Теоретическая механика:
Кинематика точки

Смотрите также решения задач по теме «Кинематика точки» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.

В этой главе в основном рассмотрены методы решения задач, в которых закон движения точки выражен так называемым естественным способом: уравнением s=f(t) по заданной траектории *.

* Решения задач, в которых закон движения задан координатным способом, рассмотрены в конце главы (§ 31).

В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки но заданной траектории, являются: s – расстояние от заданного начального положения и t – время.

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью (v на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:
v = ds/dt или v = f'(t).

Ускорение a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость – вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением a_t – составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
a_t = dv/dt или a_t = f»(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением a_n – составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
a_n = v 2 /R,
где v – модуль скорости точки в данный момент;
R – радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a ( полное ускорение точки ).

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора:
a = sqrt(a_t 2 + a_n 2 ).

Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:
sin α = a_n/a; cos α = a_t/a; tg α = a_n/a_t.

Но можно сначала определить направление полного ускорения a использовав формулу tg α = a_n/a_t,
а затем найти числовое значение a:
a = a_n/sin α или a = a_t/cos α.

Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.

Наличие касательного ускорения (a_t≠0) или его отсутствие (a_t=0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.

Наличие нормального ускорения (a_n≠0) или его отсутствие (a_n=0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.

Движение точки можно классифицировать так:
а) равномерное прямолинейное (a_t = 0 и a_n = 0);
б) равномерное криволинейное (a_t = 0 и a_n ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (a_t ≠ 0 и a_n = 0);
г) неравномерное криволинейное (a_t ≠ 0 и a_n ≠ 0).

Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.

Степень неравномерности движения точки задана уравнением s=f(t), а вид траектории задается непосредственно.

§ 27. Равномерное прямолинейное движение точки

Если a_t=0 и a_n=0, то вектор скорости остается постоянным (v=const), т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным .

Уравнение равномерного движения имеет вид
(а) s = s₀ + vt
или в частном случае, когда начальное расстояние s₀=0,
(б) s = vt.

В уравнение (а) входит всего четыре величины, из них две переменные: s и t и две постоянные: s₀ и v. Поэтому в условии задачи на равномерное и прямолинейное движение точки должны быть заданы три любые величины.

При решении задач необходимо выяснить все заданные величины и привести их к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы: расстояние s измеряется в м, время t – в сек, скорость v – в м/сек.

§ 28. Равномерное криволинейное движение точки

Если a_t = 0 и a_n ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное
a_n = v 2 /R,
где R – радиус кривизны траектории.

В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный:
R = r = const,
а так как и числовое значение скорости постоянно, то
a_n = v 2 /r = const.

При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы
v = (s — s₀)/t или v = s/t.

Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r – диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид
v = 2πr/T = πd/T.

§ 29. Равнопеременное движение точки

Если вектор a_t=const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то a_n=0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным .

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
a_t = dv/dt = f'(t) = const,
то a_n≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным .

При |a_t|>0 движение точки называется равноускоренным , а при |a_t| равнозамедленным .

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
(1) s = s₀ + v₀t + a_tt 2 / 2.

Здесь s₀ – расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v₀ – начальная скорость и a_t – касательное ускорение – величины численно постоянные, a s и t – переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения
(2) v = v₀ + a_tt.

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s₀, v₀, a_t и три переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны a_t и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения a_t из (1) и (2)
(3) s = s₀ + (v + v₀)t / 2;

после исключения t из (1) и (2)
(4) s = s₀ + (v 2 — v₀ 2 ) / (2a_t).

В частном случае, когда начальные величины s₀=0 и v₀=0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:
(5) s = a_tt 2 / 2;
(6) v = a_tt;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2a_t).

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) – вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением . К этому движению применимы формулы (5)–(8), причем
a_t = g = 9,81 м/сек 2 ≈ 9,8 м/сек 2 .

§ 30. Неравномерное движение точки по любой траектории

§ 31. Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:
x = f₁(t);
(1) y = f₂(t);
z = f₃(t);

Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями:
(2) x = f₁(t);
y = f₂(t);

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме .

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то:

а) траектория плоского движения точки выражается уравнением
y = F(x),
которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;

б) числовое значение скорости точки находится из формулы
v = sqrt(v_x 2 + v_y 2 )
после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат
v_x = dx/dt и v_y = dy/dt;

в) числовое значение ускорения находится из формулы
a = sqrt(a_x 2 + a_y 2 )
после предварительного определения проекций ускорения на оси координат
a_x = dv_x/dt и a_y = dv_y/dt;

г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

§ 32. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R – кривизну ) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу
a_n = v 2 /R,
выражающую числовое значение нормального ускорения.

Скорость v точки определяется по формуле
(б) v = sqrt(v_x 2 + v_y 2 ).

Числовое значение нормального ускорения a_n входит в выражение полного ускорения точки
a = sqrt(a_n 2 + a_t 2 ),
откуда
(в) a_n = sqrt(a 2 — a_t 2 ),
где квадрат полного ускорения
(г) a 2 = a_x 2 + a_y 2
и касательное ускорение
(д) a_t = dv/dt.

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями
x = f₁(t);
y = f₂(t),
то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:
v_x = f₁‘(t);
v_y = f₂‘(t).

2. Подставив в (б’) выражения v_x и v_y, найти v 2 .

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б’), найти касательное ускорение a_t, а затем a_t 2 .

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения
a_x = f₁»(t) = v_x‘;
a_y = f₂»(t) = v_y‘.

5. Подставив в (г) выражения a_x и a_y, найти a 2 .

6. Подставить в (в) значения a 2 и a_t 2 и найти a_n.

7. Подставив в (а) найденные значения v 2 и a_n, получить радиус кривизны R.

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Кинематика материальной точки

Основные формулы кинематики материальной точки

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz :
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Скорость точки:
;
;
;
Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
.
Вектор можно выбрать двумя способами во взаимно противоположных направлениях. Обычно его выбирают в направлении увеличения дуговой координаты. Тогда, наряду с модулем скорости , вводят алгебраическую величину скорости . При , вектор скорости сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Скорость и ускорение точки M

Тангенциальное (касательное) ускорение:
;
;
.
Здесь, как и для скорости, – это алгебраическое касательное ускорение, . Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.

Радиус кривизны траектории:
.

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами ( x, y, z ) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M – это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M .
,
где – единичные векторы в направлении осей x, y, z .

При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
(1)
можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями

В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
,
где – некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

Скорость материальной точки

Согласно определению скорости и определению производной:

Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
,
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:

,
где
,
,

– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
.

Таким образом
.
Модуль скорости:
.

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
.
Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени – в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная – это такая прямая , к которой стремится прямая при .
Введем обозначения:
;
;
.
Тогда вектор направлен вдоль прямой .

При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор – к скорости точки в момент времени :
.
Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
.
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
, то:
.

Здесь мы направили вектор по направлению к вектору скорости, поскольку это более удобно. Но могут возникнуть случаи, когда точка останавливается и движется по той же траектории в обратном направлении. Чтобы не вводить для одной и той же точки траектории два единичных касательных вектора, нужно охватить случай, когда направлен противоположно скорости. Для этого вводят алгебраическую величину скорости:
.
Если направления векторов и совпадают, то . Если они противоположны, то .
– это проекция скорости на направление единичного вектора . Она равна скалярному произведению этих векторов:
.

Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
;
Алгебраическая величина скорости:
.

Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
.

Ускорение материальной точки

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
.
Модуль ускорения:
.

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
.
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
.

Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
.
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
;
;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Скорость, касательное и нормальное ускорение точки M

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
.
Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
.
Тогда полное ускорение:
(2) .
Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к ней.

Тангенциальное (касательное) ускорение

Также как и для скорости, введем алгебраическую величину вектора касательного ускорения :
.
Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . Если , то эти векторы противоположны. Абсолютную величину касательного ускорения будем обозначать прямыми скобками: . Тогда
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Здесь мы положили: .
Отсюда видно, что алгебраическая величина тангенциального ускорения равна проекции полного ускорения на направление касательной к траектории. Она также равна производной по времени алгебраической величины скорости точки: .

Подставив , имеем:
.
Здесь мы учли, что .

Найдем производную по времени модуля скорости . Применяем правила дифференцирования:

;
.

Итак,
.
Отсюда следует, что если между векторами ускорения и скорости острый угол: , то движение ускоренное. Абсолютное значение скорости возрастает. Если между ними тупой угол: , то движение замедленное. Абсолютное значение скорости убывает.

Выразим ускорение через тангенциальное и нормальное: , и учтем, что . Получим:
.
Тогда предыдущую формулировку можно выразить посредством тангенциального ускорения. Если векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону, то движение ускоренное. Если их направления противоположны, то движение замедленное.

Радиус кривизны траектории

Теперь исследуем вектор .

Рассмотрим вектор в два момента времени – в момент времени t и в момент t ₁ . Введем обозначения: . По определению производной:
.
Пусть в момент времени t , точка находится в положении M , а в момент t ₁ – в положении M ₁ (см. рисунок).

Рассмотрим случай, когда алгебраическая скорость положительна: . То есть направления векторов и совпадают. Тогда точка M ₁ находится справа от M . Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пересечение этих плоскостей образует прямую. Она проходит через точку C перпендикулярно плоскости рисунка. MC – это перпендикуляр, опущенный из точки M на эту прямую.

При , точка стремится к точке , а длина отрезка CM стремится к радиусу кривизны траектории ρ . Поскольку и , то угол между отрезками и равен углу между векторами и . Отложим их для наглядности из одного центра.

Абсолютное значение производной:
.
Здесь мы учли, что .

Вектор , как указывалось выше, перпендикулярен . В данном случае он направлен вдоль единичного вектора главной нормали , направленной к центру кривизны C траектории. Поэтому при имеем:
.

Теперь рассмотрим случай, когда алгебраическое значение скорости отрицательно: . В этом случае, вектор скорости противоположен . Получается тот же рисунок, только точка располагается слева от M . В результате абсолютное значение производной остается прежней:
.
Но ее направление меняется на противоположное:
.
Поскольку , то формула сохраняет прежний вид и в этом случае:
.

Нормальное ускорение

Теперь находим нормальное ускорение:
.
Перепишем результат в следующем виде:
,
где ; – единичный вектор в направлении главной нормали траектории – то есть вектор, направленный к мгновенному центру кривизны перпендикулярно касательной к траектории. Поскольку , то также является модулем нормального ускорения. Для него не нужно вводить алгебраическое значение, как мы это делали для скорости и касательного ускорения.
Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.

Из формулы (2) имеем:
(4) .
Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
(2) .
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

Выпишем еще раз следующую формулу:
.
Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
.
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
,
в которую подставили
.

Итак, мы получили:
;
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
.
Тогда
.
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-02-2016 Изменено: 27-01-2020