Тригонометрические уравнения cosx a самостоятельная

Самостоятельная работа по алгебре в 10 классе по теме «Решение уравнений вида cos x= a».
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Самостоятельная работа по алгебре в 10 классе по теме

«Решение уравнений вида cos x= a».

Скачать:

ВложениеРазмер
reshenie_trigonometricheskih_uravneniy.doc443 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №11» Г. ТАМБОВ

Самостоятельная работа по алгебре в 10 классе по теме

«Решение уравнений вида cos x= a».

Составила учитель математики Скляр Г.А.

г. Тамбов 2019 год

Технологическая карта контрольно-измерительных материалов

Алгебра и начала анализа

Учебник, по которому ведется преподавание

Алгебра и начала анализа Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин и др. Учебник для 10-11 класса. – М.: Просвещение, 2012. – 288с.

Статус дидактических материалов

дидактические материалы являются авторскими

Уравнения вида cos x = a.

Форма и методы контроля

форма контроля индивидуальная,

метод контроля: письменная работа

выявить типичные ошибки при решении уравнений, обратить на них внимание учащихся.

Работа содержит пять уравнений различного уровня сложности.

Отметка «5» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 99% до 100%

Отметка «4» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 75% до 99%

Отметка «3» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 50% до 75%

Отметка «2» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет менее 50%.

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме

Самостоятельная работа по алгебре в 10 классе по теме «Решение уравнений вида cos x= a».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ карточки.doc

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №11» Г. ТАМБОВ

Самостоятельная работа по алгебре в 10 классе по теме

«Решение уравнений вида cos x = a ».

Составила учитель математики Скляр Г.А.

г. Тамбов 2014 год

Технологическая карта контрольно-измерительных материалов

Алгебра и начала анализа

Учебник, по которому ведется преподавание

Алгебра и начала анализа Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин и др. Учебник для 10-11 класса. – М.: Просвещение, 2012. – 288с.

Статус дидактических материалов

дидактические материалы являются авторскими

Форма и методы контроля

форма контроля индивидуальная,

метод контроля: письменная работа

выявить типичные ошибки при решении уравнений, обратить на них внимание учащихся.

Работа содержит пять уравнений различного уровня сложности.

Отметка «5» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 99% до 100%

Отметка «4» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 75% до 99%

Отметка «3» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 50% до 75%

Отметка «2» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет менее 50%.

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме

«Решение уравнений вида cos x = a »

+ n € Z

± + n € Z

± + 4П n n € Z

± + П n n € Z

+ П n n € Z

± — + 6П n n € Z

± — + 6П n n € Z

+ П n n € Z

± + +2 П n n € Z

Краткое описание документа:

Работа содержит карточки в двух вариантах для самостоятельной работы по алгебре в 10 классе по теме «Решение уравнений вида cos x= a» с ответами и критериями оценивания Отметка «5» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 99% до 100% Отметка «4» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 75% до 99% Отметка «3» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет от 50% до 75%Отметка «2» выставляется, если объём работы, выполненной учеником без ошибок, составляет менее 50%.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 091 материал в базе

Другие материалы

  • 18.06.2014
  • 554
  • 0
  • 18.06.2014
  • 777
  • 0
  • 18.06.2014
  • 1571
  • 2
  • 18.06.2014
  • 702
  • 0
  • 18.06.2014
  • 759
  • 0
  • 18.06.2014
  • 2700
  • 2
  • 18.06.2014
  • 1644
  • 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 18.06.2014 10684
  • ZIP 40.2 кбайт
  • 718 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Скляр Галина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 6 лет и 7 месяцев
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 10996
  • Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие

Время чтения: 18 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Семинар-практикум «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Тема тригонометрических уравнений начинается со школьной лекции, которая строится в виде эвристической беседы. На лекции рассматривается теоретический материал и образцы решения всех типовых задач по плану:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.
  • Основные методы решения тригонометрических уравнений.
  • Однородные уравнения.

На следующих уроках начинается самостоятельная отработка навыков, основанная на применении принципа совместной деятельности учителя и ученика. Сначала устанавливаются цели для учащихся, т.е. определяется, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше.

Итоговая диагностика создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять тот минимум знаний, который необходим для получения оценки “3”. Исходя из этого, отбираются разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся. Такая работа позволяет осуществить индивидуальный подход к учащимся, включить каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самоорганизованности и самообучения, обеспечивать переход к активному, самостоятельному мышлению.

Семинар проводится после отработки основных навыков решения тригонометрических уравнений. За несколько уроков до семинара ученикам даются вопросы, которые будут рассматриваться на нем.

Семинар состоит из трех частей.

1. Во вводной части рассматривается весь теоретический материал, включая знакомство с проблемами, которые возникнут при решении сложных уравнений.

2. Во второй части рассматриваются решение уравнений вида:

  • а cosx + bsinx = c.
  • a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
  • уравнения, решаемые через понижение степени.

В этих уравнениях применяются универсальная подстановка, формулы понижения степени, метод вспомогательного аргумента.

3. В третьей части рассматриваются проблемы потери корней и приобретение посторонних корней. Показывается, как надо отбирать корни.

Ученики работают в группах. Для решения примеров вызываются хорошо подготовленные ребята, которые могут показать и объяснить материал.

Семинар рассчитан на хорошо подготовленного ученика, т.к. на нем рассматриваются вопросы несколько выходящие за рамки программного материала. В него включены уравнения более сложного вида, и особо рассматриваются проблемы, возникающие при решении сложных тригонометрических уравнений.

Семинар проводился для учеников 10 – 11 классов. Каждый ученик получил возможность расширить и углубить свои знания по этой теме, сравнить уровень своих знаний не только с требованиями, предъявляемыми к выпускнику школы, но и с требованиями предъявляемыми поступающим в В.У.З.

СЕМИНАР

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели:

  • Обобщить знания по решению тригонометрических уравнений всех типов.
  • Заострить внимание на проблемах: потеря корней; посторонние корни; отбор корней.

I. Вводная часть

1. Основные методы решения тригонометрических уравнений

  • Разложение на множители.
  • Введение новой переменной.
  • Функционально-графический метод.

2. Некоторые типы тригонометрических уравнений.

  • Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям, относительно cos х = t, sin х = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.

Решаются методом введения новой переменной.

  • Однородные уравнения первой и второй степени

Уравнение первой степени: Asinx + Bcosx = 0 разделим на cos x, получим Atg x + B = 0

Уравнение второй степени: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 разделим на cos 2 x, получим Atg 2 x + Btgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

  • Уравнение вида: Аsinx + Bcosx = C. А, В, С 0
  • Понижение степени:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Решаются методом разложения на множители.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

  1. Сводятся к однородным: С = С(sin 2 х + cos 2 х).
  2. Сводятся к уравнению: Аsin2x + Bcos2x = C.
  • Уравнение вида: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Формулы.

  • Универсальная подстановка:

х + 2 n; Проверка обязательна!

  • Понижение степени: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
  • Метод вспомогательного аргумента.

Acosx + Bsinx заменим на Csin (x + ), где sin = а/С; cos= в/С;

– вспомогательный аргумент.

4. Правила.

  • Увидел квадрат – понижай степень.
  • Увидел произведение – делай сумму.
  • Увидел сумму – делай произведение.

5. Потеря корней, лишние корни.

  • Потеря корней: делим на g(х); опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями сужаем область определения.
  • Лишние корни: возводим в четную степень; умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями расширяем область определения.

II. Примеры тригонометрических уравнений

1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

1)Универсальная подстановка.О.Д.З. х – любое.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. х /2 + n;

u = – 1/3.

tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + k, k Z.

Проверка: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

х = /2 + n, n э Z. Является корнем уравнения.

Ответ: х = arctg(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2)Функционально-графический метод. О.Д.З. х – любое.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Построим графики функций: y = sinx, y = cosx + 1.

Ответ: х = /2 + 2 n, Z ; x = + 2k, k Z.

3) Введение вспомогательного аргумента. О.Д.З.: х – любое.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то существует такое , что sin = 8/17,

cos = 15/17, значит sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

sin (x + ) = 1.

Ответ: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Понижение порядка: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – любое.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Ответ: х = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Приk = 1 и m = 0
k = 4 и m = 1.		серии совпадают.

3. Сведение к однородному. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – любое.
5 sin 2 х + 3 sinx cosx + 6cos 2 х – 5 sin 2 х – 5 cos 2 х = 0
3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) делить на cos 2 х нельзя, так как теряем корни.
cos 2 х = 0 удовлетворяет уравнению.
cosx ( 3 sinx + cosx ) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
х = /2 + k, k Z. tgx = –1/3 , x = –/6 + n, n Z.

Ответ: х = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Уравнение вида: А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х – любое.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | 2 – 5t + 2 = 0. t1 = 2, t2 = Ѕ.
sinx + cosx = Ѕ. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin( 1/2 O 2 ) + k, k Z.

Ответ: х = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Разложение на множители.

1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) сosx = 2, корней нет.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Ответ: x = arctg(1/2) + n, n Z.

III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений

1. Потеря корней: делим на g(х); применяем опасные формулы.

1) Найдите ошибку.

1 – сosx = sinx *sinx/2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 разделим на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х/2 = 2 n, x = 4n, n ‘ Z.
Потеряли корни sinx/2 = 0, х = 2k, k Z.

Правильное решение: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.

sin 2 х/2 = 0
x = 2k, k Z.		1 – сosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Посторонние корни: освобождаемся от знаменателя; возводим в четную степень.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3 ) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(сos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
х = /3 + 2n/3, n Z.		2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. х = /3 + 2n/3
1. n = 0
sin 2 /3 = 3 / 2
не удовлетворяют. О.Д.З.

2. n = 1
sin 2= 0
удовлетворяют О.Д.З.

3. n = 2
sin 2/ 3 = –3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z
1. k = 0
sin 2/6 = 3 / 2
не удовлетворяют О.Д.З.
2. k = 1
sin 2*5/6 = –3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

Ответ: х = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z.

2). введем подстановку t = 2x,
, cos t > 0.
1 – sin t = 2 cos 2 t

1). sin t = –1,
t = – /2 + 2 k, k Z;		2). sin t = 1/2,
t = (–1) n /6 + n, n Z;

I. t = – /2 + 2 k, k Z;
1. k = 0
t = – /2
удовлетворяют О.Д.З.		II. t = (–1) n /6 + n, n Z;
1. n = 0
t = /6
удовлетворяют О.Д.З.
2. n = 1
t = 5 /6
не удовлетворяют О.Д.З.
Ответ:
t = – /2 + 2 k,
x = – /4 + k,
k Z,		t = /6 + 2 n,
x = /12 + n,
n Z.

3. Отбор корней.

1). tgx + tg2x = tg3x О.Д.З.: х /2+ k, x /4 + k, x /6 + k, k Z.

sin3x sinx sin2x = 0
sin3x = 0
x = n/3, n Z,

n = 0, x = 0 уд.
n = 1, x = /3 уд.
n = 2, x = 2 /3 уд.
n = 3, x = уд.
n = 4, x = 4 /3 уд.
n = 5, x = 5 /3 уд.

sinx = 0
x = h, h Z,

h = 0, x = 0 уд.
h = 1, x = уд.
h = 2, x = 2 уд.

sin2x = 0
x = m/2, m Z.

m = 0, x = 0 уд.
m = 1, x = /2 не уд.
m = 2, x = уд.
m = 3, x = 3 /2 не уд.

Ответ: x = n/3, n Z.


источники:

http://infourok.ru/material.html?mid=128696

http://urok.1sept.ru/articles/410526

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут