Трансцендентные уравнения метод простых итераций

Метод итераций

Правила ввода функции

2. Примеры
   ≡ x^2/(1+x)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

1. Получить шаблон с омощью этого сервиса.
2. Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
3. Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .

Решение трансцендентных уравнений методом простых итераций

Исходное уравнение (3.1) преобразуем к эквивалентному уравнению:

x = (x).

(3.8)

Пусть известно начальное приближение (полученное, например, на этапе отделения корней): x = x ₀. Подставим его в правую часть (3.8) и получим новое приближение: x₁ = (x₀). Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k-м шаге:

x_k = (x_k-1) .

В качестве условия окончания вычислительного процесса можно взять выполнение неравенства: ½x_k — x_k-1½ * — истинное, искомое значение корня; x₀ — начальное приближение к корню; x₁, x₂, x₃ — оче­редные итерации.

Рис.3.8.

Рис.3.9.

При испо­ль­зовании этого метода возникает вопрос о его сходимос­ти. Дело в том, что при некоторых условиях расстояние между истинным корнем и прибли­жениями к нему может возрастать с каждой новой итерацией, как это показано на рис.3.10, 3.11.

Рис.3.10.

Рис.3.11.

Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства:

½ (x)½ . F(x) = 0

Þ

C . F(x) + x = x

(3.15)

Здесь C — некоторый параметр, выбираемый из условия сходимости процесса.

При использовании преобразования (3.15) условием окончания вычислительного про­­це­сса является выполнение неравенства

.

В программе необходимо указывать функцию F(x) и вводить вычисленный заранее параметрС и значение допустимой погрешности . Программа должна осуществлять не более 100 итераций. Если за 100 итераций не достигнута требуемая точность, то программа выводит сообщение об отсутствии сходимости и прекращает работу.

Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений», применяя возможности MS Excel по решению алгебраических и трансцендентных уравнений. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

• Образовательные – совершенствование умений студентов при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
• Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; абстрактное мышление: создать ситуацию предъявления материала от общего к частному и от частного к общему, стимулировать самостоятельное обобщение материала сильными студентами;творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
• Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия;ответственность перед самим собой.

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;

1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач с использованием ЭВМ;

1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами;

1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.

2.Применение знаний, формирование умений и навыков:

2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;

2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания различными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с вами рассмотрели алгебраические и трансцендентные уравнения, выделили методы их решения и решали данные уравнения ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Поэтому нам необходимо вспомнить и повторить знания, которые потребуются на этом уроке. В чем заключается процесс решения задачи с использованием ЭВМ?

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

• 1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
• 2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
• 3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);
• 4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);
• 5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

— В чем заключается постановка задачи?

— Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

— В чем заключается общая постановка задачи?

— Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) =0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция.

— Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические)

— В чем заключается задача численного нахождения корней уравнения?

— Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение (локализация) корня;

2. Приближенное вычисление корня до заданной точности(уточнение корней)

— Какая задача называется уточнения корня?

-Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью.

— Какими методами можно производить уточнения корня?

— Уточнения корня можно производить различными методами:

1) Метод половинного деления (бисекции);

2) Метод итераций;

3) Метод хорд (секущих);

4) Метод касательных (Ньютона);

5) Комбинированные методы.

— Объясните алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами.

Применение знаний, формирование умений и навыков:

Практическое задание «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel»

• Ознакомиться с теоретической частью задания;
• Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
• Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
  • постановку задачи;
  • алгоритм расчета;
  • таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
  • результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание

Дано: x 3 + 8x + 10 = 0

Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и по методам вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы на ПК

Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0.

До настоящего времени графический метод предлага­лось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.

Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:

• если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);
• повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

Задания для студентов первой группы

• Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
• Представьте графически поставленную задачу в среде Microsoft Excel;

Метод половинного деления:Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого). Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо — слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b).

Алгоритм для программной реализации:

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m) e повторяем, начиная с пункта 2
5. m — искомый корень.

Задания для студентов второй группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу половинного деления в среде Microsoft Excel.

Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти .

Подготовка:

1. Ищем числа m и M такие, что на (a, b);

2. Представляем , где ;

Алгоритм:

1. Выбираем х₀ из (a, b);

2. Вычисляем ;
3. Проверяем условие , где q=(M-m)/(M+m);

4. Если оно ложно, то переходим к пункту 7;

6. Переходим к пункту 2;

7. х₁ – искомый корень.

Задания для студентов третьей группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
2. Расчет уравнения по методу простой итерации в среде Microsoft Excel.

Метод хорд: Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, за­пишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:

,

Алгоритм метода хорд:

2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.

Найдем очередное k-e приближение по формуле: x_k = a — f(a)(b — a)/(f(b) — f(a)). Вычислим f(xk);

3) Если f(x_k)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.

4) Если |x_k – x_k–1| > ε, то переходим к п. 2;

5) Выводим значение корня x_k;

Задания для студентов четвертой группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу хорд в среде Microsoft Excel.
3. Метод касательных: В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:

Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:

1) функция f(x)и ее производные f'(х)и f»(x) непрерывны;

2) производные f'(x) и f»(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) f(a)× f(b) 0, то итерационная последовательность сходится монотонно

Задания для студентов пятой группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу касательных в среде Microsoft Excel.

Студенты выполняют задания в группах и показывают полученное решение у доски (один представитель от группы), делают выводы о проделанной работе.

В данном уроке мы познакомились с решением алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Уточнения корня производилось различными методами:

1) методом бисекции;

2) методом итераций;

3) методом секущих;

4) методом Ньютона;

1. Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.

2. Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.

3. В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение .

4. У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.