Тригонометрические уравнения и неравенства примеры решения егэ

Простейшие тригонометрические уравнения (задание 5) и неравенства

\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad \mathrm\,x=b,\quad \mathrm\,x=b\) , которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb\) .

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\) ).

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\) .

Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<\pi>6\) и \(\dfrac<5\pi>6\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac<\pi>6+2\pi n,\ x_2=\dfrac<5\pi>6+2\pi n, \ n\in \mathbb\) .

Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac<\sqrt2><2>\) .

Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac<\sqrt2><2>\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac<\sqrt2><2>\) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<3\pi>4\) и \(-\dfrac<3\pi>4\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число.

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac<3\pi>4+2\pi n,\ x_2=-\dfrac<3\pi>4+2\pi n, \ n\in \mathbb\) .

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm\,x=\dfrac<\sqrt3>3\) .

Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac<\sqrt3>3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac<\sqrt3>3\) .Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<\pi>6\) и \(-\dfrac<5\pi>6\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\) .

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac<\pi>6+\pi n, \ n\in \mathbb\) .

Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm\,x=\sqrt3\) .

Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен \(\sqrt3\) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\) . Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac<\pi>6\) и \(-\dfrac<5\pi>6\) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\) , где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\) .

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac<\pi>6+\pi n, \ n\in \mathbb\) .

\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin \hline \text <Уравнение>& \text <Ограничения>& \text<Решение>\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin \begin &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end \end \right. \ \ , \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm\, x=b & b\in \mathbb & x=\mathrm\, b+\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm\,x=b & b\in \mathbb & x=\mathrm\, b+\pi n, \ n\in \mathbb\\&&\\ \hline \end\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb\) .

\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm\,\big(f(x)\big)=a\) , (где \(\mathrm\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm,\ \mathrm\) , а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\) .

Пример 5. Решить уравнение \(\sin<(\pi x+\dfrac<\pi>3)>=1\) .

Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac<\pi>3\) , мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\) . Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb\) .

Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pi x+\dfrac<\pi>3=\dfrac<\pi>2+2\pi n\) , откуда \(x=\dfrac16+2n,\ n\in\mathbb\) .

Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac<2\pi>n,\ n\in\mathbb\) , где \(\alpha\) — один из этих углов.

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm \dfrac<\pi>4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac<3\pi>4+2\pi n, \ n\in\mathbb\) . Отметим эти точки на окружности:

Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over, \buildrel\smile\over\) равны \(\dfrac<\pi>2\) , то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac<\pi>4+\dfrac<\pi>2n, \ n\in\mathbb\) .

где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ ,\ \geq\) .

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x >\dfrac12\) .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\) , находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\) , а конец — \(B\) .

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac<\pi>6\) . Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac<\pi>6\) , но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\) . Это угол \(\dfrac<5\pi>6\) . Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac<\pi>6;\dfrac<5\pi>6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac<\pi>6+2\pi n;\dfrac<5\pi>6+2\pi n\right), n\in\mathbb\) , т.к. у синуса период \(2\pi\) .

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\cos x =\dfrac12\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, косинус которых меньше \(\dfrac12\) , находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\) , а конец — \(B\) .

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac<\pi>3\) . Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac<\pi>3\) , но ближайший к нему, и чтобы косинус этого угла также был равен \(\dfrac12\) . Это угол \(\dfrac<5\pi>3\) . Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac<\pi>3;\dfrac<5\pi>3\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(-\dfrac<5\pi>3+2\pi n;-\dfrac<\pi>3+2\pi n\right), n\in\mathbb\) , т.к. у косинуса период \(2\pi\) .

Пример 9. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm\, x \geq \dfrac<\sqrt<3>>3\) .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm\, x = \dfrac<\sqrt<3>>3\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, тангенс которых больше или равен \(\dfrac<\sqrt<3>>3\) , находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них тангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over\) . Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\dfrac<\pi>2\) , тогда начало дуги — это угол \(\dfrac<\pi>6\) (угол должен быть меньше \(\dfrac<\pi>2\) , но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac<\pi>6;\dfrac<\pi>2\Big)\) . А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac<\pi>6+\pi n;\dfrac<\pi>2+\pi n\Big), n\in\mathbb\) , т.к. у тангенса период \(\pi\) .

Пример 10. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm\, x \leq \sqrt<3>\) .

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm\, x = \sqrt<3>\) . Это точки \(A\) и \(B\) . Все точки, котангенс которых меньше или равен \(\sqrt<3>\) , находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них котангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over\) . Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\pi\) , тогда начало дуги — это угол \(\dfrac<\pi>6\) (угол должен быть меньше \(\pi\) , но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac<\pi>6;\pi\Big)\) . А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac<\pi>6+\pi n;\pi+\pi n\Big), n\in\mathbb\) , т.к. период котангенса \(\pi\) .

Геометрический способ (по окружности).
Этот способ заключается в том, что мы отмечаем решения всех уравнений (неравенств) на единичной окружности и пересекаем (объединяем) их.

Пример 11. Найти корни уравнения \(\sin x=-\dfrac12\) , если \(\cos x\ne \dfrac<\sqrt3>2\) .

В данном случае необходимо пересечь решения первого уравнения с решением второго уравнения.

Решением первого уравнения являются \(x_1=-\dfrac<\pi>6+2\pi n,\ x_2=-\dfrac<5\pi>6+2\pi n,\ n\in \mathbb\) , решением второго являются \(x\ne \pm \dfrac<\pi>6+2\pi n,\ n\in\mathbb\) . Отметим эти точки на окружности:

Видим, что из двух точек, удовлетворяющих первому уравнению, одна точка \(x= -\dfrac<\pi>6+2\pi n\) не подходит. Следовательно, ответом будут только \(x=-\dfrac<5\pi>6+2\pi n, n\in \mathbb\) .

Вычислительный способ.
Этот способ заключается в подстановке решений уравнения (системы) в имеющиеся ограничения. Для данного способа будут полезны некоторые частные случаи формул приведения: \[\begin &\sin<(\alpha+\pi n)>=\begin \sin \alpha, \text <при >n — \text< четном>\\ -\sin \alpha, \text <при >n — \text < нечетном>\end\\ &\cos<(\alpha+\pi n)>=\begin \cos \alpha, \text <при >n — \text< четном>\\ -\cos \alpha, \text <при >n — \text <нечетном>\end\\ &\mathrm\,(\alpha+\pi n)=\mathrm\,\alpha\\ &\mathrm\,(\alpha+\pi n)=\mathrm\,\alpha\\ &\sin<\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)>=\cos\alpha\\ &\cos<\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)>=-\sin \alpha\\ &\,\mathrm\,\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)=-\,\mathrm\,\alpha\\ &\,\mathrm\,\left(\alpha+\dfrac<\pi>2\right)=-\,\mathrm\,\alpha \end\]

Пример 12. Решить систему \(\begin \cos x=\dfrac12\\ \sin x+\cos x>0\end\)

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac<\pi>3+2\pi n,\ x_2=-\dfrac<\pi>3+2\pi n,\ n\in\mathbb\) . Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:

\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac<\sqrt3>2+\dfrac12>0\) , следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;
\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac<\sqrt3>2+\dfrac12 , следовательно, корень \(x_2\) нам не подходит.

Таким образом, решением системы являются только \(x=\dfrac<\pi>3+2\pi n,\ n\in\mathbb\) .

Алгебраический способ.

Пример 13. Найти корни уравнения \(\sin x=\dfrac<\sqrt2>2\) , принадлежащие отрезку \([0;\pi]\) .

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac<\pi>4+2\pi n, \ x_2=\dfrac<3\pi>4 +2\pi n, \ n\in\mathbb\) . Для того, чтобы отобрать корни, решим два неравенства: \(0\leq x_1\leq\pi\) и \(0\leq x_2\leq\pi\) :

\(0\leq \dfrac<\pi>4+2\pi n\leq\pi \Leftrightarrow -\dfrac18\leq n\leq\dfrac38\) . Таким образом, единственное целое значение \(n\) , удовлетворяющее этому неравенству, это \(n=0\) . При \(n=0\) \(x_1=\dfrac<\pi>4\) — входит в отрезок \([0;\pi]\) .

Аналогично решаем неравенство \(0\leq x_2\leq\pi\) и получаем \(n=0\) и \(x_2=\dfrac<3\pi>4\) .

Для следующего примера рассмотрим алгоритм решения линейных уравнений в целых числах:

Уравнение будет иметь решение в целых числах относительно \(x\) и \(y\) тогда и только тогда, когда \(c\) делится на \(НОД(a,b)\) .

Пример: Уравнение \(2x+4y=3\) не имеет решений в целых числах, потому что \(3\) не делится на \(НОД(2,4)=2\) . Действительно, слева стоит сумма двух четных чисел, то есть четное число, а справа — \(3\) , то есть нечетное число.

Пример: Решить уравнение \(3x+5y=2\) . Т.к. \(НОД(3,5)=1\) , то уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(x\) через \(y\) :

Число \(\dfrac<2-2y>3\) должно быть целым. Рассмотрим остатки при делении на \(3\) числа \(y\) : \(0\) , \(1\) или \(2\) .
Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(0\) , то оно записывается как \(y=3p+0\) . Тогда \[\dfrac<2-2y>3=\dfrac<2-2\cdot 3p>3=\dfrac23-2p\ne \text<целому числу>\]

Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(1\) , то оно записывается как \(y=3p+1\) . Тогда \[\dfrac<2-2y>3=\dfrac<2-2(3p+1)>3=-2p=\text<целому числу>\]

Значит, этот случай нам подходит. Тогда \(y=3p+1\) , а \(x=\dfrac<2-2y>3-y=-5p-1\) .

Ответ: \((-5p-1; 3p+1), p\in\mathbb\) .

Перейдем к примеру:

Пример 14. Решить систему \[\begin \sin \dfrac x3=\dfrac<\sqrt3>2\\[3pt] \cos \dfrac x2=1 \end\]

Решим первое уравнение системы:

\[\left[ \begin \begin &\dfrac x3=\dfrac<\pi>3+2\pi n\\[3pt] &\dfrac x3=\dfrac<2\pi>3 +2\pi m \end \end \right.\quad n,m\in\mathbb \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin \begin &x=\pi+6\pi n\\ &x=2\pi +6\pi m \end \end \right.\quad n,m\in\mathbb\]

Решим второе уравнение системы:

\[\dfrac x2=2\pi k, k\in\mathbb \quad \Leftrightarrow \quad x=4\pi k, k\in\mathbb\]

Необходимо найти корни, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы, то есть пересечь решения первого и второго уравнений.
Найдем целые \(n\) и \(k\) , при которых совпадают решения в сериях \(\pi+6\pi n\) и \(4\pi k\) :

\[\pi + 6\pi n=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 4k-6n=1\]

Т.к. \(НОД(4,6)=2\) и \(1\) не делится на \(2\) , то данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Найдем целые \(m\) и \(k\) , при которых совпадают решения в сериях \(2\pi +6\pi m\) и \(4\pi k\) :

\[2\pi +6\pi m=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 2k-3m=1\]

Данное уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(k=\frac<3m+1>2=m+\frac2\) .

Возможные остатки при делении \(m\) на \(2\) — это \(0\) или \(1\) .
Если \(m=2p+0\) , то \(\frac2=\frac<2p+1>2=p+\frac12\ne \) целому числу.
Если \(m=2p+1\) , то \(\frac2=\frac<2p+1+1>2=p+1= \) целому числу.

Значит, \(m=2p+1\) , тогда \(k=3p+2\) , \(p\in\mathbb\) .

Подставим либо \(m\) , либо \(k\) в соответствующую ему серию и получим окончательный ответ: \(x=4\pi k=4\pi (3p+2)=8\pi+12\pi p, p\in\mathbb\) .

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.

Практика: тригонометрические неравенства

Автор: Бровченко Татьяна Анатольевна.

Экспресс-курсы по подготовке к ЕГЭ

Пущинский государственный естественно-научный институт проводит бесплатные экспресс-курсы с 1 марта по 25 апреля 2022 года для выпускников 11 классов.

Словарь архаизмов и историзмов по пьесам М.Горького

Пьесы: «Мещане», «На дне», «Враги», «Егор Булычов и другие».

Шкала перевода баллов ОГЭ 2022

Рекомендации по переводу суммы первичных баллов за экзаменационные работы основного государственного экзамена (ОГЭ) в пятибалльную систему оценивания в 2022 году.