Тригонометрическая формула виета для кубического уравнения

Тригонометрическая формула Виета для решения кубических уравнений

Формула Виета

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
Получаем уравнение приведенного вида:
(2) ,
где
(3) ; .

Тригонометрическая формула Виета, для корней , , приведенного кубического уравнения (2), имеет вид:
(4) ;
(5) ;
где
(6) ; .

Условие применимости формулы Виета

Поскольку , то формула Виета применима при
.

Действительно, из (6) имеем:
; .
Возводим в квадрат и выполняем преобразования:
;
;
.

Как показано на странице “Решение кубических уравнений”, при выполнении условия , кубическое уравнение имеет три действительных корня. То есть формула Виета применяется в том случае, когда кубическое уравнение имеет действительные корни.

Вывод формулы Виета

Считаем, что .
Из (11) следует, что в этом случае, . Квадратный корень из имеет два значения. Мы можем взять любое значение. Возьмем со знаком плюс (при выборе другого значения, со знаком минус, и поменяются местами и мы не получим ничего нового):
.
Тогда
,
где – целое. Здесь мы ввели модуль и аргумент числа .
;
;
; .

Извлекаем кубический корень:
.
При , мы имеем три значения кубического корня.
По формуле (10) находим:
.
По формуле (7) имеем:
.

Полагая , мы получаем три корня приведенного уравнения:
;
;
.

Формула Виета доказана.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-09-2016

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

• ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 , (1)
• где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b 3 d + b 2 c 2 — 4ac 3 + 18abcd — 27a 2 d 2 (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• Δ 3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

• x= y — b/3a (3)
• p= — b 2 /3a 2 + c/a
• q= 2b 3 /27a 3 — bc/3a 2 + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

3. a) Если S>0, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

Тогда единственный корень (вещественный): x₁= -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) — a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

• ch(x)=(e x +e -x )/2
• Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2 )
• sh(x)=(e x -e -x )/2
• sgn(x) — знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Кубические уравнения. Тригонометрическая формула Виета.

Рассмотрим алгоритм применения тригонометрической формулы Виета для кубического уравнения типа ax 3 +bx 2 +cx+d = 0

2. Подставляем полученные значения и находим:

3. Далее выбираем вариант решения в зависимости от S:

а) Когда S > 0, то применяем нижеследующие формулы:

.

У уравнения будет 3 корня (вещественных):