Уравнения и неравенства. Тренинг для подготовки к ЕГЭ
Авторы книги – преподаватели кафедры высшей математики НИЯУ МИФИ, имеющие многолетний опыт работы на подготовительных курсах и в физико-математических школах.
Шкала перевода баллов ОГЭ 2022
Рекомендации по переводу суммы первичных баллов за экзаменационные работы основного государственного экзамена (ОГЭ) в пятибалльную систему оценивания в 2022 году.
Итоги собеседования по русскому языку
98,7% девятиклассников, сдававших итоговое собеседование по русскому языку в основной срок 9 февраля, успешно справились с заданиями и получили «зачёт». Участие в итоговом собеседовании приняли 1 млн. 373 тыс. учащихся 9 классов из 1 млн. 462 тыс. зарегистрированных.
Уравнения и неравенства ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
Уравнения содержатся во всех частях контрольных и измерительных материалов. В части 1 – базового уровня трудности, , в части 2 – самые трудные, требующие хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Уравнения и неравенства ЕГЭ | 238.04 КБ |
Предварительный просмотр:
Уравнения содержатся во всех частях контрольных и измерительных материалов. В части 1 – базового уровня трудности, в части 2 – более трудные, в части 3 – самые трудные, требующие хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. В частности, предлагаются уравнения следующих типов:
- показательные;
- логарифмические;
- тригонометрические;
- иррациональные;
- уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени;
- уравнения смешанного типа, включающие различные функции.
Для выполнения заданий этого раздела нужно владеть определением корня уравнения (решения неравенства), уметь решать простейшие уравнения и простейшие неравенства. Эти умения позволят успешно применить общие методы решения уравнений (метод замены, метод разложения на множители, графический метод, использование свойств функций) к различным видам уравнений.
Решение уравнений (неравенств) любого вида сопряжено с проведением тождественных преобразований различных выражений, входящих в заданное уравнение (неравенство). Владение формулами для тождественных преобразований выражений и теоремами о равносильных уравнениях (неравенствах) поможет в поиске рационального решения.
Если задания базового уровня, используемые в контрольно-измерительных материалах, нередко текстуально совпадают с заданиями учебников, то задания повышенного уровня более разнообразны. Поэтому для подготовки к ЕГЭ полезно специально тренироваться в решении заданий, содержащихся в КИМ, или аналогичных им. Начнем с уравнений смешанного типа, включающих различные функции, содержащихся во второй части КИМ.
Вначале рассмотрим уравнения, в которых равны нулю произведения двух функций. Напомним, что произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные существуют.
- Найдите сумму корней уравнения .
- Найдите сумму корней уравнения
- Найдите количество корней уравнения
В следующем примере необходимо применить функциональный подход: рассмотреть уравнение как равенство значений двух функций. Поскольку функции совершенно различны (относятся к разным классам функций), нужно сравнить множества их значений.
В левой части уравнения – квадратичная функция. Выделим полный квадрат: . Теперь понятно, что множество ее значений – интервал .
В правой части уравнения – функция . Множество ее значений – отрезок . Следовательно, решением исходного уравнения являются те и только те значения переменной, при которых значения левой и правой частей равны числу 4. Квадратичная функция принимает значение только при Найдем значение функции при полученном значении х: Итак, — единственный корень данного уравнения. Ответ: -0,75.
Если рассматривать логарифмические уравнения второй части КИМ, то основная сложность решения их связана с тем, что большинство преобразований, основанных на свойствах логарифмов, не являются тождественными – при их выполнении может изменяться область допустимых значений входящих в выражения переменных. Это может приводить к потере корней (решений) или появлению так называемых посторонних корней (решений). Поэтому желательно выполнять только тождественные преобразования.
- Сколько корней имеет уравнение ?
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и получим систему, равносильному данному уравнению: Очевидно, что полученная система не имеет решений, так как единственный корень уравнения – отрицательное число, которое не удовлетворяет неравенству системы. Итак, исходное уравнение не имеет корней.
- Найдите меньший корень уравнения
Учитывая, что , преобразуем исходное уравнение
- Найдите меньший корень уравнения
Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, то а значит, Поэтому корни надо искать на множестве отрицательных чисел. Но тогда и уравнение принимает вид Сделав замену , приходим к уравнению , корнями которого являются числа и , откуда или . В ответ запишем, как требуется в задании, меньший корень. Ответ: -10.
Как правило, в контрольные измерительные материалы ЕГЭ включают простейшие тригонометрические уравнения. Естественно, они находятся в части 1 и, как правило, представлены заданиями с выбором ответа. Приведем несколько примеров тригонометрических уравнений, аналоги которых могут встретиться среди заданий группы В. Как правило, это тригонометрические уравнения, при решении которых нам придется отбирать корни.
- Сколько корней имеет уравнение
- Определите число корней уравнения на отрезке .
Задания второй части с кратким ответом
- Найдите количество целочисленных решений неравенства
Так как знаменатель дроби при всегда положителен, то данное неравенство равносильно системе В этом отрезке целых чисел 7: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
- Сколько целочисленных решений имеет неравенство ?
Из всех целых чисел, принадлежащих отрезку -1; 0; 1; 2; 3; 4, мы должны убрать нечетные. Остаются три числа: 0; 2; 4.
- Найдите количество целочисленных решений неравенства удовлетворяющих условию
Решением неравенства является отрезок . Решением неравенства являются все действительные значения переменной х, при которых определен и не равен нулю, то есть или Таким образом, условию задачи удовлетворяют все нечетные числа из отрезка Таких чисел 3.
Задания с развернутым ответом.
1. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 1,5.
2. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 2.
3. Найдите все значения х, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции .
4. Решите неравенство
5. Решите неравенство
Ответ: .
Отметим, что выпускник вправе использовать различные способы решения, и ни один из методов не является «более верным», чем другие.
6. Решите неравенство:
Если то , т.е. вторая система не имеет решений. Решением первой системы является объединение двух промежутков Оно и будет решением логарифмического неравенства.
1. Решите неравенство
2. Решите неравенство
3. Решите неравенство
4. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 0,5.
5. Найдите все значения х, для каждого из которых точка графика функции лежит ниже соответствующей точки графика функции .
6.Найдите все значения х, при которых функция принимает положительные значения.
- Найдите наименьшее целое положительное х, удовлетворяющее неравенству .
Задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом С1 и С2
Решение задач на составление неравенств
Разделы: Математика
1. Неравенства первой степени с одним неизвестным
Задача 1. От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов. В каком часу человеку, живущему в деревне, надо выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со скоростью 5 км/ч?
Решение. Если пешеход выйдет из дома в х ч. Утра, то до 11 ч. он шёл бы (11 – х) ч. За это время он прошёл бы 5(11 – х) км. Чтобы он успел на поезд, надо, чтобы это расстояние было не меньше 20 км, т. е. должно выполняться неравенство 5(11 – х) > 20. Рассуждаем так. Найдём, в каком часу человек должен выйти, чтобы в точности успеть на поезд. Для этого должно выполняться равенство 5(11 – х) = 20. Решая это уравнение, получаем (11 – х) = 4 и потому х = 7. Значит, выйдя из дома в 7 часов утра, пешеход успеет на поезд. Тем более он успеет на него, выйдя из дома ещё раньше. А если он выйдет из дома позднее, то опоздает на поезд. Значит, чтобы успеть на поезд нужно выйти не позднее чем в 7 часов утра. На языке математики это значит, что решение неравенства 5(11 – х) > 20 имеет вид х (150 + 5х), т.е. решить неравенство с переменной х.
Это неравенство решается так (15х – 5х) > (150 – 100), Т.е. 10х > 50. Но если 10х > 50, то х > 5. Итак в первом бассейне окажется больше воды, чем во втором, при х > 5, т.е. после 5 ч. с начала вливания воды.
2. Системы неравенств с одним неизвестным
Решим следующую задачу.
Задача 3. Человек выехал в 6 ч. утра на автомашине из города А в город В, через город С. В городе С он должен взять по дороге пакет, привезённый на поезде, проходящем через город С в 10 ч, и отвезти его в город В, чтобы успеть на поезд, отходящий в 17 часов. С какой скоростью он должен ехать, если расстояние от А до С равно 400 КМ., а от С до В – 480 км?
Решение. Т.к. в город С автомобилист должен приехать не ранее 10 часов (до этого времени пакет ещё не привезён в С), а 10 – 6 = 4, то скорость х км/ч должна быть такой,
что 4х 880. Итак надо найти значение х, для которого выполняются оба неравенства 4х 880. Эту задачу записывают в виде системы неравенств:
Из первого неравенства находим, что х 80. Значит, должно выполнятся двойное неравенство 80 7, (1)
х 2 + у 2 2(10у + х). или 8х > 19у. (3)
Из (3) следует, что у может принимать значения 0, 1, 2, 3 (так как х 7. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = l, то из (1) следует, что х > 6. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = 2, то х > 5. Числа х = 5, у = 2 удовлетворяют всем неравенствам. При у = 2, х > 5 неравенство (2) не выполняется. Пусть у = 3. Из (3) следует х > 8, такие числа не удовлетворяют неравенству (2). Таким образом, больше решений нет.
Задача 8. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?
Решение: Обозначим через х число деталей в первом ящике, а через у число деталей во втором ящике. Тогда согласно условию имеет место система неравенств:
Перепишем эту систему в виде
Отсюда следуют, справедливые неравенства:
Неравенство (2) можно переписать в виде , а неравенство (3) в виде
Т. к. и у – натуральное число, то у может быть равен либо 6, либо 7.
Если у равен 6, то система неравенств (1) перепишется в виде
Ясно, что нет натуральных чисел х, удовлетворяющих ей. Пусть у = 7, тогда система (1) примет вид:
Откуда следует, что существует единственное натуральное число х = 24, удовлетворяющее ей. Следовательно, в первом ящике 24 детали, а во втором ящике 7 деталей.
Ответ: в I ящике 24 детали, а во II – 7 деталей.
Задача 9. Пункты А и В расположены на одному реке так, что плот плывущий от А до В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость (скорость в стоячей воде) катера увеличилась на 40 %, то тот же путь (от А до В и обратно) занял у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь из В в А, когда его собственная скорость не увеличена.
Решение. Пусть s – расстояние между пунктами А и В, u – собственная скорость катера, v – скорость течения. Имеем следующую систему уравнений и неравенств:
Надо определить и полагая (по смыслу задачи, х > 1), преобразуем неравенства:
Так как и х > 1, то после преобразования получим систему неравенств, эквивалентную исходной: 5х 2 – 24х – 5 2 – 9,6х – 1 > 0. Эта система совместна при х = 5. Далее, получаем:
Общие задачи:
Задача 10. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом всё равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?
Решение. Обозначим через n количество вагонов вместимостью 50 тонн, в которые был загружен весь груз, тогда вес груза = 50п тонн. Вагонов вместимостью 60 тонн было использовано (n – 5). Так как в них был помещён весь груз и один вагон оказался не полностью загруженным, то 60 • (п – 5) > 50п и 60 • (п – 6) 50п и 80 • (п – 14) 1) и. Поскольку очевидно, что , то n > 33. Итак, в классе о котором сообщается в газете, учеников не меньше, чем 33. Теперь надо выяснить, какое минимальное количество учеников всё-таки может быть в классе. Легко видеть, что если в классе будет 33 ученика и один из них повысит успеваемость, т.е. если n = 33 и m = 1, то такая пара чисел удовлетворяет неравенство (1). Значит, в классе, о котором сообщается в газете, минимально возможное число учеников 33.
Ответ: 33 учеников.
Задача 12. Все коробки какие есть на базе, имеют одинаковые площади оснований. Грузчики хотят поместить в один контейнер с той же площадью основания 20 коробок. Какой высоты должен быть контейнер. Если высоты коробок оцениваются неравенствами 29 см 20.03.2008
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/05/28/uravneniya-i-neravenstva-ege
http://urok.1sept.ru/articles/513636