Тригонометрические уравнения лекция по ворде

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

Образовательные:
- углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
- сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
- формирование умения анализировать поставленную задачу;
- способствовать улучшению психологического климата в классе.
Развивающие:
- способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
- способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Конспект урока по теме «Тригонометрические уравнения»

Предмет: Алгебра и начала математического анализа.

Программа: Составитель Т.А. Бурмистрова. Алгебра и начала математического анализа.// Программы общеобразовательных учреждений. Издательство: Москва: Просвещение; 2009 г.

Учебник: Колягин Ю.М. и другие. Алгебра, 10 класс. – М.: Просвещение, 2009 г.

ТЕМА: Решение тригонометрических уравнений

МЕСТО УРОКА В ТЕМЕ.

– первый из трёх в теме «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные и линейные уравнения».

− девятый по теме «Тригонометрические уравнения» и изучается сразу же после решения простейших тригонометрических уравнений

— урок усвоения нового материала

Научить решать некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные) относительно одной из тригонометрических функций, однородные уравнения первой и второй степени относительно sin x и cosx

Продолжить работу над умением самостоятельно делать выводы в результате анализа и синтеза изучаемого материала.

Работать над грамотной речью, над формированием познавательной мотивации, словесно-логического мышления, развивать культуру мысли.

Воспитывать трудолюбие, самостоятельность и умение преодолевать трудности, продолжить работу над правильной самооценкой.

В результате ученик осознаёт необходимость новых знаний по теме «Тригонометрические уравнения»;

знает о существовании нескольких способов решения тригонометрических уравнений;

выделяет теоретические положения, определяющие каждый из указанных выше способов;

выделяет действия, составляющие решение тригонометрического уравнения;

обосновывает ход рассуждений в процессе совместного с учителем решения тригонометрического уравнения

классная доска, компьютер, мультимедийный проектор, экран, слайды.

У детей: учебник, тетрадь, ручка, простой карандаш, памятка с формулами для решений простейших тригонометрических уравнений.

ИСХОДНЫЙ УРОВЕНЬ состояния знаний, умений и навыков к данному уроку.

· Дети знают определение sinx , cos х, tg х, ctg х.

· Дети знают основное тригонометрическое тождество.

· Дети знают тригонометрические формулы: сложения, двойного угла, половинного угла, суммы и разности,

произведения, приведения, зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

· Дети знают понятие поворота точки вокруг начала координат.

· Дети знают, как радианную меру перевести градусную и наоборот.

· Дети знают формулы для решения простейших тригонометрических функций.

· Дети умеют пользоваться тригонометром.

· Дети умеют решать простейшие тригонометрические уравнения sinx =а, cos х=а, tg х=а, ctg х=а.

Математика есть такая наука, которая показывает, как из знаемых количеств находить другие, нам ещё неизвестные.

Учащиеся изучают три вида тригонометрических уравнений.

1) Уравнения, представляющие собой квадратные уравнения относительно какой-либо тригонометрической функции, либо сводимые к нему. Если в уравнение входят разные тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом следует выбирать эту функцию так, чтобы получилось квадратное относительно нее уравнение. Введя вспомогательную переменную и решив квадратное уравнение, переходим к решению одного из простейших тригонометрических уравнений.

2)Решение уравнений, левая часть которых разлагается на множители, а правая равна нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные (при этом значении переменной) имеют смысл, также сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и к проверке того, не теряют ли смысл остальные множители при этом значении переменной.

3)Однородные уравнения первой и второй степени относительно синуса и косинуса или сводимые к ним, решаются особым способом, рассмотренном в учебном пособии. Часто однородные уравнения в начальном виде не очевидны, но могут быть преобразованы в явно однородные.

Объявление темы и цели урока.

Актуализация знаний в форме самостоятельной работы на решение простейших тригонометрических уравнений;

Объяснение нового материала;

1) обобщение, выводы;

2) изучение теории по учебнику.

Закрепление нового материала.

1) обучающая самостоятельная работа в тетрадях, упражнения на слайдах

Здравствуйте, дети! Садитесь.

Начинаем урок алгебры. Прочтите эпиграф к сегодняшнему уроку.

Как вы его понимаете?

— Узнаем что-то новое, нам ещё неизвестное.

— С помощь изученного решим что-то другое и т.д.

Эмоциональный настрой на урок.

Вызываю мотивацию узнать новое.

2. Тема и цели урока.

Сегодня на уроке продолжим работу над изучением раздела «Тригонометрические уравнения», познакомимся с новыми видами тригонометрических уравнений, и выясним, по каким признакам их подразделяют. Тема для вас очень важная, как вы думаете, почему я так считаю? К концу урока вы должны решить самостоятельно три уравнения нового вида, и если понадобится моя помощь, то не стесняйтесь обращаться за ней.

Такие уравнения придется решать на выпускном экзамене…

Возможно пригодятся мне в техникуме или ВУЗе …

Согласно психологопедагогической характеристике у большей части класса социальная мотивация, поэтому для многих главная учебная цель — успешно сдать выпускные экзамены.

Мотивирую долговременное запоминание. Создаю условия для принятия цели.

3. Актуализация знаний

Любой день надо начинать с зарядки, а урок с разминки. Повторим пройденный материал. Установите соответствие между уравнениями и ответами:

2. sinx =1