Точки ромба найти уравнения сторон

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.

Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

Решим систему графически:

Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус

Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением

Пусть С — точка касания.

На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

Решая это уравнение, получаем, что

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.

График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и

Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой

Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).

Пусть А — точка касания окружности и окружности

, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),

В — точка касания окружности и окружности

длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:

Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.

4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?

Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену Система примет вид:

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит,

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда

Мы получили ответ:

2) Есть второй случай, и мы его найдем.

Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.

Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.

Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.

А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!

Значит, Объединим случаи и запишем ответ:

Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.

б) уравнения сторон AB, BC, CD и DA

Сделайте чертеж.

Решение.

1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит AC – вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду y=kx+b, где параметр k – угловой коэффициент этой прямой.

В силу свойства 1) диагоналей квадрата угловые коэффициенты k_AC и k_BD прямых AC и BD связаны соотношением:

Найдем угловой коэффициент k_BD. Для этого выразим y через x из данного уравнения прямой BD:

Итак, . Поэтому из соотношения (1) получим, что k_АС=3.

Теперь уже легко найти уравнение прямой AC. Нам известны координаты её точки А и угловой коэффициента k_AC. Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

.

Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: х_А=-3, у_А=2, k_АС=3. Получим: или (после упрощений)

2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата – точки пересечения его диагоналей.

Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, её координаты удовлетворяют прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD

(первое — уравнение прямой BD, второе – прямой АС). Далее, почленно вычитая первое уравнение из второго, получим:

, значит

Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у=5.

Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: -2 5, то есть Е(-2; 5).

3. Найдем длину отрезка АЕ – половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е.

Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что

.

Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде:

.

Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:

.

Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.

Точки А и С лежат на пересечении найденной нами окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек – решения системы уравнений окружности и прямой:

.

Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.

Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 3х+11 из первого уравнения. Получим:

,

откуда , поэтому , т.е. , значит . Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо -1. Поэтому и тогда , либо и тогда .

Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: . Итак, найдена вершина С(-1; 8).

Аналогично, для нахождения координат вершин B и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:

.

Итак, получены два решения системы, пара (1; 4) и (-5; 6). Одно из этих решений – координаты точки B, а второе – точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой B, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины A, B, C и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.

Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B(1; 4); D(-5; 6).

4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки и :

(2)

и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.

Уравнение прямой AB получим, если в формулу (2) вместо точек M и N возьмем точки A и B:

.

Подставляя в это уравнение координаты вершин А(-3; 2) и B(1; 4), находим:

откуда .

Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж – Рис. 1.

Задача 3

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертёж. А(-20; 24); С(-5; 4); tgC= 20 /₂₁.

Изобразим графически положение ромба в прямоугольной системе координат Оху:

1) Запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

2) Так как в ромбе его диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен:

Определим координаты точки пересечения диагоналей ромба Е. Итак, Е – середина АС.

Запишем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей через заданную точку Е в направлении, определяемом угловым коэффициентом.

3) Чтобы найти уравнения сторон ромба надо определить угловые коэффициенты k_AB=k_CD и k_BС=k_АD прямых на которых эти стороны лежат. Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то положив С=2φ из формулы

, где tg2φ= 20 /₂₁ найдём tgφ.

Итак, tgφ=-2,5 – не удовлетворяет условию задачи, что угол φ – острый, поэтому tgφ=0,4.

· угол φ является углом между прямыми ВС и АС, то есть:

· угол φ является углом между прямыми DС и АС, то есть:

Так как противоположные стороны ромба параллельны, то определим угловые коэффициенты всех его сторон:

4) Вершины ромба В и D являются точками пересечения его соответствующих сторон АВ и ВС; СD и АD. Решим системы уравнений этих сторон.

В(-16,5; 11)

D(-8,5; 17)

Задача 1

Пусть точка А(-7; 3) — вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой 2х+у+6=0. Найдите:

в) координаты вершин B, C и D;

г) уравнения сторон AB, BC, CD и DA.

Задача 2

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертёж. А(5; 6); С(21; 18); tgC= 4 /₃.

Задача 3

Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать уравнения окружностей вписанной и описанной около данного треугольника. А(11; 5); В(5; -3); С(-4; -3).

Электронная библиотека

Пример 1. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: и и уравнение одной из его диагоналей: . Решение. Выясним взаимное расположение известных сторон ромба. Угловой коэффициент k прямой определяется по формуле:

Стороны параллельны, так как имеют одинаковый угловой коэффициент:

Для построения рисунка (рис. 4.1) запишем уравнения в отрезках для данных прямых:

Наметим план решения: 1) находим вершины ромба P и Q ; 2) находим точку пересечения диагоналей ромба N ; 3) через точку N проводим диагональ D 2 ; 4) находим оставшиеся вершины ромба R и S .1) Так как точка P является точкой пересечения прямых L 2 и D 1 , то ее координаты находим из системы уравнений:

Из рис. 4.1 сразу находим координаты точки Q (- 2, 0) . 2) Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то точка является серединой отрезка PQ , поэтому ее координаты — полусумма соответствующих координат точек P и Q :

3) Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то прямая D 2 перпендикулярна вектору . Найдем его координаты:

По формуле (3.1) находим уравнение диагонали D 2 как уравнение прямой, проходящей через точку N (- 3, 1) перпендикулярно вектору = <2; — 2>:

2( x — (- 3)) + (- 2)( y — 1) = 0, x — y + 4 = 0.

4) Вершины ромба R и S — точки пересечения прямых L 2 и D 2 , L 1 и D 2 , соответственно, находим из уравнений:

Ответ: P (- 4, 2) R (- 6, — 2), Q (- 2, 0), S (0, 4).

Пример 2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину P (2, — 7), уравнения высоты 3 x + y + 11 = 0 и медианы x + 2 y + 7 = 0, проведенных из разных вершин. Решение. Для построения рисунка (рис. 4.2) приведем уравнения данных прямых к уравнениям в отрезках:

h : 3 x + y + 11 = 0, m : x + 2 y + 7 = 0 ,

План решения:1) находим уравнение прямой PQ ;2) находим координаты точки R ;3) находим уравнения прямых RP и RQ .1) Находим нормальный вектор прямой h : . Уравнение стороны PQ , проходящей через точку P (2, — 7) параллельно вектору , запишем в виде:

Находим координаты точки Q — точки пересечения прямых PQ и m :

2) По свойству медианы треугольника PQR точка S ( x S , y S ) является серединой отрезка RP . Следовательно:

Точка S лежит на медиане m , значит,

Точка R лежит на высоте h , значит,

Из последних двух уравнений определяем координаты точки R , решая систему: 3) Используя формулу (3.4), составим уравнение прямой RP , проходящей через две заданные точки R и P : Аналогично, составим уравнение прямой RQ : Ответ: x — 3 y — 23 = 0, ,