Три любых уравнения с ответами

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Математика

64. Три уравнения с тремя неизвестными . Пусть теперь требуется решить совместно 3 уравнения с тремя неизвестными:

3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
4x + 5y – 6z = 26.

Вспоминая все предыдущее, мы уже заранее вправе думать, что здесь произвольные значения ни одному из неизвестных давать нельзя и что здесь найдем единственное решение (по одному числу для каждого неизвестного).

При этом для нас уже намечен путь, как этого достигнуть. В предыдущем п. мы научились из двух уравнений с тремя неизвестными определять два неизвестных через третье. Выберем из наших трех уравнений те два, которые кажутся нам наиболее простыми, напр., 1-е и 2-ое:

3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9

и из них определим x и y через z

Подставим теперь полученные выражения для x – a и для y – a в третье уравнение, — получим:

(4(6 + 11z)) / 7 + (5(19 + z)) / 7 – 6z = 26

т. е. получили одно уравнение с одним неизвестным z, которое умеем решить. Сначала освободим его от дробей, для чего обе части его умножим на 7.

4(6 + 11z) + 5(19 + z) – 42z = 182.

24 + 44z + 95 + 5z – 42z = 182.

Перенесем известные члены вправо и сделаем приведение подобных членов:

7z = 63, откуда z = 9.

Теперь из формул (1) и (2) получим:

x = (6 + 11 · 9) / 7 = 15 и y = (19 + 9) / 7 = 4.

2x + 3y = 11
5y + 2z = 3
4z + 3x = 66

Определим из первых двух уравнений 2 неизвестных через третье: мы именно видим, что можно из первого уравнения определить x через y и из второго определить z через y:

x = (11 – 3y) / 2 и z = (3 – 5y) / 2.

Подставим полученные выражения в третье уравнение на место z и x:

(4(3 – 5y)) / 2 + (3(11 – 3y)) / 2 = 66.

4(3 – 5y) + 3(11 – 3y) = 132

12 – 20y + 33 – 9y = 132

x = (11 – 3 · (–3)) / 2 = 10
z = (3 – 5 · (–3)) / 2 = 9.

В этих двух примерах мы держались следующего плана; выбираем из данных трех уравнений какие-либо два, более удобных, и из них определяем два неизвестных через третье, – полученные выражения мы подставляем на место этих неизвестных в третье уравнение.

Возможны и иные планы. Поясним их на следующих примерах:

1. 3x – 4y + 3z = 19
4x – 6y + z = 22
7x – 18y = 33.

Мы видим, что в третье уравнение входят только 2 неизвестных, x и y. Поэтому постараемся получить из первых двух уравнений с тремя неизвестными новое уравнение с двумя неизвестными, а именно: также с x и y, — тогда мы будем иметь два уравнения с двумя неизвестными, которые умеем решать. Для этой цели исключим способом уравнивания коэффициентов из первых двух уравнений неизвестное z, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части второго умножим на –3. Получим:

3x – 4y + 3z = 19
–12x + 18y – 3z = –66.

Сложив по частям эти уравнения, получим:

Присоединим сюда еще третье из данных уравнений и решим их совместно способом уравнивания коэффициентов:

Подставляя это значение x – a в уравнение

Подставляя полученные для x и для y значения в простейшее из данных уравнений, а именно в уравнение

2. 3x + 5y – 9z = 29
5x + 2y – 6z = 17
4x – 10y + 3z = 17

Наметим следующий план: выберем сначала 2 из этих трех уравнений и из них способом уравнивания коэффициентов получим одно уравнение с двумя неизвестными; затем выберем вторую пару уравнений из данных и из них тем же способом получим второе уравнение с теми же двумя неизвестными. Применяясь к данным уравнениям, удобно будет выполнить этот план в следующем порядке: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнение и из них, исключив способом уравнивания коэффициентов y, получим одно уравнение с x и z; 2) возьмем 1-ое и 3-е уравнения и из них также исключим y и получим второе уравнение с неизвестными x и z; 3) решим полученные 2 уравнения с неизвестными x и z также способом уравнения коэффициентов.

4) Подставим полученное для x значение в уравнение

–6 – 3z = 15 или 3z = –21 и z = –7.

Подставим полученные для x и z значения в уравнение

3. 4x – 2y + z = 4
5x + 3y – z = 11
3x + 7y – 2z = 7

Составим следующий план: 1) из первого уравнения определим z через x и y; 2) полученное выражение подставим на место z во 2-ое и в 3-е уравнения, – получим два уравнения с двумя неизвестными, а именно — с x и y; 3) решим полученные два уравнения.

2) 5x + 3y – (4 – 3x + 2y) = 11
3x + 7y – 2(4 – 3x + 2y) = 7

Упростим каждое из этих уравнений:

1-ое: 5x + 3y – 4 + 3x – 2y = 11 или 8x + y = 15.

2-ое: 3x + 7y – 8 + 6x – 4y = 7 или 9x + 3y = 15 или 3x + y = 5.

3) Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:

8x + y = 15
3x + y = 5
–————
5x = 10, откуда x = 2.

4) Подставим полученное для x значение в уравнение

Подставим эти значения x – a и y – a в выражение для z:

Решение составных уравнений 3-4 классы. Карточки

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Иванова Светлана Романовна

учитель МОБУ СОШ №7 г. Якутска

Республики Саха (Якутия)

Х х 5 = 280 — 250

Х + 100 = 500 х 2

624 — Х = 238 + 300

Х : 10 = ( 42 + 48 ) — 83

Х + 20000 = 500 х 8

48 — Х = 140 : 2 — 65

Х х 30 = 280 + 320

Х + 43 = 4 х 2 + 50

86 + Х = 40 х 2 + 50

Х — 25 = 40 + 3 х 20

100 — Х = 42 : 7 х 5

Х х 5 = 20 : 4 + 10

600 : Х = 4 — 1 х 2

40 х Х = 50 х 2 + 20

Х : 4 = 700 — 65 х 10

Х + 150 = 40 х 2 + 36 х 2

41 + Х = 35 х 2 х 2

Х — 25 = 500 — 40 х 10

920 — Х = 801 — 1 х 1

Х х 7 = 5 + 150 : 5

30 х Х = 200 + 2 х 5

Х : 3 = 27 : 9 х 5

42 : Х = 90 — ( 50 + 34 )

39 + Х = 42 х 2 + 5

Х + 32 = ( 25 + 65 ) х 2

Х — 95 = 66 + 21 + 13

79 — Х = 33 х 2 + 4 х 1

Х : 5 = ( 62 — 22) : 5

33 х Х = ( 23 — 3 ) х 5 — 1

84 : Х = (65 — 60 ) + 37

Х : 100 = ( 45 + 5 ) х 4

Х + 4 = 60 х 2 : 4

92 + Х = ( 400 + 2 ) х 2

Х — 35 = ( 765 — 65 ) х 2

98 — Х = 44 х 2 + 2

Х х 3 = 43 + 8 х 4

36 х Х = 64 : 8 х 9

Х : 50 = ( 35 + 15 ) х 4

1800 : Х = 36 : 4 х 60 + 60

15 + Х = 7256 + 2 х 4

Х + 49 = 25 х 4 х 2 + 50

Х — 720 = 49 : 7 х 9

657 — Х = 250 : 5 х 4

Х х 23 = 150 : 3 + 19

75 х Х = 30 х 6 — 30

Х : 50 = 2 х 9 + 2

630 : Х = 36 х 2 — 2

Х + 64 = 36 : 9 + 21

136 + Х = 50 х 2 х 3

Х — 925 = 600 : 2 + 700

2000 — Х = ( 1000 — 2 ) х 2

Х х 8 = 820 — 45 х 4

70 х Х = 131 + 36 : 4

500 : Х = 25 : 5 х 10

Х : 25 = 42 х 2 — 68

Х + 29 = 990 + 60 х 2

35 + Х = ( 2 + 5 ) х 52

Х — 728 = 2 х 24 х 10

523 — Х = 21 : 3 х 10

Х х 90 = 75 х 2 + 30

60 х Х = 3 х 6 х 10

Х : 5 = 400 : 8 + 5

360 : Х = 85 х 2 + 10

Х + 409 = 65 х 3 + 700

260 + Х = 700 + 6 х 5

Х — 612 = 420 : 6 х 9

2694 — Х = 40 х 4 + 2

Х х 30 = ( 502 + 28 ) х 3

45 х Х = 20 х 5 — 10

Х : 200 = 680 — 40 х 2

560 : Х = ( 40 + 30 ) : 10

Х + 500 = 600 х 2 + 300

406 + Х = 925 — 5 х 5

Х — 39 = 1800 : 2 + 33

786 — Х = 32 х 5 : 2

Х х 100 = 59 х 3 х 1000

810 : Х=1000- ( 60 х 3+10 )

60 х Х = ( 30 х 2 ) х 10

Х : 3 = 59 х 4 : 2

Х + 429 = 65 х 2 х 5

728 + Х = 500 х 2 + 15

Х — 39 = 360 : 4 + 1

450 — Х = 720 : 8 + 60

Х х 7 = ( 618 + 2 ) + 10

3 х Х = 42 х 3 х 5

Х : 7 = 58 х 9 + 28

650 : Х = 81 : 9 + 1

73 + (50 : Х + 2) = 100

(100 — Х : 4 ) — 30 = 54

400 — (5 х Х + 125) = 205

( 40 х Х + 140) х 5 = 2500

5 х ( 69 — 120 : Х) = 45

(150 : Х + 50) : 5 = 73 — 53

150 : (45 : Х + 35) = 27 : 9

(720 : Х — 2) + 40 = 128

(4 х Х + 20) + 720 = 900

(Х х 5 + 25 ) — 415 = 60

900 — (4 х Х — 60) = 360

( 42 : Х — 7 ) х 30 = 420

2 х ( 36 — 52 : Х ) = 20

( 40 х Х — 40 ) : 4 = 30

480 : (Х : 4 + 1) = 64 : 8

( 60 : Х + 5 ) + 25 = 50

800 + ( 420 : Х — 10 ) = 1000

( 400 : Х + 5 ) — 5 = 200

1000 — ( 4500 : Х + 80 ) = 420

(54 : Х + 30 ) х 2 = 72

8 х ( 36 + 4 х Х ) = 480

(6 х Х + 12 ) : 6 = 50

350 : (20 х Х — 15) = 70

420 + (4 х Х + 360) = 940

350 + (600 — 5 х Х) = 450

(4 + Х х 9) — 36 = 40

660 — (8 х Х + 20) = 480

(4 х Х + 2) х 6 = 180

9 х (4 х Х + 10) =810

(Х : 20 + 40) — 70 = 30

64 + ( Х : 4 + 6) = 100

(64 : Х + 138) — 50 = 90

925 — (80 : Х — 15) = 900

(95 — 45 : Х) х 9 = 810

6 х (20 : Х — 15) = 30

(3 х Х — 30) : 2 = 68 — 8

1. 102; 7; 225; 230; 6; 7; 2; 160.

2. 681; 900; 4009; 86; 230; 5; 700; 2.

3. 2000; 5; 43; 690; 250; 20; 50; 1.

4. 15; 44; 125; 70; 3; 300; 3; 200.

5. 2; 99; 125; 120; 5; 7; 45; 7.

6. 50; 148; 195; 9; 40; 3; 2; 20000.

7. 26; 712; 1435; 8; 25; 2; 10000; 6.

8. 7249; 201; 782; 457; 3; 2; 1000; 9.

9. 89; 164; 1925; 4; 80; 2; 10; 400.

10. 1081; 329; 1208; 453; 2; 3; 275; 2.

11. 486; 470; 1242; 2532; 53; 2; 120000; 80.

12. 1000; 494; 972; 706; 1770; 1; 10; 354.

13. 221; 287; 130; 300; 90; 210; 3850; 65.

14. 31; 2; 64; 14; 9; 2; 3; 3.

15. 8; 40; 90; 150; 2; 2; 4; 236.

16. 3; 2; 2; 9; 9; 6; 48; 1.

17. 40; 100; 8; 20; 7; 20; 1; 5.

18. 1200; 120; 32; 2; 9; 1; 50; 12.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Дислексия, дисграфия, дискалькулия у младших школьников: нейропсихологическая диагностика и коррекция

• Курс добавлен 24.12.2021
• Сейчас обучается 203 человека из 53 регионов

Курс повышения квалификации

Актуальные вопросы теории и методики преподавания в начальной школе в соответствии с ФГОС НОО

• Сейчас обучается 363 человека из 71 региона

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 264 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 23.11.2017
• 1039
• 9

• 23.11.2017
• 689
• 3

• 23.11.2017
• 2812
• 302

• 23.11.2017
• 1842
• 6

• 23.11.2017
• 837
• 1

• 23.11.2017
• 856
• 5

• 23.11.2017
• 595
• 19

• 22.11.2017
• 357
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.11.2017 93973
• DOCX 19 кбайт
• 2683 скачивания
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Иванова Светлана Романовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 265298
• Всего материалов: 50

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.