Тригонометрические уравнения метод введения вспомогательного угла примеры
Тогда можно обозначить их соответственно $$ \cos \varphi \;и\;\sin \varphi $$ (здесь $$ \varphi $$- вспомогательный угол)
и наше уравнение принимает вид: $$ \cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x = C$$,
где $$ \frac <<\sqrt >> = \cos \varphi ;\;\quad \frac <<\sqrt >> = \sin \varphi ;\quad \;\frac
Тогда $$ \sin (x + \varphi ) = C $$.
И его решение $$ x = ( — 1)^k \arcsin C — \varphi + \pi k,\;\quad k \in <\rm Z>$$,
где $$ \varphi = \arccos \frac <<\sqrt >> = \arcsin \frac <<\sqrt >> $$.
Заметим, что введенные обозначения $$ \cos \varphi \quad и\quad \sin \varphi $$ взаимно заменяемы.
Решить уравнение $$ \sqrt 3 \sin 3x — \cos 3x = 1 $$
Решение: Согласно теории $$ a = \sqrt 3 ;\;\quad b = — 1$$,
поэтому делим обе части уравнения на $$ \sqrt <3 + 1>= 2 $$.
$$ \frac<<\sqrt 3 >><2>\sin 3x — \frac<1><2>\cos 3x = \frac<1> <2>\Rightarrow \cos \frac<\pi ><6>\sin 3x — \sin \frac<\pi ><6>\cos 3x = \frac<1> <2>\Rightarrow \sin \left( <3x - \frac<\pi ><6>> \right) = \frac<1><2>$$.
Решая последнее уравнение получим ответ:
$$ — \frac<\pi > <6>+ 3x = ( — 1)^k \frac<\pi > <6>+ \pi k,\;\quad k \in <\rm Z>\Rightarrow x = ( — 1)^k \frac<\pi ><<18>> + \frac<\pi ><<18>> + \frac<<\pi k>><3>,\;\quad k \in <\rm Z>$$
Метод введения вспомогательного угла
Преобразование выражения a sin х + b cos х путем введения вспомогательного угла
Лемма . Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.
Другими словами, если а 2 + b 2 = 1, то существует угол φ, такой, что
Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:
Поэтому существует угол φ, такой, что \( \frac<\sqrt3> <2>\) = cos φ; 1 /2 = sin φ.
В качестве φ в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 • 360° и т. д.
Рассмотрим вектор \(\vec<0А>\) с координатами (а, b). Поскольку а 2 + b 2 = 1, длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ, где φ — угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.
Итак, а = cos φ; b =sin φ, что и требовалось доказать.
Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.
Прежде всего вынесем за скобки выражение \(\sqrt\)
Но в таком случае
a sin х + b cos х = \(\sqrt\)(cos φ sin х + sin φ cos х) = \(\sqrt\) sin ( x + φ )
a sin х + b cos х = \(\sqrt\) sin (x + φ) , где угол φ определяется из условий
1) \( sin x + cos x = \sqrt2 (\frac<1> <\sqrt2>sin x + \frac<1><\sqrt2>cos x) = \sqrt2 (cos\frac<\pi><4>sin x + sin\frac<\pi><4>cos x ) =\\= \sqrt2(sinx + \frac<\pi><4>) \)
Полученную формулу sin x + cos x = \(\sqrt2(sinx + \frac<\pi><4>)\)полезно запомнить.
2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,
$$ 3sinx — 4cosx = \sqrt<9+16>(\frac<3><\sqrt<9+16>>sinx — \frac<4><\sqrt<9+16>>cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac<3> <5>— cosx\cdot\frac<4><5>) = 5sin(x — \phi), $$
где под φ можно подразумевать любой угол, удовлетворяющий условиям:
В частности, можно положить φ = arctg 4 /3. Тогда получим:
3 sin х — 4 cos x = 5 sin (x — arctg 4 /3).
Метод введения дополнительного угла (Метод введения вспомогательного аргумента)
Рассмотрим метод введения дополнительного угла на примере решения следующей задачи.
ЗАДАЧА . Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y = sin x + cos x. | (1) |
РЕШЕНИЕ . Заметив, что
преобразуем правую часть формулы (1):
Отсюда вытекает, что выражение (1) можно переписать в виде:
ОТВЕТ . Наибольшее значение функции (1) равно , наименьшее значение функции (1) равно
ЗАМЕЧАНИЕ . В рассмотренной задаче угол и является дополнительным углом.
Теперь докажем формулу дополнительного угла (вспомогательного аргумента) в общем виде. Для этого рассмотрим выражение
a sin x + bcos x | (2) |
где a и b – произвольные, отличные от нуля числа, и преобразуем его:
Введем дополнительный угол (вспомогательный аргумент) φ , у которого:
(4) |
В случае, когда a и b являются положительными числами, в качестве дополнительного угла можно взять, например, угол
Тогда выражение (3) принимает вид:
Таким образом, мы получили формулу
которую и называют формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента).
Если же дополнительный угол, в отличие от формул (4), ввести по формулам
то выражение (3) примет вид
и мы получаем другой вид формулы дополнительного угла:
http://razdupli.ru/teor/78_metod-vvedeniya-vspomogatelnogo-ugla.php
http://www.resolventa.ru/index.php/dopolnitelnij-ugol