Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Тригонометрические функции числового аргумента
Что такое тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции являются элементарными функциями, понятие которых сформулировано в процессе изучения прямоугольных треугольников, и выражают связь между длинами сторон данных треугольников и острыми углами, расположенными при гипотенузе.
Равнозначным является и такое объяснение: тригонометрические функции представляют собой выражение того, как связаны хорды и высоты с центральным углом дуги в круге. Рассматриваемые функции активно используют в разных научных областях. Можно наблюдать расширение определения тригонометрических функций по мере того, как развивалась математика. К примеру, в настоящее время роль аргумента могут играть какие-либо вещественные или комплексные числа.
Представим, что имеется некое действительное число, и обозначим его t. Данному числу однозначно соответствует конкретное число sin(t). Правило соответствие достаточно сложное. Поэтому рассмотрим его детально.
Поиск значения sin(t) относительно числа t реализован по следующему алгоритму:
- Расположение координатной окружности на плоскости таким образом, что центр круга находится в точке начала координат, а у начальной точки А, принадлежащей окружности, следующие координаты (1; 0).
- Поиск точки на окружности, которая бы соответствовала числу t.
- Определение ординаты найденной точки.
- Полученная ордината является искомым значением sin(t).
В действительности здесь говорится о приведении функции s = sin(t) при t в виде какого-либо действительного числа. По предыдущим курсам тригонометрии уже известны определенные свойства рассматриваемой функции, а также некоторые ее значения, к примеру:
Кроме того, с предыдущих уроков уже имеется некоторое представление о таких функциях, как s = cos ( t ) s = t g ( t ) s = c t g ( t ) . Перечисленные функции носят название тригонометрических функций числового аргумента t.
Взаимосвязь тригонометрических функций
Между всеми тригонометрическими функциями существует взаимная связь, благодаря которой неизвестное значение одной из них можно определить, зная значение другой функции. Наиболее распространено использование в решении подобных заданий основного тригонометрического тождества.
Уравнение основного тригонометрического тождества:
s i n 2 t + c o s 2 t = 1
Заметим, что с помощью данного тождества можно вычислить значение косинуса при известном значении синуса. Допустима и обратная операция.
Другими важными и полезными формулами являются уравнения, описывающие, каким образом между собой связаны синус и косинус с тангенсом и котангенсом.
Формулы, описывающие взаимосвязь тригонометрических функций:
tan t = sin t cos t , t ≠ π 2 + π k
cot t = cos sin , t ≠ π k
Рассмотрим детально две последние представленные формулы. С помощью данных закономерностей можно записать другое тригонометрическое тождество.
Тригонометрическое тождество, в котором отражена связь между тангенсом и котангенсом:
tan t · cot t = 1 , t ≠ π k 2
Закрепить полученные знания можно на практических примерах. Представим, что имеется некое выражение, которое нужно упростить:
Заметим, что в данном случае можно преобразовать тангенс, расписав его по формуле. Квадрат при этом сохранится:
1 + tan 2 t = 1 + sin 2 t cos 2 t
Затем устраним единицу. Для этого потребуется воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
1 + sin 2 t cos 2 t = sin 2 t + cos 2 t + sin 2 t cos 2 t
Далее занесем полученное выражение под общий знаменатель. В результате:
sin 2 t + cos 2 t + sin 2 t cos 2 t = cos 2 t + sin 2 t cos 2 t
Заметим, что в данном случае имеется возможность сократить числитель до единицы. При этом следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством. Таким образом:
1 + tan 2 = 1 cos 2 t
Рассмотрим еще один вариант выражения, где присутствует знак сложения, и попробуем его упростить с помощью уже известных формул:
Здесь ход решения аналогичен предыдущему примеру. Единственное отличие заключается в том, что знаменатель включает в себя не косинус, а синус. Тогда получим ответ:
1 + cot 2 = 1 sin 2 t
При решении этих задач было указано две полезные формулы. Обратим на них внимание.
Формулы, в теории описывающие связь между тригонометрическими функциями:
1 + tan 2 = 1 cos 2 t , t ≠ π 2 + π k
1 + cot 2 = 1 sin 2 t , t ≠ π k
Таблица значений тригонометрических функций
Основные табличные значения тригонометрических функций следует занести в конспект, так как они пригодятся при решении задач. В качестве подсказки на контрольной или самостоятельной работе в классе можно использовать краткую таблицу:
Тригонометрические функции числового аргумента
Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.
Тригонометрические функции числового аргумента
Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t) . Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.
Чтобы по числу t найти значение sin(t) , нужно:
- расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
- на окружности найти точку, соответствующую числу t ;
- найти ординату этой точки.
- эта ордината и есть искомое sin(t) .
Фактически речь идет о функции s = sin(t) , где t — любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0 , \( sin \frac <\pi> <6>= \frac<1> <2>\) и т.д.), знаем некоторые ее свойства.
Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t .
Связь тригонометрических функций
Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.
К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии — это основное тригонометрическое тождество:
\[ sin^ <2>t + cos^ <2>t = 1 \]
Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:
Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:
Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.
ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \( 1+ \tan^2 \; t \), б) \( 1+ \cot^2 \; t \)
а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:
Далее нам нужно избавиться от единицы, а это по основному тригонометрическому тождеству:
Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:
Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac<1> <\cos^2 \; t>\]
б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:
Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:
Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/10/trigonometricheskie-funkczii-chislovogo-argumenta
http://calcsbox.com/post/trigonometriceskie-funkcii-cislovogo-argumenta.html