Тонкие линзы
Линза – это прозрачное тело, имеющая 2 сферические поверхности. Она, является тонкой, если ее толщина меньше радиусов кривизны сферических поверхностей.
Линза — это составляющая часть почти каждого оптического прибора. Линзы бывают по своему определению собирающие и рассеивающие (рис. 3 . 3 . 1 ).
Собирающая линза — это линза, которая в середине толще, чем по краям.
Линза, имеющая большую толщину по краям, называется рассеивающей.
Рисунок 3 . 3 . 1 . Собирающие ( a ) и рассеивающие ( b ) линзы и их условные обозначения.
Главная оптическая ось – это прямая, которая проходит через центры кривизны O 1 и O 2 сферических поверхностей.
В тонкой линзе главная оптическая ось пересекается в одной точке – оптическом центре линзы O . Световой луч проходит через оптический центр линзы, не отклоняясь от своего первоначального направления.
Побочные оптические оси – это прямые, проходящие через оптический центр.
Если к линзе направить пучок лучей, которые расположены параллельно главной оптической оси, тогда после прохождения через линзу лучи (либо их продолжения) сосредоточатся в одной точке F .
Эта точка получила название главный фокус линзы.
Тонкая линза имеет два главных фокуса, которые располагаются симметрично на главной оптической оси по отношению к линзе.
Фокус собирающей линзы – действительный, а у рассеивающей – мнимый.
Пучки лучей, параллельные одной из всей совокупности побочных оптических осей, после прохождения через линзу тоже нацелены на точку F ‘ , расположенную на пересечении побочной оси с фокальной плоскостью Ф .
Фокальная плоскость – это плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через главный фокус (рис. 3 . 3 . 2 ).
Расстояние между главным фокусом F и оптическим центром линзы О , называется фокусным ( F ) .
Рисунок 3 . 3 . 2 . Преломление параллельного пучка лучей в собирающей ( a ) и рассеивающей ( b ) линзах. O 1 и O 2 – центры сферических поверхностей, O 1 O 2 – главная оптическая ось, О – оптический центр, F – главный фокус, F ‘ – фокус, O F ‘ – побочная оптическая ось, Ф – фокальная плоскость.
Главным свойством линз является способность передавать изображения предметов. Они, в свою очередь, бывают:
- Действительные и мнимые;
- Прямые и перевернутые;
- Увеличенные и уменьшенные.
Построение изображения в линзах
Геометрические построения помогают определить положение изображения, а также его характер. Для этой цели применяют свойства стандартных лучей, направление которых определено. Это лучи, которые проходят через оптический центр либо один из фокусов линзы, и лучи, параллельно расположенные главной либо одной из побочных оптических осей. Рисунки 3 . 3 . 3 и 3 . 3 . 4 демонстрируют данные построения.
Рисунок 3 . 3 . 3 . Построение изображения в собирающей линзе.
Рисунок 3 . 3 . 4 . Построение изображения в рассеивающей линзе.
Стоит выделить то, что стандартные лучи, использованные на рисунках 3 . 3 . 3 и 3 . 3 . 4 для построения изображений, не проходят через линзу. Данные лучи не используются в построении изображения, но могут быть использованы в этом процессе.
Для расчета положения изображения и его характера используется формула тонкой линзы. Если записать расстояние от предмета до линзы как d , а от линзы до изображения как f , то формула тонкой линзы имеет вид:
1 d + 1 f + 1 F = D.
Величина D – это оптическая сила линзы, равная обратному фокусному расстоянию.
Диоптрия ( д п т р ) является единицей измерения оптической силы, фокусное расстояние которой равно 1 м : 1 д п т р = м — 1 .
Формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала. Можно вывести ее для параксиальных лучей из подобия треугольников на рисунках 3 . 3 . 3 либо 3 . 3 . 4 .
Фокусное расстояние линз записывается с определенными знаками: собирающая линза F > 0 , рассеивающая F 0 .
Величина d и f тоже подчиняются определенным знакам:
- d > 0 и f > 0 – применительно к действительным предметам (то есть реальным источникам света) и изображений;
- d 0 и f 0 – применительно к мнимым источникам и изображениям.
Для случая на рисунке 3 . 3 . 3 F > 0 (линза собирающая), d = 3 F > 0 (действительный предмет).
Из формулы тонкой линзы получаем: f = 3 2 F > 0 , означает, что изображение действительное.
Для случая на рисунке 3 . 3 . 4 F 0 (линза рассеивающая), d = 2 | F | > 0 (действительный предмет), справедлива формула f = — 2 3 F 0 , следовательно, изображение мнимое.
Линейные размеры изображения зависят от положения предмета по отношению к линзе.
Линейное увеличение линзы Г – это отношение линейных размеров изображения h ‘ и предмета h .
Величину h ‘ удобно записывать со знаками плюс или минус, в зависимости от того, прямое оно или перевернутое. Она всегда положительна. Потому для прямых изображений применяется условие Γ > 0 , для перевернутых Γ 0 . Из подобия треугольников на рисунках 3 . 3 . 3 и 3 . 3 . 4 нетрудно вывести формулу для расчета линейного увеличения тонкой линзы:
В примере с собирающей линзой на рисунке 3 . 3 . 3 при d = 3 F > 0 , f = 3 2 F > 0 .
Значит, Г = — 1 2 0 – изображение перевернутое и уменьшенное в два раза.
В примере с рассеивающей линзой на рисунке 3 . 3 . 4 при d = 2 | F | > 0 , справедлива формула f = — 2 3 F 0 ; значит, Г = 1 3 > 0 – изображение прямое и уменьшенное в три раза.
Оптическая сила D линзы находится в зависимости от радиусов кривизны R 1 и R 2 , ее сферических поверхностей, а также и от показателя преломления n материала линзы. В теории оптики имеет место следующее выражение:
D = 1 F = ( n — 1 ) 1 R 1 + 1 R 2 .
Выпуклая поверхность имеет положительный радиус кривизны, а вогнутая поверхность – отрицательным. Данная формула применима в изготовлении линз с заданной оптической силой.
Многие оптические приборы устроены таким образом, что свет последовательно проходит через 2 или несколько линз. Изображение предмета от 1 -й линзы служит предметом (действительным или мнимым) для 2 -й линзы, выстраивающей, в свою очередь, 2 -е изображение предмета, которое также может быть действительным либо мнимым. Расчет оптической системы из 2 -х тонких линз состоит в
2 -кратном применении формулы линзы, причем расстояние d 2 от 1 -го изображения до 2 -й линзы следует предложить равное величине l – f 1 , где l – это расстояние между линзами.
Вычисленная, по формуле линзы, величина f 2 предопределяет положение 2 -го изображения, а также его характер ( f 2 > 0 – действительное изображение, f 2 0 – мнимое). Общее линейное увеличение Γ системы из 2 -х линз равняется произведению линейных увеличений 2 -х линз, то есть Γ = Γ 1 · Γ 2 . Если предмет либо его изображение находятся в бесконечности, тогда линейное увеличение не имеет смысла.
Астрономическая труба Кеплера и земная труба Галилея
Рассмотрим частный случай – телескопический ход лучей в системе из 2 -х линз, когда и предмет, и 2 -е изображение расположены на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Телескопический ход лучей выполняется в зрительных трубах: земной трубе Галилея и астрономической трубе Кеплера.
Тонкая линза имеет некоторые недостатки, которые не позволяют получать изображения высокого разрешения.
Аберрация – это искажение, которое возникает в процессе формирования изображения. В зависимости от расстояния, на котором проводится наблюдение, аберрации могут быть сферическими и хроматическими.
Смысл сферической аберрации в том, что при широких световых пучках лучи, находящиеся на далеком расстоянии от оптической оси, пересекают ее не в месте фокуса. Формула тонкой линзы действует лишь для лучей, которые находятся близко к оптической оси. Изображение удаленного источника, которое создается широким пучком лучей, преломленных линзой, размыто.
Смысл хроматической аберрации в том, что на показатель преломления материала линзы влияет длина световой волны λ . Данное свойство прозрачных сред называют дисперсией. Фокусное расстояние линзы различно для света с различными длинами волн. Данный факт приводит к размытию изображения при излучении немонохроматического света.
Современные оптические приборы оснащены не тонкими линзами, а сложными линзовыми системами, в которых есть возможность исключить некоторые искажения.
В таких приборах, как фотоаппараты, проекторы и т.д., используются собирающие линзы для формирования действительных изображений предметов.
Что представляет собой фотоаппарат
Фотоаппарат – это замкнутая светонепроницаемая камера, в которой изображение запечатленных предметов создается на пленке системой линз – объективом. На время экспозиции объектив открывается и закрывается с помощью специального затвора.
Особенность работы фотоаппарата в том, что на плоской фотопленке получаются довольно резкие изображения предметов, которые находятся на различных расстояниях. Резкость меняется вследствие перемещения объектива относительно фотопленки. Изображения точек, которые не лежат в плоскости резкого наведения, выходят на снимках размытыми в виде рассеянных кружков. Размер d данных кружков можно уменьшить методом диафрагмирования объектива, то есть уменьшения относительного отверстия a F , как показано на рисунке 3 . 3 . 5 . Это в результате увеличивает глубину резкости.
Рисунок 3 . 3 . 5 . Фотоаппарат.
С помощью проекционного аппарата удается снять масштабные изображения. Объектив O проектора фокусирует изображение плоского предмета (диапозитив D ) на удаленном экране Э (рисунок 3 . 3 . 6 ). Система линз K (конденсор) используется для концентрации света источника S на диапозитиве. На экране воссоздается увеличенное перевернутое изображение. Масштаб проекционного устройства можно изменять, приближая или отдаляя экран и одновременно изменяя расстояние между диапозитивом D и объективом O .
Рисунок 3 . 3 . 6 . Проекционный аппарат.
Рисунок 3 . 3 . 7 . Модель тонкой линзы.
Рисунок 3 . 3 . 8 . Модель системы из двух линз.
Тонкие линзы уравнение тонких линзах
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой .
Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими и рассеивающими . Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше (рис. 3.3.1).
 | |||||||||||||||
| Рисунок 3.3.1. Прямая, проходящая через центры кривизны и сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы. В случае тонких линз приближенно можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которую принято называть оптическим центром линзы . Луч света проходит через оптический центр линзы, не отклоняясь от первоначального направления. Все прямые, проходящие через оптический центр, называются побочными оптическими осями . Если на линзу направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения через линзу лучи (или их продолжения) соберутся в одной точке , которая называется главным фокусом линзы. У тонкой линзы имеются два главных фокуса, расположенных симметрично на главной оптической оси относительно линзы. У собирающих линз фокусы действительные, у рассеивающих – мнимые. Пучки лучей, параллельных одной из побочных оптических осей, после прохождения через линзу также фокусируются в точку , которая расположена при пересечении побочной оси с фокальной плоскостью , то есть плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус (рис. 3.3.2). Расстояние между оптическим центром линзы и главным фокусом называется фокусным расстоянием. Оно обозначаетcя той же буквой .
|
следовательно, изображение действительное.
то есть изображение мнимое.
следовательно, 
– изображение перевернутое и уменьшенное в 2 раза.
; следовательно, 
– изображение прямое и уменьшенное в 3 раза.
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.