Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения
Алгебраические системы с тремя неизвестными
Для систем с тремя неизвестными определения понятий равносильности и следствия, а также свойства преобразований систем формулируются аналогично тому, как это было сделано для систем с двумя неизвестными.
Будем рассматривать системы вида
где , , являются либо многочленами от , , , либо могут быть представлены в виде отношения многочленов.
Сформулируем для систем уравнений с тремя неизвестными следующие утверждения, которые могут оказаться полезными при решении систем.
1° Если , где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем
и поэтому множество решений системы (1) в этом случае есть объединение множеств решений систем (2) и (3).
2°. Если уравнение
есть следствие системы (1), то система
равносильна системе (1), т. е. при добавлении к системе (1) еще одного уравнения (4), являющегося следствием этой системы, получается система, равносильная системе (1).
3°. Если уравнение (4) — следствие системы (1), причем где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем
4°. Система (1) равносильна каждой из следующих систем:
5°. Если уравнение равносильно уравнению где — многочлен от и , то система (1) равносильна системе
Это утверждение лежит в основе метода исключения неизвестных: система (1) сводится к системе (5), (6) с двумя неизвестными.
Прежде чем переходить к примерам алгебраических систем с тремя неизвестными, отметим, что нет общих рецептов для нахождения решений систем. Каждый раз нужно учитывать конкретные особенности рассматриваемой системы. Можно дать только общий совет: решайте побольше задач.
Рассмотрим сначала системы с тремя неизвестными, которые сводятся к кубическим уравнениям.
К таким системам относятся системы симметрических алгебраических уравнений, т.е. системы вида (1), где , , — многочлены, каждый из которых не меняется, если поменять местами любую пару из переменных , , .
В этом случае удобно ввести следующие переменные:
Простейший пример системы рассматриваемого вида — система
Система (7) и кубическое уравнение
связаны следующим образом.
Если , , — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть решений: получаемых всевозможными перестановками трех чисел , , . Обратно, если решение системы (7), то , , — корни уравнения (8).
Доказательство этого утверждения основано на использовании формул Виета для корней уравнения (8):
Для сведения к системам (7) систем симметрических уравнений вида
можно использовать следующие тождества:
Примеры с решениями
Пример №186.
Решить систему уравнений
Решение:
Используя уравнения (12), (13) и тождество (9), получаем
Применяя формулу (11) и учитывая равенства (13)-(15), находим
Следовательно, исходная система равносильна системе вида (7), в которой , а уравнение (8) имеет вид
Корни этого уравнения — числа Поэтому система имеет шесть решений, получаемых перестановкой чисел
Ответ.
Обратимся теперь к системам с тремя неизвестными, которые не являются симметрическими.
Пример №187.
Решить систему уравнений
Решение:
Так как правые части уравнений отличны от нуля, то Полагая получаем систему линейных уравнений
Сложив уравнения системы (16), находим
Из (16) и (17) получаем т. е.
Перемножив почленно уравнения системы (18), которая равносильна исходной, имеем откуда
Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем (18), (19) и (18), (20), которые имеют решения и соответственно.
Ответ.
Пример №188.
Решить систему уравнений
Решение:
Будем решать систему методом исключения неизвестных и сведением, в конечном счете, к одному уравнению с одним неизвестным. Складывая почленно уравнения (21) и (23), получаем
Так как на основании равенства (24), то из этого равенства следует, что
Запишем далее уравнение (22) в виде
Исключив из уравнений (24) и (26), получаем откуда
Заметим, что система (27), (25), (21) равносильна системе (21)— (23). Подставляя выражения для и из формул (27) и (25) в уравнение (21), получаем
или откуда Соответствующие значения и найдем по формулам (27) и (25).
Ответ.
Пример №189.
Решить систему уравнений
Решение:
Перемножив уравнения системы (28), получаем
Уравнение (29) является следствием системы (28), которая равносильна системе
Уравнения (30), (31), (32) имеют решения соответственно. С учетом равенства (29) находим четыре решения системы (28).
Ответ.
Пример №190.
Найти решения системы уравнений
Решение:
Вычитая из уравнения (34) уравнение (33), получаем
Далее, вычитая из уравнения (35) уравнение (33), находим
Наконец, складывая уравнения (34) и (35), получаем
Система (37)-(39) равносильна системе (33)-(35), а при условии (36) — системе линейных уравнений
имеющей единственное решение
Ответ.
Пример №191.
Решить систему уравнений
Решение:
Вычтем из уравнения (41) уравнение (40) и преобразуем полученное уравнение к виду
Выполнив ту же операцию с уравнениями (42) и (41), имеем
Система (43), (44), (42), равносильная системе (40)-(42), распадается на следующие четыре системы:
Полученные системы легко решаются методом исключения неизвестных. Объединив решения этих систем, найдем все решения исходной системы.
Ответ.
Пример №192.
Решить систему уравнений
Решение:
Решим эту систему как линейную относительно Для этого сложим попарно уравнения системы (45) и получим систему
Перемножив уравнения системы (46) и полагая находим или откуда т. е.
Система (45) в силу утверждения 3° равносильна совокупности систем (46), (47) и (46), (48), каждая из которых имеет единственное решение.
Ответ.
Пример №193.
Решить систему уравнений
Решение:
Если , то из системы (49) следует, что , а может принимать любые значения. Аналогично, если , то , — любое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений вида
Будем искать решения системы (49) такие, что . Умножив первое уравнение системы (49) на , а третье — на и сложив результаты, получим
Прибавив к уравнению (51) второе уравнение системы (49), умноженное на :, находим
Каждое из уравнений (51), (52) является следствием системы (49).
Так как , , — действительные числа (требуется найти действительные решения системы), то уравнение (52) равносильно уравнению
Исключая из уравнений (53) и (51), получаем
Уравнения (53) и (54) являются следствиями системы (49), а уравнение (54) равносильно совокупности уравнений
Из (55) и (53) следует, что , а из системы (49) при и находим Полученное решение содержится среди решений (50).
Из (56) и (53) следует, что Подставляя в систему (49), находим решения и
Ответ. — любое действительное число;
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Система линейных уравнений с тремя переменными
Линейное уравнение с тремя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.
Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; \frac<1> <2>x-8y-5z = 7$
Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.
Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$
Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки
Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)
Например: решить систему
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера
Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.
Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:
$$ <\left\< \begin
Определим главный определитель системы:
$$ \Delta = \begin
и вспомогательные определители :
$$ \Delta_x = \begin
Тогда решение системы:
Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:
Три плоскости пересекаются в одной точке
Три плоскости параллельны
Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой
Бесконечное множество решений
Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.
Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):
$$ \Delta = \begin
$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$
Примеры
Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:
$$<\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:
$$ a \neq b, b \neq c, a \neq c $$
Решаем методом замены:
$$ <\left\< \begin
Т.к. $ a \neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) \neq 0$
Т.к.$ a \neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) \neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:
Из второго уравнения получаем:
Т.к. $b \neq c$ можно сократить на $(b-c) \neq 0$:
$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$
$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$
Математика
64. Три уравнения с тремя неизвестными . Пусть теперь требуется решить совместно 3 уравнения с тремя неизвестными:
3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
4x + 5y – 6z = 26.
Вспоминая все предыдущее, мы уже заранее вправе думать, что здесь произвольные значения ни одному из неизвестных давать нельзя и что здесь найдем единственное решение (по одному числу для каждого неизвестного).
При этом для нас уже намечен путь, как этого достигнуть. В предыдущем п. мы научились из двух уравнений с тремя неизвестными определять два неизвестных через третье. Выберем из наших трех уравнений те два, которые кажутся нам наиболее простыми, напр., 1-е и 2-ое:
3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
и из них определим x и y через z
Подставим теперь полученные выражения для x – a и для y – a в третье уравнение, — получим:
(4(6 + 11z)) / 7 + (5(19 + z)) / 7 – 6z = 26
т. е. получили одно уравнение с одним неизвестным z, которое умеем решить. Сначала освободим его от дробей, для чего обе части его умножим на 7.
4(6 + 11z) + 5(19 + z) – 42z = 182.
24 + 44z + 95 + 5z – 42z = 182.
Перенесем известные члены вправо и сделаем приведение подобных членов:
7z = 63, откуда z = 9.
Теперь из формул (1) и (2) получим:
x = (6 + 11 · 9) / 7 = 15 и y = (19 + 9) / 7 = 4.
2x + 3y = 11
5y + 2z = 3
4z + 3x = 66
Определим из первых двух уравнений 2 неизвестных через третье: мы именно видим, что можно из первого уравнения определить x через y и из второго определить z через y:
x = (11 – 3y) / 2 и z = (3 – 5y) / 2.
Подставим полученные выражения в третье уравнение на место z и x:
(4(3 – 5y)) / 2 + (3(11 – 3y)) / 2 = 66.
4(3 – 5y) + 3(11 – 3y) = 132
12 – 20y + 33 – 9y = 132
x = (11 – 3 · (–3)) / 2 = 10
z = (3 – 5 · (–3)) / 2 = 9.
В этих двух примерах мы держались следующего плана; выбираем из данных трех уравнений какие-либо два, более удобных, и из них определяем два неизвестных через третье, – полученные выражения мы подставляем на место этих неизвестных в третье уравнение.
Возможны и иные планы. Поясним их на следующих примерах:
1. 3x – 4y + 3z = 19
4x – 6y + z = 22
7x – 18y = 33.
Мы видим, что в третье уравнение входят только 2 неизвестных, x и y. Поэтому постараемся получить из первых двух уравнений с тремя неизвестными новое уравнение с двумя неизвестными, а именно: также с x и y, — тогда мы будем иметь два уравнения с двумя неизвестными, которые умеем решать. Для этой цели исключим способом уравнивания коэффициентов из первых двух уравнений неизвестное z, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части второго умножим на –3. Получим:
3x – 4y + 3z = 19
–12x + 18y – 3z = –66.
Сложив по частям эти уравнения, получим:
Присоединим сюда еще третье из данных уравнений и решим их совместно способом уравнивания коэффициентов:
Подставляя это значение x – a в уравнение
Подставляя полученные для x и для y значения в простейшее из данных уравнений, а именно в уравнение
2. 3x + 5y – 9z = 29
5x + 2y – 6z = 17
4x – 10y + 3z = 17
Наметим следующий план: выберем сначала 2 из этих трех уравнений и из них способом уравнивания коэффициентов получим одно уравнение с двумя неизвестными; затем выберем вторую пару уравнений из данных и из них тем же способом получим второе уравнение с теми же двумя неизвестными. Применяясь к данным уравнениям, удобно будет выполнить этот план в следующем порядке: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнение и из них, исключив способом уравнивания коэффициентов y, получим одно уравнение с x и z; 2) возьмем 1-ое и 3-е уравнения и из них также исключим y и получим второе уравнение с неизвестными x и z; 3) решим полученные 2 уравнения с неизвестными x и z также способом уравнения коэффициентов.
4) Подставим полученное для x значение в уравнение
–6 – 3z = 15 или 3z = –21 и z = –7.
Подставим полученные для x и z значения в уравнение
3. 4x – 2y + z = 4
5x + 3y – z = 11
3x + 7y – 2z = 7
Составим следующий план: 1) из первого уравнения определим z через x и y; 2) полученное выражение подставим на место z во 2-ое и в 3-е уравнения, – получим два уравнения с двумя неизвестными, а именно — с x и y; 3) решим полученные два уравнения.
2) 5x + 3y – (4 – 3x + 2y) = 11
3x + 7y – 2(4 – 3x + 2y) = 7
Упростим каждое из этих уравнений:
1-ое: 5x + 3y – 4 + 3x – 2y = 11 или 8x + y = 15.
2-ое: 3x + 7y – 8 + 6x – 4y = 7 или 9x + 3y = 15 или 3x + y = 5.
3) Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:
8x + y = 15
3x + y = 5
–————
5x = 10, откуда x = 2.
4) Подставим полученное для x значение в уравнение
Подставим эти значения x – a и y – a в выражение для z:
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/sistema-linejnyh-uravnenij-s-tremya-peremennymi/
http://maths-public.ru/algebra1/equation-three-vars3