Точка а движется согласно уравнениям x1
скорость точки момент времени
Материальная точка массой m = 5 г совершает гармонические колебания с частотой ν = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А = 3 см. Определить; 1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу Fmax, действующую на точку; 3) полную энергию E колеблющейся точки.
Материальная точка начинает двигаться по окружности с угловым ускорением ε = k·t, где k = 4 рад/с 3 . Определить угловую скорость точки в момент времени t1 = 2 c.
Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x1 = A1+B1t+C1t 2 , x2 = A2+B2t+C2t 2 , где A1 = 20 м, A2 = 2 м, B1 = B2 = 2 м/с, C1 = 4 м/с 2 , С2 = 0,5 м/с 2 . В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v1 и v2 и ускорения a1 и а2 точек в этот момент.
Материальная точка массой т = 900 кг движется по горизонтальной прямой под действием силы F = 270t, которая направлена по той же прямой. Определить скорость точки в момент времени t = 10 с, если при t0 = 0 скорость ν0 = 10 м/с.
Точка движется по траектории согласно уравнению s = 0,5t 2 + 4t. Определить, в какой момент времени скорость точки достигнет 10 м/с.
По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: х1 = 10 + t + 2t 2 и x2 = 3 + 2t + 0,2t 2 . В какой момент времени скорости этих точек одинаковы?
Две материальные точки движутся согласно уравнениям x1 = A1t + B1t 2 + C1t 3 и x2 = A2t + B2t 2 + C2t 3 , где A1 = 2 м/с; B1 = –4 м/с 2 ; C1 = 1 м/с 3 ; A2 = 4 м/с; B2 = 8 м/с 2 ; C2 = –16 м/с 3 . В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения точек в этот момент времени.
Точка движется по прямой согласно уравнению x = At – Bt 3 – С, где А = 4 м/с, В = 3 м/с 3 , С = 1 м. Найти координаты х точки в моменты времени, когда скорость v равна нулю.
Материальная точка на плоскости совершает движение, которое задается кинематическими уравнениями: х = A·cos(ω·t); у = B·cos(ω·t + φ0), где х и у — координаты точки в момент времени t, А = 4 м, В = 8 м, φ0 = π, ω = π рад/с. Определить траекторию точки и скорость точки в момент времени t1 = 1 с.
Движения двух материальных точек задаются уравнениями v1(t) = B1t + C1t 2 , х2(t) = B2t 2 + C2t 3 , где B1 = 8 м/с, B2 = 2 м/с 2 , С1 = 4 м/с 2 , С2 = 5 м/с 3 . Определить скорости v1 и v2, ускорения а1 и а2 точек в момент времени когда их скорости будут одинаковыми.
Движение точки задано уравнениями x = A1sinωt и y = A2sinω(t+τ), где А1 = 10 см, А2 = 5 см, ω = 2 рад/с, τ = π/4 с. Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени t = 0,5 с.
Движение материальной точки задано уравнением: x = A+Bt 2 , где А = 4 м/с, В = –0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в который скорость точки v = 0. Найти координату и ускорение точки в этот момент.
Две материальные точки движутся вдоль одной прямой с ускорениями a1 = A1+B1t, a2 = A2+B2t, где A1 = 4 м/c 2 , B1 = 3 м/с 3 , A2 = 12 м/с 2 , B2 = –1 м/с 3 . Начальные скорости этих точек были равны, соответственно, 8 м/с и 12,5 м/с. В какой момент времени t скорости точек будут одинаковы?
Материальная точка массой m = 5 кг в начале движения по горизонтальной прямой малая скорость V0 = 3 м/с и на нее действовала сила F = 8 + 3t, которая направлена по той же прямой. Определить скорость точки в момент времени t1 = 4 с.
Определение сил по заданному движению
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Определение сил по заданному движению
13.1.1Точка массой m=4 кгдвижется по горизонтальной прямой с ускорениемa=0,3t. Определить модуль силы, действующей на точку в направлении ее движения в момент времени t=3c. (3.6) Решение:Зная массу и ее ускорение, можно определить действующую на точку силу, в момент времени t=3c , ускорение будет тогда |
13.1.2Ускорение движения точки массой m=27кгпо прямой задано графиком функции a=а(t). Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке в момент времени t=5c. (4,05) Решение:Из графика видно что при t=5c , ускорение а=0,15м/с 2 , тогда |
13.1.3 Деталь массой m=0,5кг скользит вниз по лотку. Под каким углом к горизонтальной плоскости должен располагаться лоток, для того чтобы деталь двигалась с ускорением а=2 м/с 2 ? Угол выразить в градусах. (11,8) Решение:Деталь движется под силой тяжести G=mg, сила под которой она движется по лотку с некоторым углом а, |
13.1.4Точка массой m=14кгдвижется по горизонтальной оси Ох с ускорениемах.=lnt Определить модуль силы, действующей на точку в направлении движения в момент времени t=5c. (22,5) Решение: |
13.1.5Трактор, двигаясь с ускорением а=1м/с 2 по горизонтальному участку пути, перемещает нагруженные сани массой 600кг. Определить силу тяги на крюке, если коэффициент трения скольжения саней f=0,04. (835) Решение:Необходимая сила тяги на крюке для перемещения саней с заданным ускорением 1м/с 2 : |
13.1.6Тело массой m=50 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально с ускорением а=0,5м/с 2 . Определить силу натяжения троса.(516) Решение: |
13.1.7 Скорость движения точки m=24кг по прямой задана графиком функцииv=v(t). Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку. (36) Решение: из графика функции v=v(t) видно, что точка движется равноускоренно с ускорением а=1,5м/с, тогда равнодействующая сил |
13.1.8 Материальная точка массой m=12кгдвижется по прямой со скоростьюv=е 0,1t . Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку в момент времени t=50c.(178) Решение: |
13.1.9 Определить модуль равнодействующей сил, действующих на материльную точку массой m=3кг в момент времени t=6c, если она движется по оси Ох согласно уравнению х=0,04t 3 . (4,32) Решение:Ускорение точки найдем из уравнения движения (вторая производная по времени): |
13.1.10 Материальная точка массой 1,4кг движется прямолинейно по законух=6t 2 +6t+3 . Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке.(16,8) Решение: |
Определение сил по заданному движению
Точка а движется согласно уравнениям x1
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
7.1. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.2. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.3. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки:
,
,
.
,
,
Модуль полного ускорения:
.
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.4. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.5. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки по осям :
,
,
Ускорения точки по осям:
,
,
.
Модуль касательного ускорения точки:
, а модуль нормального ускорения .
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .
7.6. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки по осям :
,
,
Ускорения точки по осям:
,
,
.
Модуль касательного ускорения точки:
,
а модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .
7.7. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.8. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
.
,
,
Модуль полного ускорения:
.
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.9. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
.
,
,
Модуль полного ускорения:
.
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.10. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.11. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.12. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.13. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.14. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Найти: , , .
Решение: Скорости точки по осям :
,
,
,
Ускорения точки по осям:
,
,
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.15. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.16. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.17. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , , .
Решение: Скорости точки :
,
,
,
,
Модуль полного ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
,
А модуль нормального ускорения:
.
Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
.
7.18. Дан закон движения точки по окружности радиусом r . Определить:
1) скорость и ускорение точки при и ;
2) моменты остановки точки;
3) путь, пройденный точкой за 10секунд.
Дано: , , , .
Найти: , , , , , , П.
Решение: 1. На траектории отметим точку О – начало отсчета координаты s и укажем положительное направление отсчета этой координаты. Отметим положение точки в заданные моменты времени: При :
;
При :
.
Проведем из этих точек естественные оси координат.
Определим проекцию скорости на касательную:
.
При : ;
При : .
Векторы и совпадают со своими проекциями. Определим проекции ускорения на естественнее оси координат :
; , Полное ускорение точки .
При :
,
и
.
При :
,
и
.
2. Чтобы найти время остановки надо найти время, когда скорость точки равна нулю:
, получим и .
3. Поскольку за 10 секунд точка сделала две остановки, пройденный ею путь за 10с можно найти как сумму пути, пройденного от начала до первой остановки, от первой до второй остановки и от второй до момента времени :
,
; ; ; .
Путь пройденный точкой за 10 секунд:
.
7.19. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
Дано: , (1)
( x и y – в см , t и t 1 – в с).
Найти: 1) вид траектории;
2) для t = t 1 положение точки на траектории;
3) .
Решение: 1) Уравнение движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключаем время t из уравнений (1).
Возводя обе части равенств в квадрат, а затем складывая равенства, получаем , т.е. траекторией точки М является окружность радиуса 2, показанная на рис.1.
2) Определяем положение точки М в заданный момент времени t =1 с :
Вектор скорости точки
. (2)
(3)
Здесь – орты осей и ; – проекции скорости и ускорения точки на оси координат.
Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):
По найденным проекциям определяем модуль скорости:
, (4)
,
,
и модуль ускорения точки:
, (5)
Модуль касательного ускорения точки
, (6)
; (7)
выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направление и совпадают; знак «–» – что движение замедленное.
Вычисляем модуль касательного ускорения для заданного момента времени
Модуль нормального ускорения точки
. (8)
Если радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке неизвестен, то нормальное ускорение можно определить по формуле
. (9)
При движении точки в плоскости формула (9) принимает вид
.
Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:
. (10)
Воспользуемся в нашем случае формулой (10)
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим из выражения:
. (11)
Тогда
На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим и , причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор строим по составляющим и и затем раскладываем на составляющие и . Совпадение величин и , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.
7.20. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.
( x и y – в см , t и t 1 – в с).
Найти: 1) вид траектории;
2) .
Указания. Задача — относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения. В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t 1 = 1 с .
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t :
Отсюда окончательно находим уравнение траектории точки (параболы, см. рисунок):
2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
V = и при t 1 = 1 с,
3. Аналогично найдем ускорение точки:
а =
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:
. (3)
ч исловые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (3), определены и даются равенствами (1) и (2).
Подставив в (3) эти числа, найдем сразу, что при t 1 = 1 с
=7,49 см/с 2 .
5. Нормальное ускорение точки:
a n = .
Подставляя сюда найденные числовые значения a 1 и a 1 τ , получим, что при t 1= 1 с
6. Радиус кривизны траектории ρ = V 2 / a n .
Подставляя сюда числовые значения V 1 и a 1 n , найдем, что при t 1 = 1 с
Ответ: V 1= 8 ,54 см/с, а 1 =8 см/с 2 , =7,49 см/с 2 , a 1 n =2,81 см/с 2 , ρ1 =25,95 см.
7.21. Точка движется по дуге окружности радиуса R =1 м по закону ( s – в метрах, t – в секундах), где s = AM (см. рисунок).
Найти: скорость и ускорение точки в момент времени t 1 =1 с .
Определяем скорость точки:
V = ds / dt = .
При t 1 =1 с получим = -1,26 м/ с .
Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:
,
п ри t 1 = 1 с получим , учтя, что R = 1 м
,
тогда ускорение точки при t 1 =1 с будет:
=1,59 м/с 2 .
Изобразим на рисунке векторы , , учитывая знак V 1 и считая положительным направление от А к М.
7.22. По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t = t 1(с) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.
Дано: , , t 1=1 сек ( x и y – в см , t и t 1 – в с).
Найти: 1) вид траектории;
2) .
1) Найдём траекторию движения:
Для этого исключим параметр t .
Возведём во вторую степень, получившиеся уравнения, а затем сложим, таким образом, исключится t . Получим:
Это окружность с центром в точке с координатами (-1;0) и радиусом
2) Найдём положение точки на траектории в момент времени t = t 1:
3) Определим скорость токи:
Для нахождения вектора полной скорости необходимо сложить 2 вектора:
Найдём модуль полной скорости:
для момента времени t 1:
4) Определим ускорение точки:
для момента времени t 1:
для момента времени t 1:
Найдём полное ускорение:
Найдём модуль полного ускорения:
для момента времени t 1:
Определим касательное ускорение :
или,
для момента времени t :
Определим нормальное ускорение an :
для момента времени t 1:
5) Из полученных результатов можно найти радиус кривизны траектории , в момент времени t 1:
Действительно, этот радиус совпадает с радиусом окружности (траектории).
7.23. Точка М движется согласно уравнений ; ; ( x , y — в метрах, t — в секундах). Определить уравнение траектории точки, для момента времени t =1с, найти положение точки, а также скорость, полное, касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории.
1) Найдем уравнение траектории точки. Для определения уравнения траектории исключим из уравнений движения время . Из первого уравнения движения точки найдем
Из второго уравнения движения найдем
Возведя полученные значения ( правую и левую стороны уравнения ) в квадрат и складывая их находим:
.
Следовательно, траекторией точки является эллипс с центром в точке с координатами (3;1).
Вид траектории показан на рисунке.
2) Найдем положение точки в момент времени t =1с
; .
Положение точки М 1 показано на рисунке.
3) Найдем скорость точки М
,
Где , или в момент времени t1=1c
, или в момент времени t1=1c
4) Найдём ускорение точки.
,
где , или ,
, или
5) Найдем касательное ускорение точки M,
6) Найдём нормальное ускорение точки M ,
7) Найдем радиус кривизны траектории точки М,
,
Направление векторов показано на рисунке.
Ответ: =7.85м/ c ; = 4.93 м/ c 2 ; =0; = 4.93 м/ c 2 ; м
7.24. Пусть точка М движется в плоскости xOy в соответствии с уравнениями . Для момента времени = 0,5 с найти положение точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Решение: Заданный закон движения точки в координатной форме можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Исключим время t из уравнений движения и получим уравнение траектории точки в виде:
.
Таким образом, траекторией точки М является эллипс со смещенным центром, изображенный на рис. Отметим на траектории положение точки М 1 ( x 1, y 1) в момент времени t 1 = 0,5 c
;
.
Вектор скорости точки представим в виде:
,
где – орты координатных осей О x и О y ; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от соответствующих координат по времени
В момент времени t 1 = 0,5 c
Вектор скорости точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом
.
Полученный вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Модуль скорости точки определим по уже найденным проекциям
Вектор ускорения точки представим в виде:
,
где – орты координатных осей О x и О y ; – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от проекций вектора скорости или 2-м производным от соответствующих координат по времени:
В момент времени t 1 = 0,5 c
Вектор ускорения точки строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям и в соответствии с выбранным масштабом
.
Полученный вектор ускорения точки в общем случае должен отклоняться от вектора скорости в сторону вогнутости траектории, а при движении по эллипсовидной траектории – проходить через центр эллипса. Модуль ускорения точки определим по уже найденным проекциям
Вектор полного ускорения точки можно также представить в виде геометрической суммы его проекций на оси естественной системы отсчета
,
где и – единичные орты касательной и главной нормали; и – соответственно проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль. Касательную М 1 t направляем по касательной к траектории в сторону движения точки движения, а главную нормаль М1 n – перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. При вычислении касательного ускорения удобно воспользоваться формулой, устанавливающей связь между координатным и естественным способами задания движения точки
.
В момент времени t 1 = 0,5 c
.
Значение касательного ускорения имеет отрицательный знак, следовательно, в данный момент времени движение точки замедленное и вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону направлению вектора скорости точки .
Нормальное ускорение вычислим по формуле , если известен радиус кривизны траектории. Например, если точка движется по окружности радиусом R, то в любой точке траектории . Если же траекторией движения точки является прямая, то , следовательно, . В данном случае радиус кривизны траектории заранее не известен, поэтому нормальное ускорение определяем по формуле:
.
В момент времени t 1 = 0,5 c
.
Построим векторы и в соответствии с уже выбранным масштабом, а затем сложим их геометрически. В результате получим тот же вектор полного ускорения точки , который ранее уже был получен геометрической суммой составляющих и . Этот факт служит контролем правильности решения.
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим по формуле
.
В момент времени t 1 = 0,5 c
.
Ответ: =8,82 см; =2,59 см; =4,44 см/ c ; =2,22 см/ c ; =4,96 см/с; =6,97 см/с 2 ; =3,49 см/с 2 ; =7,79 см/с 2 ; =4,67 см/с 2 ; =6,23 см/с 2 ; =3,95 см (радиус кривизны траектории в точке ).
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
http://megapredmet.ru/1-28536.html
http://www.teoretmeh.ru/primerkinematika4.htm