Тригонометрические уравнения 11 класс примеры

Тригонометрические уравнения 11 класс примеры

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

24. Решение тригонометрических уравнений

Уравнение при 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»49″ style=»vertical-align: -4px;»/> решений не имеет,

при имеет решения ,

при имеет решения ,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение при 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»49″ style=»vertical-align: -4px;»/> решений не имеет,

при имеет решения ,

при имеет решения >,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. заменяем на , — на .

Пример 1.

Пример 2.

2. заменяем на , — на , — на .

Пример 1.

1) 2) ,
В первом случае решений нет, во втором .

Пример 2.

Пример 3.

3. Однородные уравнения относительно .

Если , то деля обе части уравнения на или на , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть — корень уравнения и . Подставляя в уравнение, получаем, что и , а это невозможно.

Пример.

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на

Пример.

б) Переход к половинному аргументу

Пример.

5. Использование формулы 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»21″ width=»415″ style=»vertical-align: -5px;»/>

Пример.

6. Замена .
Пример.

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

Пример 1.

Ответ. .

Пример 2.

\sqrt<2>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Ответ. , .

Понижение степени

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

Ответ. .
Пример 2.

1. \end\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Ответ. .
Пример 3.

Подставляем во второе уравнение:

Ответ. .

Пример 4.

Если , то . Если , то .

Ответ. .

Комментариев: 68

1 Татьяна:

Пожалуйста,подскажите,как решать такие системы?

1/2\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Сначала решите уравнение (можно записать , и оно станет однородным), затем выберите те решения, которые удовлетворят неравенству (неравенство вполне решаемо тоже).

2 Наташа:

Здравствуйте,как решить такое уравнение sin6x+2=2cos4x

2 перенесите в правую часть, перейдите к половинному аргументу. Для sin 6x примените формулу тройного аргумента. Все сводится к квадратному уравнению (кубическое легко раскладывается на множители).

Наташа Reply:
Ноябрь 1st, 2014 at 13:44

А как к половинному перейти,что-то не понимаю.

3 Наурзалинова А.А.:

Здравствуйте, помогите решить Sin (x – 1) = cos (x+2)

Здравствуйте.
А если так перепишем: , дальше понятно, что делать (если нет, смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/31-prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya/)?

4 Алена:

Добрый день! Подскажите, как решается уравнение 2-2*cos(x) + x*sin(x) = 0 ?

Перейдите к половинному аргументу.

Варвара Reply:
Ноябрь 5th, 2018 at 15:50

Уравнение все равно останется смешанным, куда прикажете лишний х девать?

5 Вика:

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить
sin^2(x/2)+sin^2(x/3)+sin^2(x/5)=0

Здравствуйте! А когда сумма квадратов вещественных чисел равна нулю?

6 Вася:

Здравствуйте,как решить такое уравнение 4cos^2(x)+sin(x)*cos(x)+3sin^2(x)=3?

, и получается однородное уравнение.

7 Бати:

Подскажите, как решается уравнение sin6x+sin4x=0

8 Аня:

2*cos(x) – 6*sin(x)*cos(x) + 3 = arccos (-1/2) – (2/3)пи
не подскажите, как решить такое уравнение?

Это будет так: . А дальше… Вы уверены, что нет ошибки в условии? Получается уравнение 4-й степени без рациональных корней

9 Тимур:

Найти (в градусах) решение уравнения sin9x=cos9x, удовлетворяющее условиям 10 Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 27th, 2015 at 17:43

Перепишем: , откуда . Дальше выбирайте правильное

10 bim:

(ctgx+3)/tg(x+(pi/6))=ctg(5*pi/6) помогите решить

по формулам приведения. раскройте по формуле тангенса суммы.После этого получится квадратное уравнение относительно ( выразите через тангенс.

11 Георгий:

помогите решить систему уравнений. два уравнения, два неизвестных.

Георгий Reply:
Апрель 29th, 2015 at 16:02

Я, конечно, и сам вывел, что оно сводится к уравнению 4й степени относительно tan(alfa1):

A^2*(1-N^2) * tan(alfa1)^4 – 2*A*C*(1-N^2) * tan(alfa1)^3 + …
(A^2 + C^2*(1-N^2) – B^2)* tan(alfa1)^2 – 2*A*C * tan(alfa1) + C^2 = 0

Но неужели действительно так сложно?

Георгий, у меня тоже уравнение четвертой степени получилось…

Георгий Reply:
Апрель 30th, 2015 at 14:14

Спасибо, Елизавета Александровна.
Решаю задачу численными методами. Сделал цикл с последовательным приближением.

12 Маргарита:

(cos2x-cos3x)²+sin²3x=0 помогите решить уравнение плиз.

Сумма квадратов двух вещественных чисел равна нулю

каждое из этих чисел равно нулю. Получается система из двух довольно простых уравнений.

13 Маргарита:

14 Ната:

Подскажите как решать ур-е пожалуйста:cos2x-4sinx=4cos4x-cos8x

У Вас условие точно такое, нет там степеней?

15 Дарья:

Вы что-то предлагаете?

16 Роза:

Именно для того, чтобы Вы это научились решать самостоятельно, и написано все то, что Вы можете прочитать выше.

17 настя:

помогите 3.1 с б до ж

Используйте формулы преобразования суммы в произведение.

18 Винера:

помогите пожалуйста

Вас какое задание интересует?

19 Kirill:

Помогите решить пожалуйста. решить уравн Ctg^3x=ctgx и sin8x-sin2x=0 . Упростить sinАльфа+sin2Альфа+sin3Альфа+sin4Альфа= и sin^2Альфа+cos^2Альфа+tg^2Альфа=

Первое разложите на множители (вынесите за скобки, дальше — разность квадратов), во втором преобразуйте разность в произведение по стандартным формулам. Остальное тоже делается сразу, если Вы воспользуетесь формулами, которые можно найти даже на этом сайте.

20 Айга:

Здравсвуйте!подскажите подробное решение уравнения:
tg(x-pi\6)(sin2x+1)=0
Уже неделю не могу понять как это решить.

Здравствуйте! Либо , либо . Дальше решаете каждое из этих уравнений. Ответ — объединение множеств решений.

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα=/$
2. $ctgα=/$
3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус