Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»
Разделы: Математика
Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.
Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.
Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.
Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.
Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.
- Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
- В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
- Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.
- Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
- Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
- Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
- Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Рt2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1и t2.
- Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.
Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.
Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.
Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.
Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.
Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.
Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.
Этапы урока
Содержание
Организация класса на работу.
Проверка домашнего задания.
(Сбор тетрадей с домашней работой)
Формулировка цели урока.
– Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.
Устная работа.
(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)
- Решить тригонометрические уравнения:
sinx = —, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,
cosx = —, cos2x = 1, tgx = -1.
Повторение.
– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).
1) sinx —;
t1 = arccos(-) = p – arccos =
= p – = ;
t2 = —;
— + 2p n t2;
t1 = arcsin = ;
t2 = -p — = —;
+ 2p n 2 2x – 2cos2x 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).
cos2x(cos2x – 2) 0.
Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.
cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).
Ответ: + p n 2 x – 5sinx + 1 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).
Замена sinx = t, 1. 6t 2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),
Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.
№3. sinx + cos2x> 1.
(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).
sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,
2p n 2 + () 2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.
Домашнее задание.
(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).
- cosx > sin 2 x;
- 4sin2xcos2x 2 sin 2 – 0,5;
- sinx + cosx > 1.
Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.
Подведение итогов, рефлексия.
– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.
– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?
– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?
(Оцениваю работу учащихся на уроке).
Самостоятельная работа
по результатам освоения материала
Вариант 1
Решите неравенства 1 – 3:
- sin3x – 2 x + 3cosx > 0;
- coscos2x – sinsin2x —.
- Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx а имеет хотя бы одно решение.
Вариант 2
Решите неравенства 1 – 3:
- 2cos> 1;
- sin 2 x – 4sinx
Презентация к обобщающему уроку «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)
Презентация может использоваться для самостоятельной работы при обобщении материала и подготовке к контрольной работе.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
trigonometricheskie_uravneniya_i_neravenstva.ppt | 535 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Тригонометрические уравнения и неравенства Обобщающий урок Алгебра-10 Луценко Ольга Александровна, учитель математики МБОУ «Средняя школа №23 г. Йошкар-Олы »
Как работать Сегодня весь урок ты будешь работать самостоятельно. Ты сможешь обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений и неравенств. В ходе урока ты сможешь проверить степень своей готовности к предстоящей контрольной работе. К концу урока постарайся зафиксировать свои ошибки (сколько, какие). В дальнейшем вместе с учителем ты сможешь разобрать эти ошибки. Удачи!
План урока Устная разминка Решение уравнений базового уровня Решение неравенств Решение уравнений повышенного уровня Дополнительное задание Подведение итогов
Вспомни формулы arcsin(- a ) = -arcsin a для любого а [-1,1] arctg(- a ) = -arctg a для любого а arc с tg(- a ) = π -arc с tg a для любого а arccos(- a ) = π -arcos a для любого а [0,1]
Устная разминка Вычисли и запиши в столбик ответы в тетради: 1 . arcsin 2 . arccos 3 . arctg 5. arcsin (– ) 4. arctg ( — ) 6 . arccos (- 1 ) 7 arc со s( — ) Проверь ответы: 6) π
Вспомни и запиши формулы для решения уравнений 1. с os x= a , | a |≤1 х = 2. sinx= a , | a | ≤ 1 х= 3. tgx= a х = 4. с tgx= a х = ±arccos a +2 π k (-1) ·arcsin a + π п а rctg a + π k arcctg a + π k
Реши уравнения базового уровня 1) 2со sx — = 0 2) sin2x =- 3) 2со s ( x — ) = -1 4) tg²x — 6 tg х+5=0 5) (2 sinx – 1)( cos х-1) =0 Проверь ответы: х= ± π /6+2 π k . х= (-1) · (- π /6 ) + π n/2 . 3) х= +2 π k , х= — + 2 π k . х= π /4+ π n , х= arctg5+ π k . х= (-1) · π /6 + π n , х= 2 π k . Если не верно Если верно К слайду 9 К слайду 10
Решение некоторых уравнений базового уровня со s ( x — ) = -1/2, 3) 2со s ( x — ) = -1, х — = ±arccos (-1/2) +2 π k , х= ± +2 π k , х- = ± +2 π k , х= +2 π k , х= — + 2 π k 4) tg²x — 6 tg х+5=0 Обозначим tg х=а. тогда а ² -6а+5=0 Отсюда а = 5, а = 1 , tg х=5 и tg х=1 х= ar с tg 5 + π k , х= arctg 1 + π k , х= + π k 5) (2 sinx – 1)( cos х-1)=0 Подсказка : произведение равно 0, если…
Решение неравенств Реши неравенства: 1 ) cos х > 2) sin х ≥0 3) cos х Проверь ответы: Если не верно Если верно К слайду 11 К слайду 12 1 )- π /6 +2 π k Проверь решения неравенств º º 1) cos х > у х 2) sin х ≥0 у х — π /6 +2 π k · º º π /4+ 2 π k Реши уравнения повышенного уровня 1. sin5 х = cos5 х 2. sin² х +cos ( π /2- х )sin( π /2- х )-2cos² х =0 3. tg(2 π + х )+ 2 tg( π /2+ х )= -1 Проверь ответы: 1. х = + 2. х= + π k , х= — arctg2+ π k 3. х= + π k , х= — arctg2+ π k Если не верно Если верно К слайду1 3 К слайду 1 4
Решение уравнений повышенного уровня 1. sin5 х =cos5 х ( однородное 1-й степени ) Разделим обе части на cos5 х. Получим: tg5x=1 , 5х= arctg1+ π k , 5х= π /4+ π k , х = + 2. sin² х +cos ( π /2- х )sin( π /2- х )-2cos² х =0 (однородное 2-й степени). Упростим левую часть по формулам приведения: sin² х +s in х ·cos х -2cos² х =0 . Разделим обе части на со s²x : tg²x + tgx -2=0, отсюда: tgx =1 и t gx =-2 х= + π k , х= — arctg2+ π k 3. tg(2 π + х )+ 2 tg( π /2+ х )= -1 , tg х- 2/ tg х = -1 . Умножим обе части на tg х, при условии tgx≠ 0.Получим: tg²x- 2 =-tgx , tg²x + tgx -2=0, отсюда: tgx =1, tgx =-2. х= + π k , х= -acrctg2+ π k
Дополнительно 1. Реши уравнение: 2 sin( -х )= и найди: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие промежутку [ 0 , π ] 2.Реши уравнение: sin² 2 x -3=2 sin2 х cos2x
Подведение итогов Итак, мы закончили изучение очень важной темы « Тригонометрические уравнения и неравенства». К этой теме мы вернёмся при изучении следующей главы «Преобразование тригонометрических выражений». Сегодня на уроке повторили общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений, а также частные формулы. На уроке также были рассмотрены основные виды и способы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители; замена переменной; однородные тригонометрические уравнения 1-й и 2-й степени. Если было что-то непонятно, обратись к учителю.
Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания
Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).
1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)
Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.
Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pα° и Pβ°, симметричных относительно оси абсцисс.
С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой Pα°:
α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.
В силу симметрии относительно оси абсцисс точка Pβ° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:
β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.
Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.
Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.
Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).
Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pφ и Pπ–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKPφ катет KPφ равен половине гипотенузы OPφ, значит,
Общий вид углов поворота с конечной точкой Pφ:
где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой Pπ–φ:
где n — любое целое число.
Ответ: где n — любое целое число.
2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)
Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.
Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.
Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках Pα° и Pβ° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол Pα° OP0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)
По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,
Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2020/08/18/prezentatsiya-k-obobshchayushchemu-uroku-reshenie
http://rosuchebnik.ru/material/kak-nauchit-reshat-trigonometricheskie-uravneniya-i-neravenstva-metodi/