Тригонометрические уравнения базовый уровень 10 класс

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Разноуровневые базовые задачи для учащихся 10 класса по теме: » Тригонометрические уравнения»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

В данной работе представлены задания разного уровня сложности по теме: » Тригонометрические уравнения» 10 класс

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение простейших тригонометрических уравнений.

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:
cos(x+π/3)=-1

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

2

а) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

2 -5cosxsinx-8 x=-2

а) Решите уравнение:

Уравнения, решаемые разложением на множители.

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

Уравнения, решаемые с помощью условия равенства одноименных тригонометрических функций.

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

2sin2x(√3sinx+cosx)=3 x- x

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

sin(15 ⁰ +x)+cos(45 ⁰ +x)+1/2=0

а) Решите уравнение:

б) x=+-120 ⁰ +15 ⁰( 24n+1)

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

а) Решите уравнение: sin7x/2cos3x/2+sinx/2cos5x/2+sin2xcos7x=0

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

а) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

б) Решите уравнение:

Уравнения вида аsinx+bcosx=c

а) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

а) Решите уравнение:

Уравнения смешанного типа.

а) найдите действительные значения b,при которых уравнение sin2x-2b√2(sinx+cosx)+1-6 имеет действительные решения.

Уравнения, приводящие к потере корней.

Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Уравнения с радикалами.

Уравнения с модулем.

Уравнения, решаемые по формулам тройного аргумента.

Уравнения с параметром.

при a≤ 0, x=arctga+π+2πn

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Зачетная работа для учащихся 11 класса по теме «Тригонометрические уравнения»

Урок-зачет в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений»

Цель урока: Проверить знания и умение применений формул для решения тригонометрических уравнений.Вид работы: «Смотр знаний», состоящий из 5 этапов, проводится в течение двух уроков. За каждый эт.

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения»

Обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения» в 10 классе физико-математического профиля.

Конспект урока алгебры в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения»

Конспект урока алгебры в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения». Целями этого урока являются овладение навыками решения некоторых видов тригонометрических уравнений; вариативность и усп.

Конспект урока алгебры в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения»

Конспект урока алгебры в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения». Целями этого урока являются овладение навыками решения некоторых видов тригонометрических уравнений; вариативность и усп.

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа 10 класс по теме «Тригонометрические уравнения»

Работа на два варианта, все основные типы уравнений, рассчитана на 40 минут.

План — конспект урока в 10 классе по теме » Тригонометрические уравнения»

Урок с применением ЭОР.Использованы различные способы проверки знаний: тестирование для учащихся уверенных в своих знаниях, работа в бригадах для учащихся, испытывающих трудности в обучении, задачи ур.

Коспект урока «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс базовый уровень (по учебнику «Алгебра и начала математического анализа 10-11» под редакцией Мордкович А.Г.)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Методы решения тригонометрических уравнений.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Методы решения тригонометрических уравнений Алгебра и начала математического анализа. УМК для 10-11 классов (базовый уровень) Ч. 1 – учебник (А.Г. Мордкович), ч. 2 – задачник (А.Г. Мордкович и др.) Потаскаева О.П., учитель математики МБОУ «Майская СОШ»

Устная работа. Вычислите:

Устная работа. Решите уравнения:

Устная работа. Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений: верно

1 уровень: научиться решать тригонометрические уравнения методом введения новой переменной, методом разложения на множители, решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени по алгоритму. 2 уровень: научиться решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения 3 уровень: рассмотреть пример решения уравнений повышенной сложности Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений Цели урока:

Изучение нового материала. Работа в парах (работа с учебником и опорной таблицей) Самопроверка Самостоятельная проверочная работа Самооценка Решение уравнений повышенного уровня сложности.

Изучение нового материала. Работа в парах Цель: научиться решать уравнения по алгоритму. Прочитать текст учебника п2, п3 параграфа 20. Решить уравнения в опорной таблице (прил. 1), опираясь на алгоритм и примеры решения уравнений в учебнике.

Изучение нового материала. 2. Самопроверка Цель: проверить правильность применения алгоритма для решения тригонометрических уравнений, умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

Изучение нового материала. 2. Самопроверка 5)

Изучение нового материала. 3. Самостоятельная проверочная работа Цель: проверить умение решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения

Изучение нового материала. 4. Самооценка Набранных баллов – 13 – оптимальное усвоение материала Набранных баллов – 9-11 – хорошее усвоение материала, требующее дополнительного разбора примеров учебника (п1-п3) Если сумма меньше 9 – недостаточное усвоение материала, требующее корректировки знаний с учителем и выполнением другого варианта самостоятельной работы.

Изучение нового материала. 5. Решение уравнений повышенного уровня сложности. Сложности по сравнению с предыдущими уравнениями: Под знаком синуса и косинуса находится 4х. Уравнение не является однородным. Нужно не только решить уравнение, но и выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку.

Домашнее задание оптимальный уровень — №18.13(а, б), 18.24 (а, б), 18.28 хороший уровень — №18.11(б, г), №18.12 (а, б), 18.25 (а,б) недостаточный — №18.6(а, б), 18.8 (а, б), 18.10 (в, г), 18.11 (б, г), 18.12 (а,б).

Выбранный для просмотра документ конспект урока.doc

Конспект урока в 10 классе (по учебнику Мордковича Г.А. «Алгебра и начала анализа»

Тема урока: Решение тригонометрических уравнений.

10 класс базовый уровень (по учебнику «Алгебра и начала математического анализа 10-11» под редакцией Мордкович А.Г.)

Тип урока: урок изучения нового материала

1) образовательная – научиться решать тригонометрические уравнения методом введения новой переменной, разложением на множители, однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени.

2) развивающие – развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания; развивать умение выполнять самооценку своей деятельности, применять имеющиеся знания в изменённой ситуации;

3) воспитательные – воспитывать умение общаться со своими сверстниками в процессе работы в парах, аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: презентация, Лист №1 «Опорная таблица», лист №2 «Самостоятельная работа» (1 и 2 вариант), лист №3 «Оценочный лист».

Организационный этап (2 минуты)

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку, организация внимания.

Место урока в учебном плане, присутствие тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ. В связи с этим очень важно научиться решать тригонометрические уравнения, определять способы решения тригонометрических уравнений.

Актуализация знаний (7 минут)

Что называется arcsin а?

Что называется arccos а?

Чему равен arcsin (-а)?

Чему равен arccos (-а)?

Назовите формулу нахождения корней уравнения вида sin x=a, cosx=a.

Назовите формулу нахождения корней уравнения вида tgx = a , ctgx = a .

Устная работа (слайды 2-4)

Этап изучения нового материала, формирования новых умений (15 минут)

Сообщение темы урока (сл 5)

Постановка целей урока (сл 5)

План изучения нового материала (сл.6)

Работа в парах по материалу учебника п2, п3 параграфа 20 (сл 7):

Прочитать текст учебника

Решить уравнения в опорной таблице (прил. 1), опираясь на алгоритм и примеры решения уравнений в учебнике.

Самопроверка (сл 8-9): проверить правильность решения уравнений, при необходимости обратиться к учителю ( прил 2).

Этап закрепления и применения новых знаний, умений (18 минут)

Самостоятельная проверочная работа (сл 10) выполняется по вариантам (прил. 3). Проверку решения можно выполнить с помощью документ-камеры, либо записать ответы на доске (прил 4)

Самооценка (сл 11), (прил.5).

Решение уравнений повышенного уровня сложности у доски (сл 12) (решение прил 6).Дополнительные упражнения №18.30

Домашнее задание (сл 13)

оптимальный уровень — №18.13(а, б), 18.24 (а, б), 18.28

хороший уровень — №18.11(б, г), №18.12 (а, б), 18.25 (а,б)

недостаточный — №18.6(а, б), 18.8 (а, б), 18.10 (в, г), 18.11 (б, г), 18.12 (а,б).

Итог урока (3 минуты)

Выставление оценок за урок (по итогам самооценки), комментирование оценок учащимися:

Достигли ли вы цели урока? В какой степени?

Какую коррекционную работу надо провести дома, чтобы усвоение способов решения уравнений было наиболее полным?

Выбранный для просмотра документ прил 3.doc

Самостоятельная проверочная работа по теме «Основные методы решения тригонометрических уравнений».

Самостоятельная проверочная работа по теме «Основные методы решения тригонометрических уравнений».

Выбранный для просмотра документ прил 1 опорная таблица.doc

Методы решения тригонометрических уравнений. Опорная таблица.

Алгоритм решения уравнения

1. Введение новой переменной

, где — одна из основных тригонометрических функций

(приведение к квадратному уравнению)

1. Ввести новую переменную ().

2. Решить получившееся квадратное уравнение относительно t .

3.Произвести обратную замену.

4. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

5. Записать ответ.

2. Введение новой переменной , где — одна из основных тригонометрических функций

(сведение к рациональному уравнению)

1. Ввести новую переменную ().

2. Привести получившееся рациональное уравнение к квадратному, решить его относительно t .

3.Произвести обратную замену.

4. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

5. Записать ответ.

3. Разложение на множители (если уравнение можно преобразовать к виду , то задача сводится к решению совокупности уравнений)

1. Разложить на множители с помощью ФСУ, тригонометрических тождеств, вынесения общего множителя за скобки.

2. Решить совокупность уравнений.

3. Записать ответ.

4. Решение однородных тригонометрических уравнений 1 степени (уравнения вида и )

1. Разделить обе части уравнения на (см.п.3 параграфа 20).

2. Решить получившееся простейшее тригонометрическое уравнение .

3. Записать ответ.

5. Решение однородных тригонометрических уравнений 2 степени (уравнения вида )

1. Посмотреть есть ли в уравнении член .

2. Если член в уравнении содержится, то уравнение решается делением обеих частей уравнения на и последующим введением новой переменной .

3. Если член в уравнении не содержится, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят .