Пример. Система линейных химических реакций

Вещество Х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество Y и со скоростью, пропорциональной концентрации вещества Y, выводится из сферы реакции. Все реакции имеют первый порядок, за исключением притока вещества извне, имеющего нулевой порядок. Схема реакций имеет вид:

(4.14)

и описывается системой уравнений:

(4.15)

Стационарные концентрации получим, приравняв правые части нулю:

. (4.16)

Рассмотрим фазовый портрет системы. Разделим второе уравнение системы (4.16) на первое. Получим:

. (4.17)

Уравнение (4.17) определяет поведение переменных на фазовой плоскости. Построим фазовый портрет этой системы. Сначала нарисуем главные изоклины на фазовой плоскости. Уравнение изоклины вертикальных касательных:

Уравнение изоклины горизонтальных касательных:

Особая точка (стационарное состояние) лежит на пересечении главных изоклин.

Теперь определим, под каким углом пересекаются координатные оси интегральными кривыми.

Если x=0, то .

Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральным кривым y=y(x), пересекающим ось ординат x=0, отрицателен в верхней полуплоскости (вспомним, что переменные x, y имеют значения концентраций, и поэтому нас интересует только правый верхний квадрант фазовой плоскости). При этом величина тангенса угла наклона касательной увеличивается с удалением от начала координат.

Рассмотрим ось y=0 . В месте пересечения этой оси интегральными кривыми они описываются уравнением

.

При тангенс угла наклона интегральных кривых, пересекающих ось абсцисс, положителен и увеличивается от нуля до бесконечности с увеличением x.

при .

Затем при дальнейшем увеличении тангенс угла наклона уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отрицательным и стремится к -1 при x ® ¥ . Зная направление касательных к интегральным кривым на главных изоклинах и на осях координат, легко построить всю картину фазовых траекторий.

Рис. 4.12. Фазовый портрет системы линейных химических реакций (4.15)

Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем

Страницы работы

Содержание работы

Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем.

Уравнения нелинейной системы второго порядка:

, .

Особые точки, отвечающие равновесным состояниям системы, определяются из условий , .

Для выявления типа каждой особой точки эти уравнения линеаризуются при малых отклонениях координат в окрестности особой точки. Затем определяются корни характеристического уравнения линеаризованной системы, по которым устанавливается тип особой точки.

Пример. Уравнения нелинейной системы:

, .

Уравнение фазовых траекторий:

.

Условия на особые точки:

, .

Эта система имеет три решения:

1) , 2) , 3) .

Каждому из решений соответствует равновесное состояние.

В окрестность точки () линеаризованные уравнения имеют вид:

, .

. Отсюда .

Корни чисто мнимые. Следовательно, это точка типа «центр».

В окрестности точки () вводим малые отклонения координат: . Подставляя в исходную систему уравнений и отбрасывая нелинейные члены, получаем линеаризованную систему:

, .

. Отсюда .

Корни вещественны и имеют разные знаки. Следовательно, это точка типа «седло».

В окрестности точки (), подстановкой в исходную систему уравнений, получаем ту же линеаризованную систему, что и в предыдущем случае. Следовательно, это тоже точка типа «седло».

Найдём асимптоты фазовых траекторий в седловых точках. Полагая , из уравнений фазовых траекторий

получим , или , откуда .

Для определения направление движения изображающей точки по фазовым траекториям достаточно взять какую-либо одну точку. Например, в точке (), согласно исходной системе, имеем . В силу непрерывности системы, в том же направлении движутся изображающие точки по соседним фазовым траекториям.

Ни одно из этих трёх равновесных состояний не является устойчивым. Методом изоклин можно уточнить ход фазовых траекторий. Уравнение изоклины

при имеет вид: .

Эта кривая изоклина, соответствующая углу наклона фазовых траекторий , проходит через все особые точки. При изоклина по-прежнему пройдёт через начало координат (особая точка), но не пройдёт через две другие особые точки.

При наличии нескольких особых точек на фазовой плоскости получаются области с различными типами фазовых траекторий. Особые кривые, разделяющие области с различными типами фазовых траекторий, называются сепаратрисами.

Существуют особые кривые другого типа – предельные циклы. Это замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам, в окрестности которых имеют место колебательные переходные процессы. Предельные циклы могут быть устойчивыми или неустойчивыми.

Физический смысл устойчивого предельного цикла – автоколебания системы. Причём амплитуда и частота автоколебаний не зависит от начальных условий, а определяется внутренними свойствами системы. В линейных системах собственные периодические колебания возможны только на границе устойчивости, причём амплитуда их определяется начальными условиями.

Физический смысл неустойчивого предельного цикла – граница областей начальных условий. При начальных условиях, лежащих внутри неустойчивого предельного цикла, получается затухающий переходной процесс, если же они лежат снаружи – расходящийся. Говорят: система устойчива «в малом» и неустойчива «в большом».

Таким образом, типы динамических процессов нелинейных систем могут существенно зависеть от начальных условий.