Тригонометрические уравнения 10 класс профиль

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Методы решения тригонометрических уравнений( алгебра 10 кл, к учебнику А.Г. Мордкович)

Данная презентация подготовлена к уроку «Тригонометрические уравнения» (п.18, учебник Алгебра и начала анализа, автор А.Г.Мордкович). В презентация: 1. актуализация знаний — решение простейших уравнения, 2. Методы решения тригонометрических уравнений( введение новой переменной, разложение на множители, решение однородных уравнений первой и второй степени)

Просмотр содержимого документа
«Методы решения тригонометрических уравнений( алгебра 10 кл, к учебнику А.Г. Мордкович) »

• Повторить решение простейших тригонометрических уравнений.
• Рассмотреть способы решения тригонометрических уравнений.

Решение простейших тригонометрических уравнений:

t = ± arccos a + 2πk, k Z

t = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n Z

t = arctg a + πn, n Z

t = arcctg a + πn, n Z

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Методы решения уравнений:

1. Введение новой переменной( №18.1-18.7)

2. Использование формул тригонометрии (18.5, 18.8)

3. Алгебраические способы:

-Вынесение множителя за скобку, группировка (18.11)

• Разложение на два уравнения (18.13).

4. Однородные линейные уравнения(деление на косинус) (18.10)

5. Однородные квадратные уравнения (деление на косинус в квадрате) (18.12)

ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ .

называется однородным уравнением I степени.

2. Уравнение вида

называется однородным уравнением II степени.

Множество значений x , удовлетворяющих уравнению

, не является решением данного уравнения. Поэтому можно обе части уравнения разделить на .

Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения.

Разделим обе части уравнения на .

Уравнение примет вид:

Пример разложение на множители способом группировки:

Обобщающий урок в 10 классе (профильный уровень) по теме «Приемы решения тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Обобщающий урок в 10 классе (профильный уровень)

по теме «Приемы решения тригонометрических уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Обобщающий урок в 10 классе (профильный уровень)

по теме «Приемы решения тригонометрических уравнений»

Сибгатуллина Назия Галимулловна,

учитель математики МБОУ «Дубъязская СОШ»

Цели урока: 1) систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;

1. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении тригонометрических уравнений, в том числе нестандартными способами;
2. формировать познавательную мотивацию и эмоциональную включенность учащихся в учебный процесс;
3. подготовить учащихся к итоговой аттестации по теме: «Приемы решения тригонометрических уравнений».

Оборудование урока: Мультимедийный проектор, карточки, рабочие листы с элементами самооценки, наборы заданий.

– На уроке поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод упрощает решение, познакомимся с нестандартными приемами решений уравнений.

Среди уравнений (указанных на экране) выберите те, которые решаются:

1. приведением к квадратному;
2. как однородное уравнение I степени;
3. как однородное уравнение II степени;
4. с помощью формул суммы и разности;
5. понижением порядка;
6. разложением на множители;
7. методом вспомогательного угла;
8. с помощью равенства одноименных функций.

Обсуждение проводится устно в быстром темпе, проговариваются некоторые ходы преобразований.

1. Самостоятельная работа №1 (на 2 варианта)

Цель – закрепить умения решать тригонометрические уравнения, дать возможность осознать учащимся собственные умения.

Методы: приведение к квадратному, разложение на множители, однородное уравнение, вспомогательный угол.

Учащиеся работают на листах. Проверяется выполнение работы (см. на экран) и выставляются баллы за выполнение: по одному баллу за каждое правильно решенное уравнение.

1. Систематизация приемов решения тригонометрических уравнений (у доски работают 6 учеников, показывая приемы решения уравнений (6 вариантов)). Задания на рабочих листах.

1-ый ученик (I вариант). (графическим способом)

; . В одной системе координат построим графики функций и .

Ответ: ,

2-ый ученик (II вариант). (универсальная подстановка)

Введение выражений для и через предполагает, что , т.е. . т.к. >0 =2; =1;

При универсальной подстановке может произойти потеря решений, т.к. D(sin x ), D(cos x ), D(tg x ) разные, поэтому проверим, является ли решением уравнения (верно). Следовательно, , решение уравнения.

3-ий ученик (III вариант).

(Это однородное уравнение II степени). Так как среди решений уравнения нет таких x, при которых , то разделим обе части уравнения на , получим уравнение

4-ый ученик (IV вариант).

заменим где возведем (1) в квадрат, имеем: тогда (удовлетворяет условию ), тогда

5-ый ученик (V вариант).

Это уравнение со сложным аргументом: . т.к. то . Тогда n = -2; -1; 0; 1; 2, тогда

(Объединяя, получаем ) (Объединяя, получаем ).

6-ой ученик (VI вариант).

Из свойств и следует, что следовательно, произведение тогда и только тогда, когда:

Решим систему (1): . (умножим на ), получаем: где , то дробь целое число, если отсюда, подставив в первое уравнение системы (1): т.е. где — решение системы (1).

Решим систему (2): ,

; ; . Данное уравнение не имеет решений в целых числах, т.к. но 5 2.

Выводы: Итак, при решении тригонометрических уравнений применяется графический метод, решение однородных уравнений II степени, способ «универсальная подстановка», если уравнение содержит , то применяется замена , особое внимание необходимо обратить на решение уравнений со сложными аргументами, использование ограниченности функций и .

1. Самостоятельная работа №2 (3 уровня сложности на 2 варианта)

(Задания даются на экране)

Решите любые 3 уравнения из предложенных:

1. Работы – рабочие листы учащихся собираются, проверяются учителем, учитывается самооценка учащихся. Если вы набрали: 9-10 баллов – оценка «5»

7-8 баллов – оценка «4»

5-6 баллов – оценка «3»

1. Работа учащихся в рабочих тетрадях.

Цель работы – ознакомить учащихся с нестандартными приемами решения тригонометрических уравнений.

1. Монотонность (через экран). Вспомним важные свойства монотонных функций, которые наиболее часто используются при решении уравнений:

1 0 . Если функция строго возрастает (или строго убывает) на промежутке I , то для любого действительного числа Р уравнение = Р имеет на промежутке I не более одного корня.

2 0 . Если функция строго возрастает на промежутке I , а функция строго убывает на том же промежутке, то = имеет на промежутке I не более одного корня.

3 0 . Если функция строго возрастает (или убывает) на промежутке I и числа а и b принадлежат промежутку I , то равенство равносильно равенству а = b .

4 0 . Если две функции и возрастают (или убывают) на промежутке I , то их сумма + возрастает (или убывает) на промежутке I .

5 0 . Если две функции и , принимающие положительные значения, возрастают (или убывают) на промежутке I , то их произведение возрастает (или убывает) на промежутке I.

Найти все значения , для которых справедливо равенство (1) (см. на экран)

Функция строго возрастает на промежутке , как сумма возрастающих функций; функция — строго убывает на промежутке , следовательно (1) выполняется только при одном значении либо является ложным при всех , нетрудно догадаться (подбором), что , проверим:

2. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию (разбирается на доске). Решить уравнение: .

В уравнении раскроем скобки и преобразуем произведение в сумму, имеем: (1)

Умножим обе части уравнения (1) на , т.к. решения уравнения не являются решениями (1): .

Преобразуем произведения, стоящие в левой части уравнения:

Теперь исключим из найденных серий корней корни вида .

а) ясно, что n – четное число, т.е. поэтому

б) т.к. то но тогда

Подчеркивается значимость методов решения тригонометрических уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать конкретные задачи. Оценка, полученная учащимися за данный урок, покажет насколько они готовы к итоговой работе. Даются указания к домашнему заданию: решить уравнение (раздаются карточки).

1. Найдите значения выражения где — наибольший отрицательный корень уравнения
2. (указание: обе части уравнения умножить на );
3. (указание: рассмотрите функцию , если );
4. Проблема : Можно ли решить уравнение, используя скалярное произведение векторов

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

урок по теме «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений»

Класс 10Урок закрепления.

открытый урок в 10 классе по теме :»Методы решения тригонометрических уравнений»

Урок повторения,обобщения, систематизации и углубления знаний в 10 классе по теме :»Методы решения тригонометрических уравнений» с применением ИКТ.

Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе (профильный уровень) по теме «Решение показательных уравнений».

План -конспект урока алгебры в 11 классе.

Урок по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»

Систематизация знаний по теме «Тригонометрические уравнения». Научить решать несложные тригонометрические уравнения на основе использования основных тригонометрических тождеств и сведениям тригон.

Основные приемы решений тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других.

Презентаци на тему — Виды решений тригонометрических уравнений (10 класс)

Презентаци на тему — Виды решений тригонометрических уравнений (10 класс)Учитель — Давтян Римма Артемовна.

урок по теме «Способы решения тригонометрических уравнений»(урок одного уравнения) 08.03.16

методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по УМК Мордкович, содержит спсобы решения тригонометрического уравнения вида asinx +bcosx=c.