Ток смещения уравнение максвелла электромагнитное поле

§25. Ток смещения и система уравнений Максвелла

Мы установили, что изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, которое в свою очередь порождает изменяющееся магнитное поле и т. д. В результате образуются сцепленные между собой электрическое и магнитное поля, составляющие электромагнитную волну. Она “отрывается” от зарядов и токов, которые ее породи­ли. Способ существования электромагнитной волны делает невозможным ее неподвижность в пространстве и постоянство напряженности во времени.

Постоянный ток не протекает в цепи с конденсатором, а в случае переменного напряжения в цепи ток протекает через конденсатор. Для постоянного тока конденсатор – разрыв в цепи, а для переменного этого разрыва нет. Поэтому необходимо заключить, что между обкладками конденсатора происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости. Этот процесс между обкладками конденсатора был назван током смещения. Напряженность поля между обкладками конденсатора . Из граничного условия для вектора следует, что диэлектрическое смещение между обкладками , а сила тока в цепи равна . Тогда

, (25.1)

А значит процессом, замыкающим ток проводимости в цепи, является изменение электрического смещения во времени. Плотность тока

. (25.2)

Существование тока смещения было постулировано Максвеллом в 1864 г. и затем экспериментально подтверждено другими учеными.

Почему скорость изменения вектора смещения называется плотностью тока? Само по себе математическое равенство величины , характеризующей процесс между обкладками конденсатора, т. е. равенство двух величин, относящихся к разным областям пространства и имеющим различную физическую природу, не содержит в себе, вообще говоря, какого-то физического закона. Поэтому называть ”током” можно только формально. Для того чтобы придать этому названию физический смысл, необходимо доказать, что обладает наиболее характерными свойствами тока, хотя и не представляет движения электрических зарядов, подобного току проводимости. Главным свойством тока проводимости является его способность порождать магнитное поле. Поэтому решающим является вопрос о том, порождает ли ток смещения магнитное поле так же, как его порождают ток проводимости, или, более точно, порождает ли величина (25.2) такое же магнитное поле, как равная ей объемная плотность тока проводимости? Максвелл дал утвердительный ответ на этот вопрос. Однако наиболее ярким подтверждением порождения магнитного поля током смещения является существование электромагнитных волн. Если бы ток смещения не создавал магнитного поля, то не могли бы существовать электромагнитные волны.

Уравнение Максвелла с током смещения.

Порождение магнитного поля токами проводимости описывается уравнением

(25.3)

Учитывая порождение поля током смещения, необходимо обобщить это уравнение в виде

(25.4)

Тогда, принимая во внимание (25.2), окончательно получаем уравнение

, (25.5)

Являющееся одним из уравнений Максвелла.

Система уравнений Максвелла.

Полученная в результате обобщения экспериментальных данных, эта система имеет вид:

, (25.6)

Эти уравнения называются полевыми и справедливы при описании всех макроскопических электромагнитных явлений. Учет свойств среды достигается уравнениями

, (25.7)

Называемыми обычно Материальными уравнениями среды. Среды линейны, если и нелинейны если . Материальные уравнения, как правило, имеют вид функционалов.

Рассмотрим физический смысл уравнений.

Уравнение I выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися двумя возможными источниками магнитного поля. Уравнение II выражает закон электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле. Вторым источником электрического поля являются электрические заряды (уравнение IV). Уравнение III говорит о том, что в природе нет магнитных зарядов.

Полнота и совместность системы. Единственность решения.

В случае линейной среды можно исключить из полевых уравнений (25.6) величины в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов и , т. е. относительно шести неизвестных (у каждого вектора по 3 проекции). С другой стороны число скалярных уравнений в (25.6) равно восьми. Получается, что система состоит из 8 уравнений для 6 неизвестных. Однако в действительности система не переполнена. Это обусловлено тем, что уравнения I и IV, а также II и III имеют одинаковые дифференциальные следствия и поэтому связаны между собой.

Чтобы в этом убедиться возьмем от уравнения II и производную по времени от уравнения III. Получим:

,

Т. е. получили одинаковые дифференциальные следствия. Аналогично возьмем от уравнения I:

.

С из уравнения непрерывности следует, что . Тогда

или . Из IV следует, что

Наличие двух дифференциальных связей и делает систему уравнений Максвелла совместной. Более подробный анализ показывает, что система является полной, а ее решение однозначно при заданных начальных и граничных условиях.

Доказательство единственности решения в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности системы тоже является решением, но при нулевых зарядах и токах и нулевых начальных и граничных условиях. Отсюда, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом сохранения энергии заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т. е. решения одинаковы. Тем самым единственность решения уравнений Максвелла доказана.

Максвелл и его электромагнитная теория

Содержание:

• Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой выпускной квалификационной работой!
• Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала для самостоятельной подготовки учебной работы.

Если вам тяжело разобраться в данной теме напишите мне в whatsapp разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!

По этой ссылке вы сможете найти много готовых рефератов по физике:

Посмотрите похожие темы возможно они вам могут быть полезны:

Введение:

Джеймс Клерк Максвелл родился 13 июня 1831 г. в Эдинбурге, в семье адвоката владельца поместья в Шотландии. Мальчик рано проявил любовь к технике и желание постичь окружающий мир. На него большое влияние оказал его отец, высокообразованный человек, который глубоко интересовался проблемами естествознания и техники. В школе Максвелл был очарован геометрией, и его первой научной работой, выполненной в возрасте пятнадцати лет, было открытие простого, но не известного способа рисования овальных фигур. Максвелл получил хорошее образование, сначала в Эдинбурге, а затем в Кембриджском университете.

В 1856 году молодой, многообещающий ученый был приглашен преподавать в качестве профессора в колледже в шотландском городе Абердин. Здесь Максвелл с энтузиазмом работает над проблемами теоретической и прикладной механики, оптики, физиологии цветового зрения. Он блестяще разгадывает загадку колец Сатурна, математически доказывая, что они образованы из отдельных частиц. Имя ученого становится известным, и его приглашают занять кресло в Королевском колледже Лондона. Лондонский период (1860-1865) был самым плодотворным в жизни ученого. Он возобновляет и доводит до конца теоретические исследования по электродинамике, публикует фундаментальные работы по кинетической теории газов.

Переехав из Абердина, Максвелл продолжил свои исследования с неослабевающим напряжением, уделяя особое внимание кинетической теории газов. Говорят, что его жена (бывшая Екатерина Мэри Девар, дочь главы Маришальского колледжа) устроила пожар в подвале их лондонского дома, чтобы дать Максвеллу возможность проводить эксперименты на чердаке для изучения тепловых свойств газов. Но решающим и, безусловно, величайшим достижением Максвелла было его создание теории электромагнитного поля.

Начало девятнадцатого века было изобиловало захватывающими открытиями. Вскоре после получения первых стационарных токов Эрстед показал, что ток, протекающий через проводник, генерирует магнитные эффекты, подобные тем, которые вызываются обычным постоянным магнитом. Поэтому было предложено, чтобы два токонесущих проводника вели себя как два магнита, которые, как вы знаете, могут либо притягивать, либо отталкивать. Действительно, эксперименты Ампера и других исследователей подтвердили наличие сил притяжения или отталкивания между двумя проводниками с током. Вскоре стало возможным сформулировать закон притяжения и отталкивания с той же точностью, с которой Ньютон сформулировал закон гравитационного притяжения между любыми двумя материальными телами.

Затем Фарадей и Генри обнаружили замечательное явление электромагнитной индукции и тем самым продемонстрировали тесную связь между магнетизмом и электричеством.

Однако существовала острая необходимость в создании единой теории, которая отвечала бы необходимым требованиям, которая позволила бы прогнозировать развитие электромагнитных явлений во времени и пространстве в наиболее общем случае при любых мыслимых конкретных экспериментальных условиях.

Это именно то, чем оказалась электромагнитная теория Максвелла, сформулированная им в виде системы нескольких уравнений, описывающих все многообразие свойств электромагнитных полей с использованием двух физических величин напряженности электрического поля E и напряженности магнитного поля H. Примечательно, что эти уравнения Максвелла в их окончательной форме и по сей день остаются краеугольным камнем физики, давая описание наблюдаемых электромагнитных явлений, соответствующих действительности.

При проектировании высоковольтной линии электропередачи для передачи электроэнергии на большие расстояния уравнения Максвелла помогают создать систему, минимизирующую потери; при проведении фундаментальных экспериментов в лаборатории по изучению свойств металлов в высокочастотном электрическом поле при очень низких температурах мы используем уравнения Максвелла для определения характера распространения электромагнитного поля внутри металла; Если мы строим новый радиотелескоп, способный захватывать электромагнитные шумы из космоса, то при проектировании антенн и волноводов, которые передают энергию от антенны к радиоприемнику, мы неизменно используем уравнения Максвелла.

Существует закон, согласно которому сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, прямо пропорциональна произведению величины заряда на компонент скорости, перпендикулярный направлению магнитного поля; эта сила известна нам как «сила Лоренца». Однако кто-то называет это «силой Лапласа».

Нет такой неопределенности в уравнениях Максвелла; честь этого открытия принадлежит ему одному.

Следует отметить, что в прошлом веке он ни в коем случае не был единственным физиком, который пытался создать всеобъемлющую теорию электромагнетизма, другие тоже не без оснований подозревали о существовании глубокой связи между световыми и электрическими явлениями.

Главная заслуга Максвелла в том, что он по-своему пришел к изящной и простой системе уравнений, которая описывает все электромагнитные явления.

Уравнения Максвелла не только охватывают и описывают все известные нам электромагнитные явления; область их применения даже не ограничивается какими-либо мыслимыми электромагнитными явлениями, происходящими в конкретных местных условиях. Теория Максвелла предсказала совершенно новый эффект, наблюдаемый в космосе, свободном от материальных тел, электромагнитного излучения. Это, несомненно, уникальное достижение, которое венчает триумф теории Максвелла.

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея e_i = dФ/dt следует, что любое изменение магнитного потока индукции, связанного с цепью, приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и, как следствие, появляется ток индукции. Следовательно, возникновение электромагнитной индукции ЭДС также возможно в стационарной цепи, расположенной в переменном магнитном поле. Однако ЭДС в любой цепи возникает только тогда, когда на носители тока действуют внешние силы силы неэлектростатического происхождения.

Опыт показывает, что эти внешние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в цепи; их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, поскольку они не действуют на стационарные заряды. Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает электрическое поле в окружающем пространстве, которое является причиной индукционного тока в цепи. Согласно идеям Максвелла, контур, в котором появляется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода «устройством», которое обнаруживает это поле.

Ток смещения

Согласно Максвеллу, если какое-либо переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле в окружающем пространстве, то должно существовать и противоположное явление: любое изменение электрического поля должно вызывать появление вихревого магнитного поля в окружающем пространстве. Поскольку магнитное поле всегда связано с электрическим током, Максвелл назвал переменное электрическое поле, которое возбуждает магнитное поле, током смещения, в отличие от тока проводимости, из-за упорядоченного движения зарядов. По словам Максвелла, для возникновения тока смещения необходимо только наличие переменного электрического поля.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор. Между пластинами зарядного и разрядного конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, токи смещения «протекают» через конденсатор и в тех областях, где нет проводников. Следовательно, поскольку существует переменное электрическое поле (ток смещения) между обкладками конденсатора, магнитное поле также возбуждается между ними.

Найдем количественную связь между изменяющимися электрическими и магнитными полями, вызванными этим. Согласно Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы токопроводящий ток существовал между обкладками конденсатора силой, подобной силе токов в проводах питания. Тогда можно утверждать, что плотности тока проводимости (j) и смещения (jcm) равны: j_cm = j.

Плотность тока проводимости вблизи пластин конденсатора, s плотность поверхностного заряда, S площадь пластин конденсатора. Если электрическое смещение в конденсаторе равно D, то плотность поверхностного заряда на пластинах равна s = D.

Поскольку ток смещения возникает при любом изменении электрического поля, он существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, через которые протекает переменный ток. Однако в этом случае оно незначительно по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения было экспериментально подтверждено советским физиком А. А. Эйхенвальдом, который изучал магнитное поле тока поляризации, который является частью тока смещения.

В общем случае токи проводимости и смещения в пространстве не разделены, они находятся в одном объеме. Поэтому Максвелл ввел понятие общего тока, равного сумме токов проводимости (а также токов конвекции) и смещения.

Введя понятие тока смещения и полного тока, Максвелл подошел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока по-новому. Общий ток в них всегда замкнут, то есть на концах проводника обрезается только ток проводимости , а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника возникает ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Уравнение Максвелла для электромагнитного поля

Введение Максвеллом концепции тока смещения привело его к завершению единой макроскопической теории электромагнитного поля, которую он создал, что позволило с единой точки зрения объяснить не только электрические и магнитные явления, но и предсказывать новые, существование которых было позже подтверждено.

Это уравнение показывает, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут быть возбуждены либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Из уравнения Максвелла следует, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, которые меняются во времени, а магнитные поля могут быть возбуждены либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрических и магнитных полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов.

В этом случае электрические и магнитные поля не зависят друг от друга, что позволяет отдельно изучать постоянные электрические и магнитные поля.

Если заряды и токи непрерывно распределены в пространстве, то обе формы уравнений Максвелла, интегральная и дифференциальная, эквивалентны. Однако, когда существуют поверхности разрыва поверхности, на которых свойства среды или полей резко изменяются, интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла являются наиболее общими уравнениями для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют ту же роль в теории электромагнетизма, что и законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с генерируемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с генерируемым им магнитным полем, то есть электрическое и магнитное поля неразрывно связаны с каждым другие они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла является макроскопической, поскольку она рассматривает электрические и магнитные поля, созданные макроскопическими зарядами и токами. Поэтому эта теория не смогла раскрыть внутренний механизм явлений, которые происходят в окружающей среде и приводят к возникновению электрических и магнитных полей. Дальнейшим развитием теории Максвелла об электромагнитном поле была электронная теория Лоренца, а теория Максвелла-Лоренца получила дальнейшее развитие в квантовой физике.

Теория Максвелла, являясь обобщением основных законов электрических и магнитных явлений, смогла объяснить не только уже известные экспериментальные факты, что также является важным следствием этого, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории было существование магнитного поля токов смещения, существование электромагнитных волн переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. Позднее было доказано, что скорость распространения в вакууме свободного электромагнитного поля (не связанного токами) равна скорости света c=3·108 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет также является электромагнитными волнами. Электромагнитные волны были экспериментально получены Г. Герцем (1857 1894), который доказал, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла получила блестящее экспериментальное подтверждение.

Заключение

Позже А. Эйнштейн установил, что принцип относительности Галилея для механических явлений применим ко всем другим физическим явлениям.

Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические, оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета происходят одинаково, то есть описываются одними и теми же уравнениями. Из этого принципа следует, что раздельное рассмотрение электрических и магнитных полей имеет относительный смысл. Таким образом, если электрическое поле создается системой стационарных зарядов, то эти заряды, будучи стационарными относительно одной инерциальной системы отсчета, перемещаются относительно другой и, следовательно, будут генерировать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, проводник постоянного тока, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета, возбуждая постоянное магнитное поле в каждой точке пространства, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, основанной на концепции электромагнитного поля.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнения Максвелла. Электромагнитное поле.

Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. При этом одной из новых важнейших идей, вы­двинутых Максвеллом, была мысль о симметрии во взаимоза­висимости электрического и магнитного полей. А именно, по­скольку меняющееся во времени магнитное поле (dΒ/dt) созда­ет электрическое поле (см. (2.11.6)), следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (dΕ/dt) создает магнитное поле.

К этой идее о необходимости существования по сути нового явления индукции можно прийти путем, например, следую­щих рассуждений. Мы знаем, что согласно теореме о цирку­ляции вектора

( 2.12.1 )

Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заря­женный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. a). В качестве контура Г, по которому определяем циркуляцию , возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например S и S’. Обе поверхно­сти имеют «равные права», однако через поверхность S течет ток I, а через поверхность S’ не течет никакого тока. Получается, что циркуляция вектора зависит от того, какую поверхность мы натягиваем на данный контур, чего явно не может быть (в случае постоянных токов этого и не проис­ходило).

А нельзя ли как-то изменить правую часть (2.12.1), чтобы избе­жать этой неприятности? Оказывается, можно, и вот как.

Первое, что мы замечаем, это то, что поверхность S’ «прони­зывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора сквозь замкнутую поверхность = q, откуда

(2.12.2)

С другой стороны, согласно уравнению непрерывности

(2.12.3)

Сложив по отдельности левые и правые части уравнений (2.12.2) и (2.12.3), получим

(2.12.4)

Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для по­стоянного тока. Из него видно, что кроме плотности тока про­водимости имеется еще одно слагаемое /dt, размерность которого равна размерности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностьютока смещения:

. (2.12.5)

Сумму же тока проводимости и тока смещения называют пол­нымтоком. Его плотность

. (2.12.6)

Согласно (2.12.4) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.

Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устра­няет трудность, связанную с зависимостью циркуляции векто­ра от выбора поверхности, натягиваемой на контур Г. Ока­зывается, для этого достаточно в правой части уравнения (2.12.1) вместо тока проводимости ввести полный ток, т. е. ве­личину

(2.12.7)

В самом деле, правая часть (2.12.7) представляет собой сумму тока проводимости I и тока смещения I_см: I_полн = I + I_см. По­кажем, что полный ток I_полн будет одинаков и для поверхности S, и для поверхности S’, натянутых на один и тот же контур Г. Для этого применим (2.12.4) к замкнутой поверхности, со­ставленной из поверхностей S и S’ (рис. б). Учитывая, что для замкнутой поверхности нормаль n направлена наружу, запишем

Теперь, если обернуть нормаль n’ для поверхности S’ в ту же сторону, что и для S, то первое слагаемое в последнем уравне­нии изменит знак, и мы получим

что и требовалось доказать. Итак, теорему о циркуляции век­тора , которая была установлена для постоянных токов, можно обобщить для произвольного случая и записать

. (2.12.8)

В таком виде теорема о циркуляции вектора справедлива всегда, свидетельством чему является согласие этого уравне­ния с результатами опыта во всех без исключения случаях.

Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь в виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле. Токи смещения существуют лишь там, где меняется со време­нем электрическое поле. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле.

В диэлектриках ток смещения состо­ит из двух существенно различных слагаемых. Так как вектор , то отсюда видно, что плотность тока смещения складывается из «истинного» тока смещения и тока поляризации — величины, обусловленной движе­нием связанных зарядов. В том, что токи поляризации возбу­ждают магнитное поле, нет ничего неожиданного, ибо эти то­ки по природе своей не отличаются от токов проводимости, так как связаны с движением зарядов. Принципиально новое содержится в утверждении, что и дру­гая часть тока смещения ), которая не связана ни с каким движением зарядов, а обусловлена только изменением электрического поля, также возбуждает магнитное поле.

Открытие этого явления — наиболее существенный и решаю­щий шаг, сделанный Максвеллом при построении теории электромагнитного поля. Это открытие вполне аналогично от­крытию электромагнитной индукции, согласно которому пе­ременное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Следует также отметить, что открытие Максвеллом тока смещения — чисто теоретическое открытие, причем первосте­пенной важности.

Уравнения Максвелла в интегральной форме.

С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была блестяще завершена. Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электри­ческих и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магне­тизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впо­следствии.

До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории. Теперь можно представить всю картину в виде системы фун­даментальных уравнений электродинамики, называемыхурав­нениями Максвелла внеподвижных средах. Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с каждым из них в отдельно­сти в предшествующих разделах, а сейчас просто соберем их все вместе). В интегральной форме система уравнений Мак­свелла имеет следующий вид:

(2.12.9)

где ρ — объемная плотность сторонних зарядов, — плотность тока проводимости.

Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле.

Содержание этих уравнений заключается в следующем:

1. Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру рав­на со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным кон­туром. При этом под понимается не только вихревое элек­трическое поле, но и электростатическое (циркуляция послед­него, как известно, равна нулю).

2. Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность ра­вен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.

3. Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру рав­на полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.

4. Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверх­ность всегда равен нулю.

Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов и сле­дует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматри­вать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электро­магнитное поле.

Если же поля стационарны ( = const и = const), то уравне­ния Максвелла распадаются на две группы независимых урав­нений:

(2.12.10)

В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга, что и позволило нам изучить сначала постоян­ное электрическое поле, а затем независимо от него и посто­янное магнитное поле.

Необходимо подчеркнуть, что рассуждения, с помощью кото­рых можно придти к уравнениям Максвелла, ни в коей мере не могут претендовать наих доказательство. Эти уравнения нель­зя «вывести», они являются основными аксиомами, постула­тами электродинамики, полученными путем обобщения опыт­ных фактов. Эти постулаты играют в электродинамике такую же роль, как законы Ньютона в классической механике или начала термодинамики.

Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют по­верхности разрыва — поверхности, на которых свойства сре­ды или полей меняются скачкообразно.В этих уравнениях содержатся и граничные условия, которые име­ют уже знакомый нам вид:

(здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов прово­димости). Заметим также, что приведенные граничные усло­вия справедливы как для постоянных, так и для переменных полей.

Материальные уравнения. Фундаментальные уравнения Мак­свелла еще не составляют полной системы уравнений электро­магнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахожде­ния полей по заданным распределениям зарядов и токов.

Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивиду­альные свойства среды. Эти соотношения называютматери­альными уравнениями. Вообще говоря, эти уравнения доста­точно сложны и не обладают той общностью и фундаменталь­ностью, которые свойственны уравнениям Максвелла.

Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно ме­няющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферро­магнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид (он нам уже знаком):

=εε₀ , =μμ₀ , = ( + *), (2.12.12)

где ε, μ, — известные нам постоянные, характеризующие электрические и магнитные свойства среды (диэлектрическая и магнитная проницаемости и удельное сопротивление). * — на­пряженность поля сторонних сил, обусловленная хи­мическими или тепловыми процессами.

Свойства уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей и по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов и токов. Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски-инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла (относительно преобразований Лоренца) подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам.

О симметрии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено опять же тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных (насколько известно в настоящее время). Вместе с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где плотность зарядов и плотность тока проводимости равны нулю, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид:

(2.12.13)

Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распространяется лишь на знак перед производными d /dt и . Различие в знаках перед этими производными показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля , образуют с вектором левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением , образуют с вектором правовинтовую систему (см. рисунок).

Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света c.

Выяснилось также, что ток смещения ( ) играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться ‑ электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства.

Энергия электромагнитного поля.

Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т.е. нет явления гистерезиса) и отсутствуют токи проводимости, то плотность энергии электромагнитного поля (в соответствии с (2.6.10) и (2.11.19)) будет определяться по формуле

. ( 2.12.14 )