Тригонометрические показательные логарифмические системы уравнений и неравенств

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

Опубликовано 16.09.2020Подготовка к ЕГЭ

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.

Уравнения могут быть следующих видов:

В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.

При решении уравнений нужно помнить основные термины:

— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;

— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;

— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;

— ОДЗ – область допустимых значений;

— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;

— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.

Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.

Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.

Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.

Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.

Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.

Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:

— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;

— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);

— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.

При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.

Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:

На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.

Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.

Способы решения таких уравнений:

— Возвести в степень обе части уравнения;

— Ввести новые переменные;

Пример решения уравнения по первому способу:

Пример решения по второму способу:

Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.

В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.

Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).

— Уравнение с одним основанием;

— Уравнение с равными основаниями.

Существует следующие способы решения таких уравнений:

— Использовать метод логарифмов;

— Привести уравнение к квадратному виду;

— Вынести за скобку общий множитель;

— Ввести новую переменную.

Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.

Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:

Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.

Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.

Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.

Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.

Способы решения таких уравнений:

— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;

— Ввод других переменных;

— Разложить уравнение по множителям.

Пример решения тригонометрического уравнения:

Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.

Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.

Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.

2sinxcosx – sinx = 0.

sinx (2cosx – 1) = 0.

Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.

Далее, sinx=0, x=пk.

Логарифмические уравнения

Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.

Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.

Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:

Способы решения уравнений данного вида:

— Применять способ уравнивания к единице;

— Применять способ умножать на единицу;

— Применять доступные правила логарифмов;

— Введение другого основания;

— Возвести в степень.

Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.

Пример решения уравнения:

Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.

Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.

Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.

Оставить Комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Выбери тему

Самые популярные записи

Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 393)
Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 280)
ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 272)
Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 234)

StudyWay

Помощь

Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».

Записаться можно через Instagram

Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

Что за курс и что тебя там будет ждать?

12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.

Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.

Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.

На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.

К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки

Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)

Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).

Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.

Доступ к уникальной «Академии косатиков».

Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.

Игровая система на нашей платформе StudyWay👇

За выполнение заданий получаешь баллы (XP).

При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.

Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов

Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».

Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.

Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным

Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.

Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.

Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.

Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.

Методическая разработка «Уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методическая разработка по теме

«Уравнения и неравенства»

для студентов СПО.

РАЗДЕЛ 1. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы уравнений……………………………………………………………….…….3-16

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»…..………………………………………………………3-6

Практическая работа №2: «Решение показательных уравнений и систем»……………………………………………………………………….…6-9

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических уравнений и систем»………………………………………………………………………. 9-13

Практическая работа №4: «Решение логарифмических уравнений и систем»……………………………………………………………………….13-16

РАЗДЕЛ 2. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства и системы неравенств……………………………………………..…………………….17-28

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных неравенств»…..………………………………………………………. ……17-20

Практическая работа №2: «Решение показательных неравенств»….21-23

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических нер-тв»…23-26

Практическая работа №4: «Решение логарифмических нер-тв»……26-28

РАЗДЕЛ 3. Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств и систем с одной и двумя переменными…….29-35

Практическая работа №1: «Решение уравнений графическим методом»…..……………………………………………………………….…29-31

Практическая работа №2: «Решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными»………………………………………………………31-35

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА: «Уравнения и неравенства»……. 36-37

РАЗДЕЛ 1. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы уравнений.

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем».

Рациональное уравнение — это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень .

Рассмотрим примеры решения таких уравнений

№ 32 (6). Решить уравнение

На первом этапе раскроем в уравнении все скобки, получим

Теперь оставим в левой части уравнения все неизвестные, а все числа перенесем в правую часть. Не забываем, что при переносе переменных или чисел через знак равенства знак необходимо поменять на противоположный, получим

Приведем подобные слагаемые слева и справа, получим

Получили неверное равенство (0 не равен 11), следовательно

Ответ: корней нет.

№ 33 (2). Решить уравнение

Так как здесь присутствует неизвестная переменная в знаменателе, то на первом этапе необходимо выделить область допустимых значений. Так как в знаменателе не должен находиться ноль, то получим следующее

Теперь перейдем к непосредственному решению уравнения. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю

Получим в левой и правой части дроби можем применить правило пропорции, получим

Иррациональное уравнение — это такой вид уравнения , содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

№ 70 (3). Решить уравнение

Так как в уравнении присутствует квадратный корень, то вначале необходимо найти область допустимых значений. Мы знаем, что в корне четной степени должно быть неотрицательное число, то есть

С другой стороны, значение корня также не может быть отрицательным числом, то есть правая часть уравнения также должна быть неотрицательной

В итоге, получаем следующее ОДЗ:

Перейдем к непосредственному решению уравнения. Для того, чтобы избавиться от корня возведем обе части уравнения в квадрат

Перенесем все в левую часть уравнения

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№32 (пункт 7), №33 (пункт 3) – всего два уравнения.

Изучаем видео-урок и решаем №45 (пункт 1) (https://www.youtube.com/watch?v=8mbiYVE6kYY)

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-М – 2 вариант,
Буквы Н-Р – 3 вариант, Буквы С-Я – 4 вариант.

1. Решите уравнение

Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

Практическая работа №2: «Решение показательных уравнений и систем».

Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида . Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

Рассмотрим примеры решения таких уравнений

№ 93 (2). Решить уравнение

На первом этапе приведем все к одному показателю степени. Так как у нас есть выражение , то, применяя свойство степени разности получим , что , Подставим

Избавимся от знаменателя, для этого обе части уравнения умножим на 4, получим

Разделим обе части уравнения на 3, получим

Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

№ 94 (1). Решить уравнение

Используя свойства степеней, выражение можно переписать следующим образом: . Подставим уравнение

Сделаем замену, пусть тогда уравнение примет вид

Используя теорему Виета или формулу дискриминанта, получим следующие корни

Вернемся к замене:

Рассмотрим теперь пример решения системы показательных уравнений.

№ 95 (6). Решить систему уравнений

Для решения данной системы уравнения воспользуемся методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения между собой

Разделим обе части уравнения на 5

Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

Чтобы найти вторую переменную подставим во второе уравнение, получим

Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№90 (пункт 2), №93 (пункт 4) и №95 (пункт 4)– всего три примера.

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант , Буквы П-С – 5 вариант , Буквы Т-Я – 6 вариант

Решить следующие уравнения:

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических уравнений и систем».

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, содержащее в себе одну или несколько тригонометрических функций.

Напомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Также пригодится таблица значений тригонометрических функций

С примерами решений простейших тригонометрических
уравнений можно ознакомиться в следующем видео-уроке: https://www.youtube.com/watch?v=o082MVvD59o

Рассмотрим примеры решения более сложных тригонометрических уравнений

№ 155 (1). Решить уравнение

Сначала нужно привести уравнение к однородному, то есть к такому, в котором только один вид тригонометрической функции. Из основного тригонометрического тождества можно вывести следующую формулу . Подставим ее в уравнение

Обе части уравнения умножим на -1, получим

Сделаем замену , получим

Получили квадратное уравнение, решая его через дискриминант, получим

Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

№ 156 (1). Решить уравнение

Сначала нужно привести уравнение к однородному. Для этого разделим обе части уравнения на , получим

Используя тригонометрическое свойство , получим

Сделаем замену, пусть тогда уравнение примет вид

Используя теорему Виета или формулу дискриминанта, получим следующие корни

Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

Рассмотрим теперь пример решения системы тригонометрических уравнений.

Задача. Решить систему уравнений

Выразим из первого уравнения через

Подставим во второе уравнение системы

Воспользовавшись формулой синуса суммы, получим

Разделим обе части уравнения на

Чтобы найти вторую переменную подставим найденный в выражение
:

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№155 (пункты 2-4) – всего три примера.

Решить следующие уравнения:

Практическая работа №4: «Решение логарифмических уравнений и систем».

Логарифмическое уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе Логарифмическую функцию. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию и т.д.

Рассмотрим примеры решения таких уравнений

№ 98 (5). Решить уравнение

Как мы знаем логарифмическая функция имеет свою область определения – логарифмируемое выражение должно быть больше нуля. Найдем область определения

Перейдем к непосредственному решению уравнения. На первом этапе приведем все к одному основанию логарифма. Применяя свойство логарифма можем переписать число 2 следующим образом

Подставим в уравнение

Так как основания логарифмов слева и справа одинаковые, то можем приравнять логарифмируемые выражения

№ 98 (1). Решить уравнение

Найдем область определения

Применяя свойство логарифма разности, получим

Так как основания логарифмов слева и справа одинаковые, то можем приравнять логарифмируемые выражения

Рассмотрим теперь пример решения системы показательных уравнений.

№ 101 (1). Решить систему уравнений

Отметим вначале область определения:

На первом этапе из второго уравнения системы выразим через :

Подставим в первое уравнение системы:

Решим данное уравнение по алгоритму предыдущего примера

Чтобы найти вторую переменную подставим в выражение

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№98 (пункты 2-3), №101 (пункт 4) – всего три примера.

Решить следующие уравнения:

РАЗДЕЛ 2. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства и системы неравенств.

Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных неравенств и систем».

Рациональное неравенство — это такой вид неравенства в котором левая и правая части рациональные выражения. В записи имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень .

Рассмотрим примеры решения таких неравенств

№ 40 (1). Решить неравенство

Рациональные неравенства такого типа решаются следующем образом. На первом этапе раскрываем скобки (если они имеются) и переносим все неизвестные переменные влево, а числа вправо

Приведем подобные слагаемые слева и справа, получим

Разделим все на 4. Так как 4 положительное число, то знак неравенства не меняется. Если же мы будем умножать на число, меньше нуля, то знак неравенства необходимо менять на противоположный В нашем случае получим:

Рассмотрим пример решения системы рациональных неравенств.

№ 41 (2). Решить систему неравенств

Вначале будем по отдельности (по такому же принципу, как в предыдущем примере) находить решения каждого из входящих в систему неравенств, получим:

Отметим оба получившихся решения на одной прямой

В ответ записываем ту часть числовой прямой где сошлись оба решения вместе.

Иррациональное неравенство — это такой вид неравенства , содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

Рассмотрим несколько примеров.

№ 74 (2). Решить неравенство

Так как в неравенстве присутствует квадратный корень, то вначале необходимо найти область допустимых значений.

Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

Так как у нас слева корень четной степени, то здесь получается дополнительная область определения

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

Находим корни по теореме Виета

Отмечаем корни, полученные в первом пункте (в нашем случае это 1) на числовой прямой вместе с областью определения неравенства и расставляем знаки на полученных промежутков (проверяем выполнение на промежутке неравенства, если неравенство выполнено ставим плюс, если нет – минус).

№ 76 (2). Решить неравенство

Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

Отмечаем корни на числовой прямой вместе с ОДЗ и расставляем знаки на получившихся интервалах

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№40 (пункты 2, 3), №41 (пункт 1) – всего три примера.

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-М – 2 вариант, Буквы Н-Р – 3 вариант, Буквы С-Я – 4 вариант.

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

Практическая работа №2: «Решение показательных неравенств».

Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида .

Рассмотрим примеры решения таких неравенств

№ 96 (2). Решить неравенство

Для решения такого вида неравенства вначале необходимо и левую и правую часть привести к одному основанию степени. Так как 27 это 3 в кубе, то получим

Далее необходимо воспользоваться следующим правилом: если основания степени больше 1, то знак неравенства остается неизменным, если же меньше 1, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

В нашем случае основание – число 3, больше единицы, следовательно можем «отбросить» основания без изменения знака неравенства, получим

№ 96 (6). Решить неравенство

Так как 8 это 2 в кубе, то получим

Воспользуемся правилом, так как 2 больше единицы, следовательно можем «отбросить» основания без изменения знака неравенства, получим

Решим неравенство методом интервалов. Приравняем к нулю:

По теореме Виета, получаем корни

Отметим корни на числовой прямой и расставим знаки

№ 97 (2). Решить неравенство

Для начала преобразуем неравенство, используя следующие 3 свойства: , получим

Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

Сделаем замену . Получим

Находим корни по теореме Виета

Возвращаясь к замене, получим

Отмечаем корни, полученные в первом пункте (в нашем случае это 1) на числовой прямой и расставляем знаки на полученных промежутков (проверяем выполнение на промежутке неравенства, если неравенство выполнено ставим плюс, если нет – минус).

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
№96 (пункты 2-4), №97 (пункт 4) – всего 4 примера.

Практическая работа №3: «Решение тригонометрических неравенств».

Решение простейших тригонометрических неравенств.

Для решения простейших тригонометрических неравенств нам вначале необходимо решить соответствующее уравнение, а затем, используя тригонометрическую окружность, найти решение неравенства. Рассмотрим решения простейших тригонометрических неравенств на примерах.

Найдем решение тригонометрического неравенства

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «больше или равно», то решение лежит на верхней дуге окружности (относительно решения уравнения).

Найдем решение тригонометрического неравенства

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «меньше», то решение лежит на дуге окружности, расположенной слева (относительно решения уравнения).

Найдем решение тригонометрического неравенства

Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «меньше или равно», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 3.

Найдем решение тригонометрического неравенства

Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса

Отметим решение на тригонометрической окружности

Так как неравенство имеет знак «больше», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 4.

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова №152 – всего 4 примера.

Практическая работа №4: «Решение логарифмических неравенств»,

Логарифмическое неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе логарифмическую функцию.

Рассмотрим примеры решения таких неравенств

№ 103 (4). Решить неравенство

Разделим на -5. Так как делим на отрицательное число, то знак неравенства нужно изменить на противоположный

Переходим к непосредственному решению неравенства. Для решения такого вида неравенства вначале необходимо и левую и правую часть привести к одному основанию логарифма. Число -2 можем представить через логарифм по основанию следующим образом

Далее необходимо воспользоваться следующим правилом: если основания логарифма больше 1, то знак неравенства остается неизменным, если же меньше 1, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

В нашем случае основание – число , меньше единицы, следовательно можем «отбросить» основания, но при этом изменив знак неравенства на противоположный, получим

Разделим на -5. Так как делим на отрицательное число, то знак неравенства нужно изменить на противоположный

С учетом ОДЗ, Ответ: .

Пример 2: Решить неравенство

Вначале найдем область определения:

Единицу можем представить следующим образом

Применяя свойство суммы логарифмов, получим

Так как основание логарифма 3 больше 1, то знак неравенства не меняем

С учетом ОДЗ, Ответ: .

Задание для самостоятельного решения:

Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
103 (пункты 2-3), №104 (пункт 1) – всего 3 примера.

РАЗДЕЛ 3. Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств и систем с одной и двумя переменными.

Практическая работа №1: «Решение уравнений графическим методом»

Графический метод решения уравнений заключатся в следующем:

Приводим уравнение к такому виду, чтобы справа и слева были простейшие функции;

Строим эти две функции на одном графике;

Переменная по оси абсцисс точек пересечения графиков и есть решение уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1. Решить графически следующее уравнение

Здесь мы сразу видим, какие две функции нам надо построить:

— показательная функция. Точки для построения

прямая, достаточно две точки Построим обе функции на одном графике

Видим, что графики пересекаются в точке

Пример №2. Решить графически уравнение

Преобразуем для начала наше уравнение. Так как мы знаем график квадратичной функции , то слева оставим , а остальное перенесем вправо

Теперь видим, какие две функции нам надо построить:

— парабола. Точки для построения

прямая, достаточно две точки Построим обе функции на одном графике

Видим, что графики пересекаются в точке .

Решить графически уравнения:

Решить графически уравнения

Практическая работа №2: «Решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными»

Линейные неравенства с двумя переменными.

Определение 1: Неравенства вида или , где – неизвестные переменные, а – некоторые числа, причем отличны от нуля называются линейными неравенствами с двумя переменными.

Пример : – линейное неравенство с двумя переменными.

Определение 2: Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Свойства линейных неравенств с двумя переменными:

К неравенству можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.

Неравенство можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число, причем при умножении (делении на положительное число уравнение не меняет знак, а при умножение (деление) на отрицательное число меняет знак на противоположный.

Определение 3: Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.

Задача 1: Решить неравенство

Изобразим график уравнения – прямая, достаточно две точки:

Так как последнее неравенство имеет знак «больше», получим решение, изображенное на рисунке ниже (серым цветом). Заметим, что прямая не входит в решение, так как в неравенстве не присутствует знак равенства.

Задача 2: Решить неравенство

Изобразим график уравнения — прямая, достаточно две точки

Так как последнее неравенство имеет знак «больше или равно», получим решение, изображенное на рисунке (серым цветом). Заметим, что прямая входит в решение, так как в неравенстве присутствует знак равенства.

Системы линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 4: Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 5: Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.

Решением системы неравенств является пересечение графических решений каждого неравенства по отдельности.

Решим для начала оба неравенства отдельно также, как в задачах 1 и 2.

Красным цветом – решение первого неравенства , зеленым – решение второго неравенства .

Там, где сошлись вместе оба решения (сошлись красные и зеленые штриховки), та область и является решением всей системы неравенств

Задача 4: Решить систему неравенств

Решим для начала два этих неравенства по отдельности

– окружность с центром в точке и радиусом 2. Изобразим график неравенства. Так как знак больше, то это область за пределами окружности (оранжевая)

– окружность с центром в точке и радиусом 3. Изобразим график неравенства. Так как знак меньше, то это область внутри окружности (желтая)

Нанесем оба решения на один рисунок, там где оба решения сошлись, та область и является решением нашей системы:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

изобразить решение неравенства:

изобразить решение системы неравенств:

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА: «Уравнения и неравенства»

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

Решить линейное неравенство

Решить иррациональное уравнение

Решить показательное неравенство

Решить логарифмическое уравнение

Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

1. Богомолов Н.В. /Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд. перераб. и доп. -М.: Издательство Юрайт, 2016. — 396с. – Серия: Бакалавр. Прикладной курс.

2. Богомолов, Н.В./ Практические занятия по математике: учеб. пособие для СПО / Н.В. Богомолов. — 1-е изд. перераб. и доп, — М: Издательство Юрайт, 2016. — 495с. Серия:Профессиональное образование.

3. Григорьев С.Г. /Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. / Григорьев С.Г. под ред. В.А.Гусева .- 11-е изд., стер.- М.: Издательский центр “Академия”, 2014. – 416 с.

4. Алимов, Ш.А. / Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачеваи др. — 3-е изд. – М. Просвещение, 2016. – 463 с.

5. Колмогоров А.Н./ Алгебра и начала математического анализа 10-11классы: учеб пособие для общеобразоват.организаций /Колмогоров А.Н., А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. под ред. А.Н.Колмогорова.-26-е изд. – М.: Просвещение, 2018. – 384 с.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 586 426 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

07.06.2020
218
13

07.06.2020
190
4

07.06.2020
72
0

07.06.2020
1448
23

07.06.2020
1010
32

07.06.2020
206
4

07.06.2020
206
1

07.06.2020
250
16

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

07.06.2020 1255
DOCX 426.1 кбайт
132 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Восковская Наталья Игоревна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 2 года и 2 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 10345
Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность с дополнительной скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения ( x − 3) 2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3Cx-1%3E%3Cx-3%3E%3E0″ /> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства log_<2>5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex%3Elog_%3C2%3E5″ /> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″ /> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″ />. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex-log_%3C2%3E5%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″ /> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое ( f − g) ( a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множитель	На что заменить
log _h f − log _h g	( h − 1) ( f − g)
log _h f − 1	( h − 1) ( f − h)
log _h f	( h − 1) ( f − 1)
h f − h g	( h − 1) ( f − g)
h f − 1	( h − 1) · f
f h − g h	( f − g) · h
f, g — функции от x. h — функция или число.

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), — обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

ОДЗ неравенства:

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель заменим на (2 − x − 1)( x + 2 − 1). Множитель вида заменим на ( x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

Решим его методом интервалов:

Ответ:

Заметим, что выражение положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

Поделим обе части неравенства на 5 x > 0:

Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2 x − 1 в виде степени с основанием 3.

Неравенство примет вид:

Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на ( h − 1) ( f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

Оценим . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Ответ:

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

0;\\ x+1\neq 0. \end\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E0;%5C%5C&space;x+1%5Cneq&space;0.&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x 2 тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще

Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log₂ x = t

Теперь обе части неравенства можно сократить на 5 t > 0.

Поскольку , выражение 2 t−1 можно записать как 3 ( t−1)·log₃2

Заметим, что log₃2 − 2 t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log₃2 − 2.
Вернемся к переменной x:

или

Ответ:

4. Еще одна задача из той же серии.

Запишем ОДЗ:

Умножим обе части неравенства на 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log%5E%3C2%3E_%3C2%3E32x%3E0″ />. Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.

Поделим обе части неравенства на 0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2%5E%3Clog_%3C2%3E(4x)%3E%3E0.» />

Хорошо бы сделать замену. Пусть log₂(4 x) = t. Тогда:

Неравенство примет вид:

Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2:

Применим метод рационализации.

Оценим

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.
Напомним, что множитель log _h f можно заменить на ( h-1)( f-1), а множитель (log _h f — 1) — на ( h — 1)( f — h).

Поскольку 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x+5)%5E%3C2%3E%3E0″ /> при x ∈ ОДЗ, а 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2x%5E%3C2%3E+10x+14%3E0″ /> > 0 при всех x, получим:

Ответ: x ∈ (-5; -3]

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство:

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на

Поскольку , поделим обе части неравенства на

Применяя метод рационализации, множитель вида заменяем на

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить и ?

Что больше? Давайте представим как логарифм с основанием

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что

Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим

Решить ее легко.

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме

По методу рационализации, каждый из множителей вида заменяем на

Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

источники:

http://infourok.ru/metodicheskaya-razrabotka-uravneniya-i-neravenstva-4348198.html

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pokazatelnye-i-logarifmicheskie-neravenstva-chast-2/