Точка движется согласно уравнениям полное ускорение точки равно
ускорения точек момент
Точка вращается по кругу радиусом R = 1,2 м. Уравнение движения точки φ = Аt + Вt 3 , где А = 0,5 рад/с; В = 0,2 рад/с 3 . Определить тангенциально аτ, нормальное an и полное а ускорения точки в момент времени t = 4 с.
Уравнение колебаний материальной точки описывается уравнением x = sin20πt см. Найти ускорение точки в тот момент, когда ее смещение равно 0,5 см.
Определить модуль ускорения точки в момент времени 1 с, если уравнение движения точки x = cos πt см, y = sin πt см.
Две материальные точки движутся по одной прямой, совпадающей с осью Ох декартовой системы координат. В начальный момент времени первая точка имела координату х10 = 4 м, а вторая х20 = 8 м. Скорости точек изменяются по законам v1 = bt + ct 2 и v2 = –bt + ct 2 , где b = 1 м/с 2 , с = 2 м/с 3 . Определить ускорения точек в момент их встречи.
Положение точки на плоскости определяется ее радиусом-вектором r = 0,3t 2 i + 0,1 t 3 j. Определить модуль ускорения точки в момент времени t = 2 с.
Определить скорость ν и полное ускорение а точки в момент времени t = 2 с, если она движется по окружности радиусом R = 1 м согласно уравнению ξ = At+Bt 3 , где А = 8 м/с, В = –1 м/с 3 , ξ — криволинейная координата, отсчитанная от некоторой точки, принятой за начальную, вдоль окружности.
Движение точки описывается уравнением s = 4t 4 + 2t 2 + 7. Найти скорость и ускорение точки в момент времени 2с и среднюю скорость за первые 2с движения.
Прямолинейное движение точки описывается уравнением s(t) = 4t 4 + 2t 2 + 7 м. Найти скорость и ускорение точки в момент времени 2 с, а также среднюю скорость и среднее ускорение за первые две секунды движения и за вторые две секунды движения.
Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям х = 5 + 7t – 2t 2 и у = 3 + t + 0,2t 2 . Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5 с.
Определить скорость ν и полное ускорение а точки в момент времени t = 1,38 с, если она движется по окружности радиусом R = 1,76 м согласно уравнению φ = At + Bt 3 , где А = 6,47 рад/с, В = –1,84 рад/с 3 .
Материальная точка совершает колебательное движение вдоль оси ОХ по закону X = 8cos(πt+π/2), см. Найти период колебаний и ускорение точки в момент t = T/2, построить график зависимости x(t).
Уравнение движения точки по прямой имеет вид: х = 2 + 6t – t 2 (м). Найти: 1) путь и перемещение точки за промежуток времени от t1 = 2 с до t2 = 4 с; 2) среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток; 3) скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с.
Уравнение движения точки по прямой имеет вид: х = –1–3t 2 +2t 3 (м). Найти: 1) путь и перемещение точки за промежуток времени от t1 = 0 с до t2 = 2 с; 2) среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток; 3) скорость и ускорение точки в момент времени t = 1 с.
Материальная точка движется по закону: Y(t) = At+Ct 2 +Bt 4 , где A = 6 м/с, C = 0,2 м/с 2 , B = –0,125 м/с 4 . Найти скорость и ускорение точки в моменты времени t1 = 0 c и t2 = 2 с, а также среднюю скорость перемещения и среднее ускорение за первые 2 с движения.
Материальная точка движется по закону: Y(t) = At 2 –Ct 4 , где A = 4,5 м/с 2 , C = 0,25 м/с 4 . Найти скорость и ускорение точки в моменты времени t1 = 2 c и t2 = 4 с. Каковы средняя скорость перемещения и средняя путевая скорость для промежутка времени от 2 до 4 с ?
Материальная точка имеет массу m = 9 кг и движется по криволинейной траектории под действием силы, проекция которой на касательную Fτ = 5,7 Н, на нормаль Fn = 2·t 2 Н. Определите модуль ускорения точки в момент времени t = 19,8 с.
Уравнение движения точки по прямой имеет вид: х = –1 + 2t 2 – t 4 (м). Найти: 1) путь и перемещение точки за промежуток времени от t1 = 0 с до t2 = 2 с; 2) среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток; 3) скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с.
Скорость колеблющейся материальной точки меняется по закону v = vmaxcos(ωt). Максимальная скорость vmax = 5 см/с, период равен 0,1 с. Найти ускорение точки в момент времени t = 0,25 с.
Движение точки описывается уравнением S = 5t 3 –4t 2 +40 (в единицах СИ). Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t1 = 2 c. Найдите путь, пройденный телом к моменту времени t2 = 3 c.
iSopromat.ru
Пример решения задачи по определению нормального, касательного и модуля полного ускорения точки, а также, угла с вектором скорости, точки, движущейся по окружности заданного радиуса и известному закону заданному уравнением.
Задача
Точка движется по окружности радиуса R=4 м, закон ее движения определяется уравнением s=4,5t 3 ( s в метрах, t в секундах).
Определить модуль полного ускорения и угол φ его с вектором скорости в тот момент t1, когда скорость будет равна 6 м/с (рисунок 1.6).
Решение
Дифференцируя s по времени, находим модуль вектора скорости точки
Подставляя в это выражение значение скорости, получим 6=13,5t1 2 , откуда находим
Касательное ускорение для любого момента времени равно
Так как для окружности радиус кривизны ρ=R, то нормальное ускорение для любого момента времени равно
Модуль вектора полного ускорения точки равен
Угол между вектором полного ускорения и вектором скорости определим следующим образом:
Интернет-тестирование по теоретической механике
Министерство образования и науки Российской Федерации
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО — СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ)
Кафедра теоретической механики
ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Выпуск 2. Кинематика точки
Методические указания для подготовки к интернет — тестированию
по теоретической механике
Интернет-тестирование по теоретической механике. Выпуск 2. Кинематика точки. Методические указания для подготовки к интернет — тестированию по теоретической механике, Нижний Новгород, ННГАСУ, 2011 г..
Настоящие методические указания предназначены для студентов ННГАСУ, обучающихся по направлениям «Строительство» и «Теплоэнергетика». Методические указания содержат основные теоретические положения по кинематике точки и примеры решения типовых задач по данной теме, предлагавшихся для решения в процессе интернет — тестирования.
© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2011г.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Векторный способ задания движения точки
Закон движения:
Траектория: годограф радиус-вектора.
Скорость:
Ускорение:
Координатный способ задания движения точки
Закон движения: .
Траектория: из закона движения надо исключить время.
Скорость: Проекции вектора скорости:
Модуль вектора скорости:
.
Ускорение: Проекции вектора ускорения:
Модуль вектора ускорения:
.
Естественный способ задания движения точки
Закон движения: где s – дуговая координата.
Скорость:
— проекция вектора скорости на касательную.
Модуль вектора скорости:
.
,
— касательное ускорение,
— нормальное ускорение
(направлено в сторону вогнутости траектории) ,
радиус кривизны траектории, – кривизна.
Модуль вектора ускорения:
Знак скалярного произведения векторов ускорения и скорости
позволяет определить является движение ускоренным или замедленным.
При ускоренном движении оно положительно, а при замедленном — отрицательно.
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Понятие о сложном движении точки
Сложным движением называют такое движение точки, которое рассматривается одновременно в двух системах отсчета.
При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной . Другая система отсчета рассматривается как подвижная . В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относительное и переносное.
1. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат. Характеристиками абсолютного движения являются абсолютная скорость и абсолютное ускорение , то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно платформы). Они обозначаются индексом «а».
2. Относительным движением называется движение точки по отношению к подвижной системе координат. Характеристиками относительного движения являются относительная скорость и относительное ускорение то есть скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r».
3. Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат положение точки М все время меняется. Переносной скоростью и переносным ускорением называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Они обозначаются индексом «e».
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА заключается в том, чтобы по известным характеристикам относительного и переносного движений находить кинематические характеристики абсолютного движения.
Сложение скоростей при сложном движении
Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
.
Вычисление ускорения Кориолиса
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:
,
а его модуль может быть найден по формуле:
.
Направление ускорения Кориолиса определяют по правилу Жуковского:
Чтобы найти направление кориолисова ускорения надо:
1. спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения;
2. повернуть полученную проекцию на 900 по ходу вращения;
3. полученное таким образом направление указывает направление вектора ускорения Кориолиса.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
По окружности радиуса R=1м движется точка по закону ,
где t – время в секундах, S – в метрах.
Касательное ускорение точки в момент времени t=2с равно… (м/с2) .
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории и определяется проекцией вектора ускорения на касательную:
,
знак которой показывает, в какую именно сторону оно направлено, т. е. в сторону положительного или отрицательного отсчета дуговой координаты.
(м/с);
(м/с2).
Касательное ускорение необходимо определить в момент времени t=2 (с), поэтому подставляем
t=2 (с) в выражение касательного ускорения:
(м/с2).
Ответ: 3. (м/с2).
Движение точки по известной траектории задано уравнением
Скорость точки в момент времени t=1с равна… (м/с).
Движение точки задано естественным способом, т. е. задана её траектория и уравнение движения (м).
Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна
.
Знак показывает конкретное направление вектора скорости: если , то скорость направлена в сторону положительного отсчета дуговой координаты, а при – в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.
(м/с).
Подставляем t=1с в полученное уравнение:
(м/с).
Знак минус показывает, что вектор скорости направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.
Ответ: 4. (м/с).
Точка движется по заданной траектории по закону (м). В момент времени t=1с нормальное ускорение равно (м/с2). ОМ=S.
Радиус кривизны траектории ρ в данный момент равен …(м).
Нормальное ускорение направлено по нормали, а его проекция равна
,
следовательно, радиус кривизны равен .
Значение нормального ускорения дано в условии задачи, поэтому остается найти только модуль скорости.
Так как движение точки задано естественным способом, то модуль скорости определяется по формуле:
,
.
В полученное выражение подставляем t=1с
(м/с).
Определяем радиус кривизны
(м).
Ответ: 2. (м).
Уравнение, приведенное ниже, используется при … способе задания движения точки: .
2.координатном (в декартовой системе координат);
3.координатном (в цилиндрической системе координат);
Положение движущейся точки по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz можно задать радиус-вектором этой точки . В процессе движения этот радиус-вектор будет меняться, т. е. он является векторной функцией времени:
Данное уравнение представляет собой уравнения движения точки в векторной форме.
Ответ: 1. векторном.
Точка движется согласно уравнениям (x, y – в метрах). Угол (в градусах) между осью Оy и вектором скорости точки в положении x=0, y=6 равен…
Вариантов ответа нет.
Решение.
Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.
,
Воспользуемся тригонометрическим тождеством и исключим время из уравнений движения:
.
Получаем, что траектория движения точки — уравнение эллипса с полуосями 4 см и 6 см по осям x и y соответственно, центр которого находится в начале координат.
Находим положение точки М по ее координатам x=0, y=6.
Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения. В данном случае касательная к траектории будет параллельна оси Ох или перпендикулярна оси Оу.
Направление скорости определяем, дифференцируя уравнения движения:
;
.
Подставив в уравнения движения координаты точки, находим время через которое точка будет находиться в данном положении:
; ; ; ; (с);
; ; ; ; (с).
То есть, точка М будет находиться в положении (0;6) в момент времени (с). Подставив это время в уравнения проекций скорости, получаем:
(м/с),
(м/с).
Следовательно, по оси Ох проекция скорости направлена в сторону отрицательного отсчета, а по оси Оу проекция вектора скорости равна нулю.
То есть угол между осью Оу и вектором скорости точки М будет равен 900.
Ответ: 90 градусов.
ЗАДАЧА 6.
Движение материальной точки М задано уравнением
.
Вектор скорости точки направлен…
1. параллельно плоскости xOz (непараллельно осям);
2. параллельно оси Ох;
3.параллельно плоскости yOz;
4.перпендикулярно плоскости yOz;
Дифференцируя , находим вектор скорости:
,
следовательно, проекции вектора скорости на оси будут:
,
то есть, вектор лежит в плоскости перпендикулярной оси Ох и, следовательно, параллелен плоскости yOz.
Ответ: 3. параллельно плоскости yОz.
Круглая горизонтальная пластина радиуса R вращается вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр по закону (рад). По ободу пластины движется точка М по закону
(м).
Ускорение Кориолиса для точки М равно…(м/с2).
2.;
3.;
4..
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():
,
при этом его модуль равен : .
Относительным движением является движение точки М по ободу пластины по закону
(м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна:
(м/с).
Переносным движением является вращение круглой горизонтальной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость — вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
(рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.
Вектор лежит в плоскости диска, а перпендикулярен к этой плоскости, следовательно, угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900.
(м/с2).
Ответ: 2. (м/с2).
Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону (м).
Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с2).
1.;
3.;
4..
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():
, при этом его модуль равен: .
Относительным движением является движение точки М по стороне прямоугольной пластины по закону (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: (м/с).
Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость – вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
(рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.
Вектор и лежат в одной плоскости, параллельны и направлены в разные стороны. Значит угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 1800. (м/с2).
Ответ: 2. (м/с2).
Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону (м) (α=600).
Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с).
2. 10;
3. 20;
Решение.
Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():
, при этом его модуль равен: .
Относительным движением является движение точки М по диагонали прямоугольной пластины по закону (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: (м/с).
Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость — вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота: рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.
Вектор и лежат в одной плоскости, а угол между векторами относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900+600=1500.
(м/с2).
Ответ: 4. (м/с).
Движение материальной точки М задано уравнением
.
Ускорение точки направлено…
1. перпендикулярно оси Oy;
2. параллельно плоскости хОz;
3. перпендикулярно плоскости yOz (параллельно осям);
4. параллельно оси Oy.
Ускорение точки равно производной по времени от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора этой точки.
Дифференцируя , находим вектор скорости:
.
Далее дифференцируя уравнение , находим вектор ускорения:
,
следовательно, проекции вектора на оси будут:
,
то есть, вектор ускорения параллелен оси Oу.
Ответ: 4.параллельно оси Оу.
ЗАДАЧА 11.
Точка движется по прямой.
Дан график скорости движения точки .
Определить пройденный путь в момент времени t=60с.
Решение.
Так как на графике значения скорости даны в км/ч, а времени — в секундах, то необходимо привести их к одной единице измерения.
Переводим км/ч в м/с:
(м/с).
График можно разделить на два участка от 0 до 30с и от 30с до 60с.
Они симметричны, следовательно, можно определить путь только на одном участке (), а путь на втором будет равным ().
Рассмотрим первый участок, по графику можно определить уравнение зависимости скорости от времени: (м/с).
Так как модуль скорости по модулю равен , то проинтегрировав уравнение скорости, получим уравнение движения точки
получили, что за первые 30 секунд точка преодолеет путь (м).
(м).
Ответ: 2. (м).
Точка начинает движение из состояния покоя и движется по прямой с постоянным ускорением а=0,2( м/с2). Определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с).
Движение точки происходит по прямой, следовательно, нормальное ускорение точки равно нулю (), а ее полное ускорение () равно касательному ().
Чтобы определить путь точки сначала необходимо найти уравнение скорости . Касательное ускорение равно производной по времени от скорости, значит, уравнение скорости определяется интегрированием:
Граничные значения при интегрировании определяются из условия задачи, точка начинает движение из состояния покоя, и отсчет времени начинается с этого момента (t0=0). А для того чтобы выразить зависимость скорости от времени, конечное значение остается переменной t.
Далее, интегрируя получим уравнение движения точки, а в задании следует определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с), поэтому, подставив данное время в граничные значения и решив определенный интеграл, получим искомый ответ:
За промежуток времени от 4(с) до 10(с) точка пройдет путь
Ответ: 3. (м).
Ускорение точки а=1 (м/с2). Векторы ускорения и скорости образуют
угол 450. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории м).
Полное ускорение точки () складывается из двух – касательного () и нормального ():
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Скорость также всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, таким образом, вектор скорости и касательного ускорения расположены на одной прямой.
Нормальное ускорение направлено по нормали, и его проекция на нормаль . То есть касательное и нормальное ускорения расположены под углом 90о.
Отсюда следует, что между векторами полного ускорения и касательного угол 45о, а значит, и между векторами полного ускорения и нормального также 45о. Следовательно, значение нормального ускорения равно:
(м/с2).
Из уравнения находим значение скорости
(м/с).
В ответе требуется указать значение скорости в км/ч, поэтому переводим м/с в км/ч:
(км/ч).
Ответ: 1. (км/ч).
ЗАДАЧА 14.
В трубке, вращающейся по закону (рад) вокруг оси Oz, движется шарик по закону ОА=5t2 (м).
Определить координату хА(м) шарика в момент времени t=0,25(с).
Шарик участвует в сложном движении: движение шарика по трубке – относительное движение; вращение шарика вместе с трубкой – переносное движение.
Координату необходимо найти в момент времени t=0,25с, поэтому, подставляем данное время в уравнения движений:
– показывает на какой угол отклонилась трубка за время t=0,25с от начального своего положения, оси Ох (переносное движение).
– показывает какое расстояние в трубке преодолел шарик за это же время, двигаясь из точки О (относительное движение).
По рисунку видно, что проекция на ось Ох и будет искомой координатой хА. Предварительно переведем угол из радиан в градусы: .
Ответ: 1. .
Заданы уравнения движения точки . Определить расстояние (м) точки от начала координат в момент времени t=2 (с).
Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.
,
Исключим время из уравнений движения:
.
Получаем, что траектория движения точки — это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а центр находится в начале координат.
Подставив время t=2(с) в уравнения движения, получим координаты
Из рисунка видно, что расстояние от центра координат до точки М — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны
.
Ответ: 4. .
ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Выпуск 2. Кинематика точки
Методические указания для подготовки к интернет — тестированию
по теоретической механике
Подписано к печати. Формат 60х90 1\16 Бумага газетная. Печать трафаретная
Уч. изд. л.1,0. Усл. печ. л.1,2 Тираж 200 экз. Заказ №
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
Полиграфический центр ННГАСУ, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
http://isopromat.ru/teormeh/primery-reshenia-zadach/opredelit-modul-polnogo-uskorenia-i-ugol-ego-s-vektorom-skorosti
http://pandia.ru/text/79/036/56310.php