Ортоцентр треугольника
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).
Пример
В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..
Метод расчета ортоцентра треугольника
Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).
Шаг 1
Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.
- Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
- Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
- Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.
Шаг 2
Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.
- Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
- Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
- Наклон CF = -1/наклон AB = 2.
Шаг 3
После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)
1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21
Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)
2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45
Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)
3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12
Шаг 4
Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.
В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Точка пересечения высот треугольника
Средняя оценка: 4.2 Всего получено оценок: 300. Средняя оценка: 4.2 Всего получено оценок: 300. Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру. ВысотаЧто такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника (может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками). Рис. 1. Высота в треугольнике. Точка пересечения высотУ любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром. Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые. Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:
Золотое сечение треугольникаЗолотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника. Три центра треугольника это:
Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и золотое сечение выродится в отрезок. О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника. В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут, и золотым сечением треугольника будет – точка. Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения. Что мы узнали?Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников. источники: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik http://obrazovaka.ru/geometriya/tochka-peresecheniya-vysot-treugolnika.html |