Тригонометрические уравнения и неравенства конспект урока

Конспект урока «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Повторить теоретический материал по теме

«Тригонометрические функции», часто употребляемые формулы,

решение неравенств, уравнений, помочь учащимся проверить

свои знания по данной теме.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

МБОУ «Видновская СОШ №2», учитель: Волхонкина Е.А.

Цель урока: повторить теоретический материал по теме

«Тригонометрические функции», часто употребляемые формулы,

решение неравенств, уравнений, помочь учащимся проверить

свои знания по данной теме.

• В центре нашего внимания на уроке будет «Рабочая карта урока». Она есть у каждого из вас. Сюда вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. Одну из оценок поставит вам сосед по парте, одну учитель. А в конце урока подведете итог своей работе и выставите себе средний балл за урок, т.е. за усвоение темы «Тригонометрические функции».

Рабочая карта урока

(с/о- самооценка, о/т- оценка товарища, о/у- оценка учителя)

1. Проверка домашней работы.

• На доске вы видите элементы решения неравенств из домашней работы. Запишите получившиеся неравенства.

(Учащиеся объясняют решение неравенств с помощью единичной окружности, дают определения, проговаривают необходимые формулы)

• Вот мы и повторили решение неравенств. Те, кто выполнил домашнюю работу самостоятельно, во всем разобрался, поставьте себе «5», те, у кого появились трудности при выполнении работы или приходилось обращаться за помощью к другу – «4», если есть ошибки – «3», если работа не выполнена

• Следующий этап нашего урока – математический диктант. Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете писать одно из слов: «да» или «нет».

1. Является ли убывающей функция y=cos x?
2. Является ли четной функция y=sin x?
3. Верно ли, что cos 2 x- sin 2 x=1?
4. Верно ли, что arksin(-1/2)=-π/6?
5. Абсцисса точки, лежащей на единичной окружности. Называется синусом?
6. Верно ли, что косинус 6, 1 больше 0?
7. Верно ли, что область значения функции тангенс есть отрезок

1. Отношение синуса к косинусу – это тангенс?

(Ребята проверяют диктант вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя оценку себе в рабочую карту урока.)

1. Решение тригонометрических уравнений – тестовые задания.

• Герберт Спенсер, английский философ, говорил: «Дороги не те

знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

Следующее задание – решить уравнения, применяя полученные знания, разгадать кодовое слово.

Решив тестовые задания, оцените себя, поменяйтесь работами, оцените товарища. Время ограничено – 10 минут.

Тест «Тригонометрические уравнения»

cos 2 x + 3sin x = 3

1. – π /2 + π n, n Z
2. π /2 + 2π n, n Z
3. π + π n, n Z
4. π + 2π n, n Z

sin x + cos x + 1+ sin x cos x = 0

7. π + 2 π n, n Z; – π /2 + 2π k, k Z

8. 2πn, n Z; π /2 + 2π k, k Z

9. π + π n, n Z; π /2 + π k, k Z

10. – π + π n, n Z; – π /2+ π k, k Z

sin x – cos x = 0

13. π /3 + 2π n, n Z

14. π /3 + π n, n Z

15. π /2 + 2π n, n Z

1. π /4 + π n, n Z
2. π /8 + π n/2, n Z
3. π /2 + 2π n, n Z
4. π /8 + 2π n, n Z

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №45. Тригонометрические уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решения систем уравнений с двумя переменными.
• Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными
• Графическое решение систем неравенств с двумя переменными

Глоссарий по теме

Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g — выражения с переменными x и y .

Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

Неравенство. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно неравенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое неравенство, то говорят, что задано неравенство с одной переменной.

Система неравенств. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под редакцией Жижченко А.Б. Авторская программа «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.», авторов

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных. Пусть дана система:

Если , т.е. коэффициенты при и не пропорциональны, то система имеет единственное решение. Это решение графически иллюстрируется как пересечение двух прямых.

Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны.

Если , система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдите все значения переменных x, y, z

Подставим в третье уравнение

Найдите значения c, при которых система имеет бесконечно много решений.

Выберите верный ответ из предложенных.

Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие

Решив систему из двух уравнений

Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»

Разделы: Математика

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.
4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
6. Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
7. Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.
8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

Этапы урока

Содержание

Организация класса на работу.

Проверка домашнего задания.

(Сбор тетрадей с домашней работой)

Формулировка цели урока.

– Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

Устная работа.

(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

Решить тригонометрические уравнения:

sinx = —, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,

cosx = —, cos2x = 1, tgx = -1.

Повторение.

– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

1) sinx —;

t₁ = arccos(-) = p – arccos =

= p – = ;

t_{2 = —};

— + 2p n t₂;

t₁ = arcsin = ;

t_{2 =} -p — = —;

+ 2p n 2 2x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n 2 x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t 2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

2p n 2 + () 2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.

Домашнее задание.

(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

1. cosx > sin 2 x;
2. 4sin2xcos2x 2 sin 2 – 0,5;
3. sinx + cosx > 1.

Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

Подведение итогов, рефлексия.

– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

(Оцениваю работу учащихся на уроке).

Самостоятельная работа
по результатам освоения материала

Вариант 1

Решите неравенства 1 – 3:

1. sin3x – 2 x + 3cosx > 0;
2. coscos2x – sinsin2x —.
3. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx а имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2

Решите неравенства 1 – 3:

1. 2cos> 1;
2. sin 2 x – 4sinx