Тригонометрические уравнения арккосинус решение уравнения cost a

Урок-презентация «Арккосинус.Решение уравнения cost=a»

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала.

• дидактические: сформировать у учащихся понятие арккосинуса; вывести общую формулу решения уравнения cos t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арккосинус. Решение уравнения cos t =a» (Приложение 1) .

I. Организационный момент

Объявить тему и цели урока, познакомить учащихся с ходом проведения урока (слайд 1).

II. Актуализация опорных знаний

Повторить способ решения уравнения вида cos t = a, где а – действительное число, с помощью числовой окружности.

Решить уравнения: 1) cos t = ; 2) cos t = 1 (слайд 2).

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости.

1) cos t = (слайд 3);

.

.

III. Изучение нового материала

Ввести проблемную ситуацию: любое ли тригонометрическое уравнение вида

cos t = a можно решить с помощью числовой окружности?

1) Предложить учащимся решить уравнение cos t = (слайд 5).

С помощью числовой окружности получим (слайд 6):

где t₂ = – t₁.

Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arccos а (слайд 7).

Читается: арккосинус а; «arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t₁ и t₂ записываются следующим образом: t₁ = arccos , t₂ = – arccos .

Теперь с помощью этого символа корни уравнения cos t = можно записать так: (слайд 8).

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos ?» (слайд 9).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

2) Решить уравнение cos t = – (слайд 10).

С помощью числовой окружности и символа arccos а получим (слайд 11):

.

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos () ?» (слайд 12).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит второй четверти числовой окружности.

3) Сформулировать определение арккосинуса в общем виде (слайд 13):

Если │а│≤ 1, то

4) Рассмотреть примеры на вычисление арккосинуса.

Пример 1. Вычислите arccos (слайд 14).

Пусть

Значит, поскольку и Итак, arccos=

Пример 2. Вычислите arccos (слайд 15).

Пример 3. Вычислите arccos 0 (слайд 16).

Пример 4. Вычислите arccos 1 (слайд 17).

5) Сделать общий вывод о решении уравнения cos t = a (слайд 18).

Если │a│≤ 1, то уравнение cost = a имеет решения: .

6) Рассмотреть частные случи.

Выделим формулы для решения следующих уравнений: cos t = 0, cos t =1 , cos t = –1 (слайд 19).

7) Доказать теорему и рассмотреть её применение на практике.

Для любого а [-1;1] выполняется равенство arccos a + arccos (-a) = (слайд 20).

Применение теоремы (слайд 21).

На практике используется: arccos (-a) = — arccos a , где 0 ≤ а ≤ 1.

arccos= — arccos = —

IV. Обобщение изученного материала

Составим алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения вида cos t = a:

• составить общую формулу;
• вычислить значение arccos a;
• подставить найденное значение в общую формулу.

Пример 1. Решить уравнение cos t = (слайд 22 – 24).

Пример 2. Решить уравнение cos t = (слайд 25 – 27).

Пример 3. Решить уравнение cos t = (слайд 28).

Пример 4. Решить уравнение cos t = — 1,2 (слайд 29).

V. Подведение итогов урока (слайд 30)

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арккосинуса; вывели общую формулу решения уравнения cos t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

VI. Домашнее задание

Изучить теоретический материал.

Практическая часть (даётся задание в соответствии с используемым учебным пособием).

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник.

2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник.

3. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. Математика-10 (для гуманитарных классов).

4. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа-10.Часть 1. Учебник (профильный уровень).

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb\); \(cosx=0\), то \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).

\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_=\pi\) достигается в точке x =-1
Минимальное значение \(y_=0\) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).

По построению: $$ \begin \angle DA’O=\angle BAO=\angle CAO=90^<\circ>\\ OD=OB=OC=1\\ OA’=OA=a \end \Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) \begin \Delta DA’O=\Delta BAO=\Delta CAO\Rightarrow\\ \Rightarrow \angle DOC=\angle A’OA-\alpha+\alpha=\angle A’OA=180^<\circ>=\pi\\ -arccosa+\pi=arccos(-a) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\)	б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\)
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\)	г) \(cos x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\)	e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arccosx\)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin x^2-3x+3=cos0=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=3\\ t_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arccosx=3\\ x=cos3 \end Ответ: cos3

\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(\pi^2)-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3\\ \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi3\\ arccosx_2=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\\ x_2=cos\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\pm\frac12\right\>\)

Арккосинус и решение уравнения cos t =a

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арккосинуса и решение типовых уравнений и задач. В начале урока решим нетабличное уравнение и проиллюстрируем решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения cos t = a и рассмотрим некоторые частные случаи решения. Далее мы продолжим решение тригонометрических уравнений, иллюстрируя решения на графике и на круге.