Точное решение дифференциального уравнения продольно поперечного изгиба

Продольно-поперечный изгиб

Рассмотрим шарнирно опертую по концам балку (рис.1), которая находится под действием поперечной нагрузки и централь­но приложенной силы Р.

Допустим, что сначала действовала только поперечная нагрузка, которая вызвала изгиб балки. Обозначим через у₀ и М₀ прогиб и изгибающий мо­мент в любом сечении бал­ки и примем это состоя­ние за начальное.

Приложим теперь к стержню, имеющему предварительное начальное искривление, сжимающую силу Р, тогда балка изогнется еще больше и прогиб б каждом сечении увеличится на величину y₁. Полный прогиб ее в любом сечении

Величина полного прогиба будет плечом для сжимающей силы Р, следовательно, в каждом сечении балки помимо момента М₀ от действия поперечной нагрузки появится момент М_г от силы Р:

Обозначим кривизну балки от действия поперечной нагрузки через 1/r₀. Так как сжимающая сила увеличивает изгиб балки, то общая кривизна балки от действия поперечной нагрузки и сжимаю­щей силы Р будет 1/r. Значит, приращение кривизны, вызываемое сжимающей силой Р, составит

. (2)

Так как приращение кривизны вызвано изгибающим момен­том М₁, то кривизна 1/r₁ и изгибающий момент М₁ оказываются связанными соотношением

. (3)

Выразим приращение кривизны через вторую производную от приращения прогиба у₁:

.

Подставив кривизну 1/r₀ и изгибающий момент М₁ в формулу (3), получим

_.

Перенесем неизвестные в этом уравнении в левую часть и, обозначив k 2 =P/EJ, запишем дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба:

. (4)

Это уравнение полностью совпадает с уравнением, запи­санным для стержня, имеющего небольшое начальное искривление. Правая часть его у₀=у₀ (х) представляет собой изогнутую ось балки от действия поперечной нагрузки.

Таким образом, составлению дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба должен предшествовать расчет, в результате которого находится изогнутая ось балки от действия поперечной нагрузки.

Предположим, что изогнутая ось балки найдена. Тогда, под­ставляя выражение у₀=у₀ (х) в правую часть уравнения (4) и производя интегрирование, найдем приращение прогибов у₁ и изгибающих моментов М₁ в любом сечении балки от действия сжимающей силы. Складывая изгибающий момент М₁ от силы Р сизгибающим моментом М₀ от поперечной нагрузки, найдем пол­ный изгибающий момент в любом сечении стержня.

Решение задачи можно значительно упростить, если предста­вить изогнутую ось балки от поперечной нагрузки в силу ее поло­гости в виде полуволны синусоиды со стрелой, равной максималь­ному прогибу балки:

.

Предположим также, что дополнительные прогибы у в каждом сечении балки от действия сжимающей силы Р распределяются по закону синуса:

.

Подставляя принятые приближенные решения в уравнение (4), получим

.

Отсюда найдем стрелу прогиба f₁:

.

Это решение полностью совпадает с решением задачи о стержне, имеющем небольшое начальное искривление. Поэтому запишем сразу оконча­тельную формулу для вычисления полного прогиба в середине стержня:

. (5)

Изгибающий момент в любом сечении стержня от действия сжи­мающей силы Р определим по формуле

.

Проверка стержня на прочность производится по наибольшему изгибающему моменту. Для этого сначала найдем наибольший изгибающий момент М₀ от действия поперечной нагрузки и опре­делим сечение, в котором действует этот момент. Пусть это сечение будет х=с. Затем определим изгибающий момент М₁ в этом сечении от действия сжимающей силы Р:

.

Складывая эти моменты, найдем полный изгибающий момент в этом сечении

При проверке на прочность нужно потребовать, чтобы напря­жения в крайних волокнах наиболее опасного сечения не превы­шали допускаемых:

.

Пример 1:Балка длиной l=4 м загружена в середине пролета вертикальной силой Р=10 кн и сжимается центрально приложен­ной силой P₁=150 кн (рис. 2). Подобрать сечение в виде дву­тавра, материал — Ст. 3.

Решение: Сначала подберем сечение из условия попереч­ного изгиба. Максимальный изгибающий момент в середине про­лета

Определим требуемый момент сопротивления:

По сортаменту нужно принять двутавр № 36. Однако, учитывая неблагоприятное влияние сжимающей силы, примем сечение с не­которым запасом: двутавр № 40, .F=71,4 см 2 , J_у=666 см 4 , W_у==85,9 см 3 , i_y=3.05 см.

Проверим подобранное сечение на устойчивость в плоскости наименьшей жесткости. Гибкость стержня

Выпишем значения коэффициентов j:

Вычислим значение j для Х= 131,1:

Допускаемая сжимающая сила

Так как сжимающая сила принята Р₁=150 кн, то устойчивость стержня обеспечена.

Проверим теперь фактические напряжения в крайних волокнах наиболее опасного сечения. Максимальный прогиб в середине стержня от поперечной нагрузки

Для того чтобы вычислить полный прогиб, найдем сначала величину критической силы

Полный прогиб в середине стержня

Вычислим дополнительный изгибающий момент от действия сжимающей силы:

Полный наибольший изгибающий момент и в середине стержня

Определим наибольшие сжимающие напряжения:

Подобранное сечение удовлетворяет условию прочности.

Продольно-поперечный изгиб при одновременном приложении к стержню

Продольно-поперечный изгиб

• Продольный и поперечный изгиб При одновременном приложении к стержню сжимающей силы и поперечной нагрузки происходит так называемый продольно-поперечный изгиб. Вы можете использовать принцип независимости от силы при одновременном сжатии и

изгибе крупных элементов, таких как опоры моста. Другими словами, вы можете найти напряжение и деформацию отдельно от сжатия и изгиба, а затем суммировать результаты. Этот метод не может

быть распространен на гибкие стержни. Гибкий стержень И получается Людмила Фирмаль

алгебраически- Испытания на сжатие с изгибом должны проводиться по так называемой схеме деформирования. (Пример этого уже обсуждался в пункте 131.) Из-за деформации стержня происходит смещение, поэтому продольные сжимающие силы создают дополнительные изгибающие моменты. Изгибающий момент от

продольной силы важен, и поэтому его нельзя игнорировать. Случай будет описан ниже. 404, изгибающий момент может быть определен как сумма двух моментов: L4-L4o и-R o, (15.21) где 44 0-единственный момент от боковой силы из уравнения (15.21), общий изгибающий

• момент секции стержня может быть вычислен только при наличии смещения V. следовательно, задача продольно-поперечного изгиба является статически неопределенной задачей. Для «точного» * решения задачи продольного и поперечного изгиба необходимо составить и решить дифференциальные уравнения для оси криволинейной балки: Mo Ru yx2_______е] Поскольку в этом реш

ении используется приближенное дифференциальное уравнение, термин «строгий» применяется здесь условно. Шестнадцать. 483(15.22)) Давайте напишем его в следующем формате: С.= AH2E^e^общим решением этого уравнения является сумма двух интегралов, которые зависят от интегралов однородного уравнения и интегралов правой части. Давайте проследим все это на конкретных примерах. Для риса. 405 показана балка на двух опорах с равномерной нагрузкой d и сжимающей силой P

изгибающим моментом На любом поперечном сечении поперечная нагрузка Людмила Фирмаль

определяется Р авством Л40= — у-(/- Х). Если рассматривать ось y, которая направлена вниз, то справа от дифференциального уравнения нужно поставить знак минус. В этом случае дифференциальное уравнение принимает вид а^

а+= — ГЛ.. 2е? Куда? Интеграл однородного уравнения был уже определен в§127, когда была решена задача Эйлера=a coz KX4-in81p KX. Частные интегралы, которые легко проверяются двойными производными и заменами в дифференциальных уравнениях, принимают вид: Таким образом, общий Интеграл дифференциального уравнения выглядит следующим образом &=Поп-ч+W81P ч — — — — — — — — — ч(1-ч) — — — — — — — д -. 2Р k2p(15.23)) 484 естественные константы L и B получены из граничных условий.Х=О в=0;х==я о = 0. Уравнение, зависящее от этих условий(15.23), получим

два уравнения: Л- — — — =0;Л-поп м+Vz1p К1———— = 0. Если мы решим эти уравнения относительно констант L и B и присвоим им Интеграл(15.23)、 о= — РК 1-поп-К1 81P м 81P&л- — — — — д-ч(1-ч)- — — — — — \2Р С * Р Соз Х+ Преобразовать значение К1: — //М2 В ем* ] / «РКР» 2/2 К= Тогда есть отклонение. К2″. G. x — 2. ■— — — ———Г8 1П———= ——- /ХV. (1×2/2I P если вы присваиваете результирующее выражение выражению (15.27 г / 2е]’ Или в соответствии с равенством (15.24) -2. X Px) I2\0\1 Здесь. О • Для рассматриваемого случая, учитывая, что значение является уравнением критической силы Эйлера, мы, наконец, получаем (15.28)) Эта формула может быть использована и в других случаях фиксации конца стержня, причем РКР должен определяться каждый раз с учетом характера фиксации стержня по общей формуле. п TG2E / …… . Р (^/) 2′ Где 3-момент инерции, соответствующий изгибу данной плоскости. Когда значение отклонения определено, легко определить

изгибающий момент и после этого определить усилие соответствуя раздела. Следует отметить, что приближенная формула (15.28)не может быть использована, если сила сжатия Р близка к критической силе. Следует отметить, что приведенное выше «точное» решение не дает желаемого результата даже в этом случае. В этих случаях необходимо исходить из дифференциальных уравнений 487sru(1х2 ±М0 Р У Е^ (15.29)) Точность, задаваемая формулой (15.28) по сравнению с решением, полученным на основе Интеграла дифференциального уравнения(15.28), достаточна, если сжимающая сила находится в интервале OPP — — — — — — — — — B -. ^ * ВОЗВРАТ КАРЕТКИ

Максимальное (сжимающее) напряжение определяется уравнением Четыреста восемьдесят восемь I1 Р УГ я / Р г КР Невозможно судить о величине напряжения на запасе прочности при заданной нагрузке, поскольку напряжение нелинейно связано с силой R, как при расчете внецентрового сжимающего гибкого стояка при продольном и поперечном изгибе стержня. Для уточнения этой задачи можно построить график изменения напряжений, которые зависят от силы Р, а также график, показанный на рисунке. 402. Однако для больших сил сжатия необходимо также проверить формулу (15.20).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Продольно–поперечный изгиб стержней

На практике довольно часто встречаются случаи, когда сравнительно гибкие стержни подвергаются одновременному действию продольных и поперечных нагрузок.

При решении задач сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. В таком случае формула для напряжений будет выглядеть так:

(1)

При продольно-поперечном изгибе y_о – прогиб, получившийся от поперечной нагрузки P , может значительно вырасти благодаря действию нагрузки N . При больших прогибах y1 формула (1) станет уже непригодной и при определении величины необходимо будет учесть еще и напряжения, возникающие от момента N y1, и тогда:

(2)

Для определения наибольшего нормального напряжения нужно уметь находить прогиб от совместного действия продольных и поперечных сил. Решим эту задачу, интегрируя дифференциальное уравнение упругой линии стержня.

В сечении m-n

Координата y здесь отрицательная:

Общий интеграл этого линейного неоднородного уравнения второго порядка:

Граничные условия:

из 1) следует, что , второе условие принимает вид:

Наибольшей прогиб при

(3)

Если продольная сила N стремится к нулю, то

С увеличением силы N прогиб стержня растет, при прогиб становится бесконечно большим, так как

Подставим (3) в (2):

(4)

где – наибольшее значение момента от поперечной нагрузки. Из формул (4) видно, что нормальные напряжения в стержне не пропорциональны внешним силам, а растут быстрее их.

Действительно, при увеличении продольной силы и поперечной нагрузки в К раз увеличивается и величина , благодаря этому растет и отношение , то есть величина напряжения

увеличивается более чем в К раз.

Это обстоятельство необходимо иметь в виду при составлении уравнения для проверки прочности стержня, подвергающегося совместному действию продольных и поперечных сил.

Безопасное состояние: (5)

где геометрические характеристики берутся относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки.

Помимо проверки прочности по уравнению (5) в тех случаях, когда поперечная нагрузка действует в плоскости наибольшей жёсткости, должна быть произведена еще и проверка устойчивости стержня в плоскости наименьшей жесткости.

В случае (а) должна быть произведена проверка прочности стержня на совместное действие продольных и поперечных сил по уравнению (5), причем осевой момент сопротивления сечений и осевой момент инерции должны быть определены относительно оси у.

В случае (б) кроме проверки по уравнению (5), куда войдут осевой момент сопротивления и момент инерции, вычисленные относительно оси z, должна быть выполнена проверка по формуле Эйлера, в которую войдет значение осевого момента инерции , вычисленное относительно оси у.